第八節解三角形的應用能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與丈量和幾何計算有關的實質問題.知識梳理一、實質問題中的有關術語、名稱1．方向角：指從正北方向順時針轉到目標方向線的夾角[如圖1].2．方向角：有關于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°，西偏北60°等．3．仰角與俯角：指視野與水平線的夾角，視野在水平線上方的角叫仰角．視野在水平線下方的角叫俯角[如圖(2)]．4．坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數[如圖(3)，角θ為坡角]．坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比方圖(3)，i＝h為坡比．l(3)二、正、余弦定理能夠解決的實質問題距離或寬度(有阻礙物)、高度(底部或頂部不可以抵達)、角度(航海或航空定位)、面積等．基礎自測1．以以下圖，為了丈量地道口AB的長度，給定以下四組數據，丈量時應該用數據( )A．α，，B．，，ababγC．α，β，aD．α，β，b分析：因為A與B不行抵達，故不易丈量α，β，而a，b，γ簡單測出．應選B.答案：B以下圖，為丈量一棵樹的高度，在地面上選用A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹尖的仰角為30°，45°，且，B兩點之間的距離為60m，則樹的高度h為( )AA．(15＋33)mB．(30＋153)mC．(30＋303)mD．(15＋303)m分析：由正弦定理可得sin60PB45°－30°＝sin30°，160×23030sin45°即PB＝sin15°＝sin15°，h＝PBsin45°＝sin15°＝(30＋303)m．應選C.答案：C3．在地面上一點D測得一電視塔尖的仰角為45°，再向塔底方向行進100m，又測得塔尖的仰角為60°，則此電視塔高約為________．分析：如圖，∠＝45°，∠＝60°，＝100m，∠＝15°，DACBDCDAC因為AC＝DC·sin45°，因此AB＝AC·sin60°sin15°3100××＝100·sin45°·sin60°＝226－2＝50(3＋3)m.sin15°4答案：50(3＋3)mA和B與大海察看站C的距離等于akm，燈塔A在察看站4．以下圖，已知兩座燈塔C的北偏東20°，燈塔B在察看站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為________________．222分析：易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理，得AB＝AC＋BC－2AC·BCcos120°2a2－2a2×－1＝3a2，2AB＝3a(km)．答案：3akm1．在相距2千米的A，B兩點處丈量目標點C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A，C兩點之間的距離為________千米．答案：6A處下山至C處有兩種路徑．一種是2.(2013·江蘇卷)如圖，旅客從某旅行景區的景點從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，而后從B沿直線步行到C.現有甲、乙兩位旅客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min.在甲出發2min后，乙從A乘纜車到，在B處逗留1min后，再從勻速步行到.假定纜車勻速直線運動的速度為130BC123m/min，山路AC長為1260m，經丈量，cosA＝，cosC＝.135求索道AB的長；問乙出發多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？為使兩位旅客在C處相互等候的時間不超出3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？123π分析：(法一)(1)∵cosA＝13，cosC＝5，∴A、C∈0，，2∴sin＝54，sin＝，A13C563∴sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝65，ABACAC依據sinC＝sinB得AB＝sinBsinC＝1040m.(2)設乙出發t分鐘后，甲、乙距離為d，則22212d＝(130t)＋(100＋50t)－2×130t×(100＋50t)×13，d2＝200(37t2－70t＋50)，0400≤t≤130，即0≤t≤8，35∴t＝37時，即乙出發

3537分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短．BCAC由正弦定理sinA＝sinB得，AC12605BC＝sinBsinA＝63×13＝500(m)，65乙從B出發時，甲已經走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，還需走710m，才能抵達C.Vm/min，則500710設乙的步行速度為v－50≤3，5007101250625∴－3≤υ－50≤3，∴43≤υ≤14.∴為使兩位旅客在C處相互等候的時間不超出3分鐘，乙步行的速度應控制在1250625，14范圍內．(法二)(1)如圖作BD⊥CA于點D，設BD＝20k，則DC＝15k，AD＝48k，AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，知：AB＝52k＝1040m.設乙出發x分鐘后抵達點M，此時甲抵達N點，以下圖．則：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，由余弦定理得：2222，當xMN＝AM＋AN－2AM·ANcosA＝7400x－14000x＋10000，此中0≤x≤8＝35(min)時，最小，此時乙在纜車上與甲的距離最短．37MN1260126(3)由(1)知：BC＝500m，甲到C用時：50＝5(min)．12614186若甲等乙3分鐘，則乙到C用時：5＋3＝5(min)，在BC上用時：5(min)．此時乙的速度最小，且為：861250500÷＝m/min.54312611156若乙等甲3分鐘，則乙到C用時：5－3＝5(min)，在BC上用時：5(min)．56625此時乙的速度最大，且為：500÷＝m/min.141250625故乙步行的速度應控制在43，14范圍內．,1．(2013·廣州一模)如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝600m，一艘客船從碼頭A出發勻速駛往河對岸的碼頭B.已知|AB|＝1km，水流速度為2km/h，若客船行駛完航程所用最短時間為6min，則客船在靜水中的速度大小為( )A．8km/hB．62km/hC．234km/hD．10km/h分析：設客船在靜水中的速度大小是xkm/h，由題意得x2－62＋210002－6002＝600，解得x＝62km/h.6偏西

答案：B2．已知A船在燈塔C北偏東40°處，A，B兩船間的距離為分析：如圖，由題意可得，∠設BC＝x，則由余弦定理可得：

80°處，且A船到燈塔C的距離為3km，則B船到燈塔C