2022年四川省巴中市普通高校對口單招高等數學一自考測試卷(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.

3.二元函數z=x3-y3+3x2+3y2-9x的極小值點為（）

A.(1，0)B.(1，2)C.(-3，0)D.(-3，2)4.設f(x)=x3+x，則等于()。A.0

B.8

C.

D.

5.方程y'-3y'+2y=xe2x的待定特解y*應取()．A.A.Axe2x

B.(Ax+B)e2x

C.Ax2e2x

D.x(Ax+B)e2x

6.A.A.

B.

C.

D.

7.

8.

9.

10.函數y=ex+e-x的單調增加區間是

A.(-∞,+∞)B.(-∞,0]C.(-1,1)D.[0,+∞)

11.

12.

13.設y=e-5x，則dy=（）A.-5e-5xdxB.-e-5xdxC.e-5xdxD.5e-5xdx

14.

15.

16.級數(a為大于0的常數)()．A.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與a有關17.A.A.3

B.5

C.1

D.

18.A.A.-(1/2)B.1/2C.-1D.219.已知斜齒輪上A點受到另一齒輪對它作用的捏合力Fn，Fn沿齒廓在接觸處的公法線方向，且垂直于過A點的齒面的切面，如圖所示，α為壓力角，β為斜齒輪的螺旋角。下列關于一些力的計算有誤的是()。

A.圓周力FT=Fncosαcosβ

B.徑向力Fa=Fncosαcosβ

C.軸向力Fr=Fncosα

D.軸向力Fr=Fnsinα

20.A.A.

B.

C.

D.

二、填空題(20題)21.22.空間直角坐標系中方程x2+y2=9表示的曲線是________。23.微分方程y"=y的通解為______．24.25.

26.27.28.29.30.

31.

32.

33.

34.

35.設y=ex/x，則dy=________。36.

37.

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．42.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

43.

44.

45.46.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

47.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

48.

49.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．50.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

51.求微分方程的通解．52.53.

54.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．55.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．56.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．57.求曲線在點(1，3)處的切線方程．58.證明：59.

60.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

四、解答題(10題)61.設y=xcosx，求y'．

62.

63.64.65.

66.求微分方程y＋y-2y=0的通解．

67.

68.

69.

70.

五、高等數學(0題)71.下列等式中正確的是()。A.

B.

C.

D.

六、解答題(0題)72.(本題滿分8分)

參考答案

1.B

2.C解析：

3.A對于點(-3，0)，A=-18+6=-12，B=0，C=6，B2-AC=72＞0，故此點為非極值點.對于點(-3，2)，A=-12，B=0，C=-12+6=-6，B2-AC=-72＜0，故此點為極大值點.對于點(1，0)，A=12，B=0，C=6，B2-AC=-72＜0，故此點為極小值點.對于點(1，2)，A=12=0，C=-6，B2-AC=72＞0，故此點為非極值點.

4.A本題考查的知識點為定積分的對稱性質。由于所給定積分的積分區間為對稱區間，被積函數f(x)=x3+x為連續的奇函數。由定積分的對稱性質可知

可知應選A。

5.D本題考查的知識點為二階常系數線性非齊次微分方程特解y*的取法：

若自由項f(x)=Pn(x)eαx，當α不為特征根時，可設特解為

y*=Qn(x)eαx，

Qn(x)為x的待定n次多項式．

當α為單特征根時，可設特解為

y*=xQn(x)eαx，

當α為二重特征根時，可設特解為

y*=x2Qn(x)eαx．

所給方程對應齊次方程的特征方程為

r2-3r+2=0．

特征根為r1=1，r2=2．

自由項f(x)=xe2x，相當于α=2為單特征根．又因為Pn(x)為一次式，因此應選D．

6.B本題考查的知識點為級數收斂性的定義．

7.B

8.C

9.B

10.D考查了函數的單調區間的知識點.

y=ex+e-x,則y'=ex-e-x,當x＞0時,y'＞0,所以y在區間[0,+∞)上單調遞增。

11.A解析：

12.D

13.A

14.B

15.C

16.A本題考查的知識點為級數絕對收斂與條件收斂的概念．

注意為p=2的p級數，因此為收斂級數，由比較判別法可知收斂，故絕對收斂，應選A．

17.A本題考查的知識點為判定極值的必要條件．

故應選A．

18.A

19.C

20.D本題考查的知識點為偏導數的計算．是關于y的冪函數，因此故應選D．21.本題考查的知識點為重要極限公式。22.以Oz為軸的圓柱面方程。F(x，y)=0表示母線平行于Oz軸的柱面，稱之為柱面方程，方程x2+y2=32=0表示母線平行Oz軸的圓柱面方程。23.y'=C1e-x+C2ex

；本題考查的知識點為二階常系數線性齊次微分方程的求解．

將方程變形，化為y"-y=0，

特征方程為r2-1=0；

特征根為r1=-1，r2=1．

因此方程的通解為y=C1e-x+C2ex．

24.25.

本題考查的知識點為二階線性常系數齊次微分方程的求解．

二階線性常系數齊次微分方程求解的－般步驟為：先寫出特征方程，求出特征根，再寫出方程的通解．

26.tanθ-cotθ+C

27.28.本題考查的知識點為極限運算．

29.30.1

31.6x2

32.arctanx+C

33.

解析：

34.

35.

36.本題考查了一元函數的一階導數的知識點。

37.ln|x-1|+c

38.-ln｜3-x｜+C

39.e-6

40.(03)(0,3)解析：

41.

42.由等價無窮小量的定義可知

43.44.由一階線性微分方程通解公式有

45.

46.函數的定義域為

注意

47.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

48.

49.

列表：

說明

50.

51.

52.

53.

則

54.

55.由二重積分物理意義知

56.57.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

58.

59.

60.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep