時間：二O二一年七月二十九日4.6正弦、余弦定理解斜三角形之邯鄲勺丸創作時間：二O二一年七月二十九日建構知識構造1．三角形基本公式：1）內角和定理：A+B+C=180°,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,cosC=sinAB,sinC=cosAB22222）面積公式：S=1absinC=1bcsinA=1casinB222S=pr=p(pa)(pb)(pc)(此中p=abc,r為內切圓2半徑)（3）射影定理：a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=acosB+bcosA2．正弦定理：abcsinAsinB2R外sinC證明：由三角形面積得abcsinAsinBsinC畫出三角形的外接圓及直徑易得：3．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,證明：如圖ABC中,

abcsinAsinB2RsinCcosAb2c2a2；2bcC當A、B是鈍角時,近似可證.正弦、余ba弦定理可用向量方法證明.AHcB時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日要掌握正弦定理、余弦定理及其變形,聯合三角公式,能解相關三角形中的問題．4．利用正弦定理,能夠解決以下兩類問題：（1）已知兩角和任一邊,求其余兩邊和一角；2）已知兩邊和此中一邊的對角,求另一邊的對角；有三種狀況：bsinA<a<b時有兩解；a=bsinA或a=b時有解；a<bsinA時無解.5．利用余弦定理,能夠解決以下兩類問題：1）已知三邊,求三角；（2）已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其余兩角.6．嫻熟掌握實質問題向解斜三角形種類的轉變,能在應用題中抽象或機關出三角形,標出已知量、未知量,確立解三角形的方法；提升運用所學知識解決實質問題的能力練習題1．(2006山東)在ABC中,角A,B,C的對邊鑒別為a,b,c,已知A,a3,b1,則c（）3A.1B.2C.31D.32．在△ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,則邊AC上的高為（）A.32B.33C.3D.332223．（2002年上海）在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,則△ABC的形狀必定是A.等腰直角三角形B.直角三角形時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日C.等腰三角形D.等邊三角形(2006全國Ⅰ)用長度鑒別為2、3、4、5、6（單位：cm）的5根細木棒圍成一個三角形（同意連結,但不同意折斷）,能夠獲得的三角形的最大面積為()A.85cm2B.610cm2C.355cm2D.20cm25.（2006全國Ⅱ）已知ABC的三個內角A、B、C成等差數列,且AB=1,BC=4,則邊BC上的中線AD的長為_________.6.(2006春上海)在△ABC中,已知BC8,AC5,三角形面積為12,則cos2C.◆答案:1-4.BBCB;3.由2cosBsinA=sinC得a2c2b2×a=c,∴a=b.ac4.構成邊長6,7,7時面積最大;5.3;6.725四、經典例題【例1】(2006天津)如圖,在ABC中,AC2,BC1,cosC3．41）求AB的值；2）求sin2AC的值.解（Ⅰ）：由余弦定理,∴AB2.（Ⅱ）解：由由正弦定理:

cosC3,且0C,得4ABBC,sinCsinA解得sinABCsinC14.因此,cosA52AB88

.由倍角公式時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日sin2Asin2AcosA57,16且cos2A12sin2A9,故16sin2ACsin2AcosCcos2AsinC37.8◆解讀思想：已知兩邊夾角,用余弦定理,由三角函數值求三角函數值時要注意“三角形內角”的限制.【例2】在ABC中,已知a=3,b=2,B=45°,求A,C及邊c．解：由正弦定理得：sinA=asinB3sin453,由于b22B=45°<90°且b<a,因此有兩解A=60°或A=120°(1)當A=60°時,C=180°-(A+B)=75°,c=bsinC2sin7562,sinBsin452(2)當A=120°時,C=180°-(A+B)=15°,c=bsinC2sin1562sinBsin452◆解讀思想：已知兩邊和此中一邊的對角解三角形問題,用正弦定理求解,一定注意解的狀況的議論．【例3】(2006上海)如圖,當甲船位于A處時獲悉,在其正東標的目的相距20海里的B處有一艘漁船遇險等候營救甲船立刻前往營救,同時把信息奉勸在甲船的南偏西30,相距10海里C處的乙船,試問乙船應朝北偏東多少度的標的目的沿直線前去B處營救（角度精準到1）？[解]連結BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700?于是,BC=107時間：二O二一年七月二十九日A20B10C時間：二O二一年七月二十九日∵sinACBsin120,∴sin∠ACB=3,201077∵∠ACB<90°30°∴∠ACB=41°∴乙船應朝北偏東71°標的目的沿直線前去B處營救點撥糾正:把實質問題轉變為解斜三角形問題,在問題中機關出三角形,標出已知量、未知量,確立解三角形的方法；【例4】已知⊙O的半徑為R,,在它的內接三角形ABC中,有2Rsin2Asin2C2absinB建立,求△ABC面積S的最大值．解：由已知條件得2R2sin2Asin2B2RsinB2ab．即有a2c22abb2,又cosCa2b2c22∴c．AB32ab244∴S1absinC2ab24R2sinAsinB244當2A4,即A3(B)時,Smax21R2．282◆思路方法:1.邊角互化是解三角形問題常常使用的手段．一般有兩種思路：一是邊化角；二是角化邊.三角形中的三角變換,應靈巧運用正、余弦定理．在求值時,要利用三角函數的相關性質．【商討.賞識】（2006江西）如圖,已知△ABC是邊長為1的正三角形,M、N是邊AB、AC上的點,線段MN經過△ABC的中心G

鑒別.設MGA(2).3試將△AGM、△AGN的面積(鑒別記為S1與S2)示意為時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日的函數;1求yS12S22的最大值與最小值.解:由于G為邊長為1的正三角形ABC的中心,因此AG233,MAG.3236由正弦定理GMGA,得GM3,sin6sin()6sin(6)6由于2,因此當或2時,y的最大值3333ymax240;當時,y的最小值ymin216.2提煉總結1．掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理；2．利用正弦定理,能夠解決以下兩類問題：1）已知兩角和任一邊,求其余兩邊和一角；2）已知兩邊和此中一邊的對角,求另一邊的對角（進而進一步求出其余的邊和角）；3.利用余弦定理,能夠解決以下兩類問題：1）已知三邊,求三角；（2）已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其余兩角.4．邊角互化是解三角形的重要手段．4.6正弦、余弦定理解斜三角形【選擇題】時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日1.（2004浙江）在△ABC中,“A＞30°”是“sinA＞1”的2()A.充分而不需要條件B.需要而不充分條件C.充分需要條件D.既不充分也不需要條件（2004全國Ⅳ）△ABC中,a、b、c鑒別為∠A、∠B、∠C的對邊,假如a、b、c成等差數列,∠B=30°,△ABC的面積為3,那么2b等于()A.13B.1+2C.23D.2+2

333..以下條件中,△ABC是銳角三角形的是()A.sinA+cosA=1B.AB·BC＞05C.tanA+tanB+tanC＞0D.b=3,c=33,B=30°4.(2006全國Ⅰ)ABC的內角A、B、C的對邊鑒別為a、b、c,若a、b、c成等比數列,且c2a,則cosB()A.1B.3C.2444D.23【填空題】5.（2004春上海）在ABC中,a、b、c鑒別是A、B、C所對的邊.若A105,B45,b22,則c__________6.在銳角△ABC中,邊長a=1,b=2,則邊長c的取值規模是時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日_______.練習簡答：1-4.BBCB;1.在△ABC中,A＞30°0＜sinA＜1sinA＞1；sinA＞130°＜A＜150°A＞30°答案：B222.2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.由S=1acsin30°=1ac=3,242得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.得cosB=a2c2b2=4b212b2=b24=3,解得b=1+3.答案：B2ac26423.由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＞0,A、B、C都為銳角.答案：C5.2;6.若c最大,由cosC＞0.得c＜5.又c＞b－a=1,∴1c＜5.【解答題】（2004春北京）在△ABC中,a、b、c鑒別是∠A、∠B、∠C的對邊長,已知a、b、c成等比數列,且a2－c2=ac－bc,求∠A的大小及bsinB的值.c解析：因給出的是a、b、c之間的等量關系,要求∠A,需找∠A與三邊的關系,故可用余弦定理.由b2=ac可變形為b2c

=a,再用正弦定理可求bsinBc

的值.解法一：∵a、b、c成等比數列,∴b2=ac.又a2－c2=ac－bc,∴b2+c2－a2=bc.在△ABC中,由余弦定理得cosA=b2c2a2=bc=1,∴∠A=60°.2bc2bc2在△ABC中,由正弦定理得sinB=bsinA,a時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日∵b2=ac,∠A=60°,∴bsinBb2sin60=sin60°=3.cac2解法二：在△ABC中,由面積公式得1bcsinA=1acsinB.22∵b2=ac,∠A=60°,∴bcsinA=b2sinB.∴bsinB=sinA=3.c2評論：解三角形時,找三邊一角之間的關系常常使用余弦定理,找兩邊兩角之間的關系常常使用正弦定理.8.（2005春北京）在△ABC中,sinA+cosA=22tanA的值和△ABC的面積.

,AC=2,AB=3,求解法一：∵sinA+cosA=2cos（A－45°）=2,2∴cos（A－45°）=1.2又0°＜A＜180°,∴A－45°=60°,A=105°.∴tanA=tan（45°+60°）=13=－2－3.13∴sinA=sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=26.4∴S△ABC=1AC·ABsinA2=1·2·3·2642=3（2+6）.4解法二：∵sinA+cosA=2,①2時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日∴（sinA+cosA）2=1.∴2sinAcosA=－1.22∵0°＜A＜180°,∴sinA＞0,cosA＜0.∴90°＜A＜180°.∵（sinA－cosA）2=1－2sinAcosA=3,2∴sinA－cosA=62

.②①+②得sinA=①－②得cosA=

6.46.4∴tanA=sinA=26·4=－2－3.cosA426（以下同解法一）9.（2004全國Ⅱ）已知銳角△ABC中,sin（A+B）=3,sin（A5－B）=1.51）求證：tanA=2tanB；2）設AB=3,求AB邊上的高.解析：有兩角的和與差聯想到兩角和與差的正弦公式,聯合圖形,以（1）為鋪墊,解決（2）.1）證明：∵sin（A+B）=3,sin（A－B）=1,55sinAcosB3cosAsinB∴5sinAcosB1cosAsinB52sinAcosBtanA5=2.1tanBcosAsinB5∴tanA=2tanB.時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日2）解：π＜A+B＜π,∴sin（A+B）=3.25tan（A+B）=－3,4即tanAtanB=－3.將tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－1tanAtanB44tanB－1=0,解得tanB=26（負值舍去）.得2tanB=26,∴tanA=2tanB=2+6.2設AB邊上的高為CDCD=3CDCD,則AB=AD+DB=+tanAtanB26

.由AB=3得CD=2+6,因此AB邊上的高為2+6.評論：此題主要考察三角函數觀點,兩角和與差的公式以及應用,闡發和計算能力.10.在△ABC中,sinA=sinBsinC,判斷這個三角形的形狀.cosBcosC闡發：判斷一個三角形的形狀,可由三個內角的關系確立,亦可由三邊的關系確立.采納后一種方法解答此題,就一定“化角為邊”.解：應用正弦定理、余弦定理,可得a=bc,因此c2a2b2a2b2c22ca2abc2a2b2a2b2c2bc,2c2b化簡得a2=b2+c2.因此△ABC是直角三角形.評論：恒等變形是學好數學的基本功,變形的標的目的是關頭.若考慮三內角的關系,此題能夠從已知條件推出cosA=0.【探究題】已知A、B、C是△ABC的三個內角,y=cotA+A2sinA.cos（BC）cos時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日1）若隨意互換兩個角的地點,y的值能否更改?試證明你的結論.2）求y的最小值.解：（1）∵y=cotA+2sinπ（BC）cosπ（BC）cos（BC）（C）=cotA+2sinB（C）（C）cosBcosB=cotA+sinBcosCcosBsinCsinBsinC=cotA