[k12][k12]最新K12最新K12[k12]最新K12專題17統計與統計案例1．某校高中生共有900人，其中高一年級300人，高二年級200人，高三年級400人．現采取分層抽樣抽取容量為45的樣本，那么高一、高二、高三各年級抽取的人數分別為()A．15,5,25 B．15,15,15C．10,5,30 D．15,10,20【答案】：D【解析】：先確定抽樣比為eq\f(45,900)＝eq\f(1,20)，那么依次抽取的人數分別為eq\f(1,20)×300＝15，eq\f(1,20)×200＝10和eq\f(1,20)×400＝20.應選D.2.某同學進入高三后，4次月考的數學成績的莖葉圖如圖．那么該同學數學成績的方差是()A．125 B．5eq\r(5)C．45 D．3eq\r(5)【答案】：C3．為了判定兩個分類變量X和Y是否有關系，應用K2獨立性檢驗法算得K2的觀測值為5，又P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，那么以下說法正確的選項是()A．有95%的把握認為“X和Y有關系〞B．有95%的把握認為“X和Y沒有關系〞C．有99%的把握認為“X和Y有關系〞D．有99%的把握認為“X和Y沒有關系〞【答案】：A【解析】：依題意，K2＝5，且P(K2≥3.841)＝0.05，因此有95%的把握認為“X和Y有關系〞，選A.4．為了研究某大型超市開業天數與銷售額的情況，隨機抽取了5天，其開業天數與每天的銷售額的情況如下表所示：開業天數1020304050銷售額/天(萬元)62758189根據上表提供的數據，求得y關于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝0.67x＋54.9，由于表中有一個數據模糊看不清，請你推斷出該數據的值為()A．67 B．68C．68.3 D．71【答案】B【解析】：設表中模糊看不清的數據為m.因為x＝eq\f(10＋20＋30＋40＋50,5)＝30，又樣本中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在回歸直線eq\o(y,\s\up12(^))＝0.67x＋54.9上，所以eq\x\to(y)＝eq\f(m＋307,5)＝0.67×30＋54.9，得m＝68，應選B.5．采用系統抽樣方法從1000人中抽取50人做問卷調查，為此將他們隨機編號為1,2，…，1000，適當分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為8.抽到的50人中，編號落入區間[1,400]的人做問卷A，編號落入區間[401,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C，那么抽到的人中，做問卷C的人數為()A．12 B．13C．14 D．15【答案】：A6．為了普及環保知識，增強環保意識，某大學隨機抽取30名學生參加環保知識測試，得分(10分制)的直方圖如下圖，假設得分的中位數為me，眾數為m0，平均數為x，那么()A．me＝m0＝xB．me＝m0<xC．me<m0<xD．m0<me<x【答案】D【解析】由圖知m0＝5.將30名學生的得分從大到小排列，第15個數是5，第16個數是6，所以me＝5.5.又x＝eq\f(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2,30)>5.9，所以m0<me<x.7．給出以下四個命題：①質檢員每隔10分鐘從勻速傳遞的產品生產流水線上抽取一件產品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②將一組數據中的每個數據都加上同一個常數后，方差不變；③設隨機變量ξ服從正態分布N(0，1)，假設P(ξ≥1)＝p，那么P(－1<ξ<0)＝eq\f(1,2)－p；④在回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.1x＋10中，當x每增加1個單位時，eq\o(y,\s\up6(^))平均增加0.1個單位．其中真命題的個數是()A．1B．2C．3D．4【答案】C8．總體中各個個體的值由小到大依次為2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且總體的中位數為10.5.假設要使該總體的方差最小，那么a，b的取值分別是()A．10，11B．10.5，10.5C．10，10D．10，12【答案】B【解析】根據中位數的定義可知eq\f(a＋b,2)＝10.5，故總體的平均數為eq\f(2＋3＋3＋7＋10.5＋10.5＋12＋13.7＋18.3＋20,10)＝10.要使方差最小，只需(a－10)2＋(b－10)2最小，即(a－10)2＋(11－a)2最小，即2a2－42a＋221最小，當a＝－eq\f(－42,2×2)＝10.5時，2a2－42a＋221最小，此時b＝21－10.5＝10.5.9．某種產品的廣告支出x與銷售額y(單位：萬元)之間有如下對應數據：x24568y3040605070根據上表可得回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))為6.5.假設要使銷售額不低于100萬元，那么至少需要投入廣告費為(x為整數)()A．10萬元B．11萬元C．12萬元D．13萬元【答案】D【解析】因為x＝5，y＝50，所以50＝6.5×5＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝17.5，所以回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5.由6.5x＋17.5≥100，解得x≥eq\f(165,13)，因為x為整數，所以至少需要投入廣告費為13萬元．10．從氣象意義上來說春季進入夏季的標志為：連續5天的日平均溫度均不低于22℃.現有甲、乙、丙三地連續5天的日平均溫度的記錄數據(記錄數據都是正整數)：①甲地：5個數據的中位數為24，眾數為22；②乙地：5個數據的中位數為27，總體均值為24；③丙地：5個數據中有一個數據是32，總體均值為26，總體方差為10.4.那么肯定進入夏季的地區為()A．甲、乙、丙B．甲、丙C．乙、丙D．甲【答案】B11．x與y之間的幾組數據如下表：x3456y2.5344.5假設根據上表數據所得線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，根據中間兩組數據(4，3)和(5，4)求得的直線方程為y＝bx＋a，那么eq\o(b,\s\up6(^))________b，eq\o(a,\s\up6(^))________a．(填“>〞或“<〞)【答案】<>【解析】方法一：畫出散點圖，粗略估計回歸直線的位置，再畫出過點(4，3)，(5，4)的直線，如下圖．由圖易知eq\o(b,\s\up6(^))<b，eq\o(a,\s\up6(^))>a.方法二：由公式可得eq\o(b,\s\up6(^))＝0.7，eq\o(a,\s\up6(^))＝0.35.由題意可得b＝1，a＝－1，所以eq\o(b,\s\up6(^))<b，eq\o(a,\s\up6(^))>a.12．某地有居民100000戶，其中普通家庭99000戶，高收入家庭1000戶．從普通家庭中用簡單隨機抽樣的方法抽取990戶，從高收入家庭中用簡單隨機抽樣的方法抽取100戶進行調查，發現共有120戶家庭擁有3套或3套以上住房，其中普通家庭50戶，高收入家庭70戶．依據這些數據并結合所掌握的統計知識，請估計該地擁有3套或3套以上住房的家庭所占的比例是________．【答案】5.7%【解析】該地擁有3套或3套以上住房的家庭估計有99000×eq\f(50,990)＋1000×eq\f(70,100)＝5700(戶)，所以所占比例約為eq\f(5700,100000)＝5.7%.13．一個容量為20的樣本數據，它們組成一個公差不為0的等差數列{an}，假設a3＝8且前4項和S4＝28，那么此樣本數據的平均數和中位數分別是________．【答案】23，2314．某校在一次期末考試中，全校學生的數學成績都介于60分到140分之間(總分值150分)，為了估計該校學生的數學考試情況，從該校2000名學生的數學成績中隨機抽取50名學生的數學成績，將統計結果按如下方式分成八組：第一組[60，70)，第二組[70，80)，……，第八組[130，140]．該圖是按照上述分組得到的頻率分布直方圖的一局部．(1)求第七組的頻率，并將頻率分布直方圖補充完整；(2)估計該校2000名學生這次考試的數學成績的平均分(同一組數據使用中間值作代表)；(3)估計該校在這次考試中數學成績在[100，140]的人數．15．從某大學隨機選取7名女大學生，其身高x(單位：cm)和體重y(單位：kg)的有關數據如下表：編號1234567身高x163164165166167168169體重y52525355545656(1)求出回歸方程；(2)利用(1)中的回歸方程，分析這7名女大學生的身高和體重的變化，并預測一名身高為172cm的女大學生的體重．【解析】：(1)易知x＝eq\f(163＋164＋165＋166＋167＋168＋169,7)＝166，y＝eq\f(52＋52＋53＋55＋54＋56＋56,7)＝54.設回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，代入公式，經計算得eq\o(b,\s\up6(^))＝0.75，eq\o(a,\s\up6(^))＝y－eq\o(b,\s\up6(^))x＝54－0.75×166＝－70.5，所以回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.75x－70.5.16．在一次數學測驗后，班級學委對選答題的選題情況進行統計，如下表：幾何證明選講極坐標與參數方程不等式選講合計男同學124622女同學081220合計12121842(1)在統計結果中，如果把幾何證明選講和極坐標與參數方程稱為“幾何類〞，把不等式選講稱為“代數類〞，我們可以得到如下2×2列聯表.幾何類代數類合計男同學16622女同學81220合計241842能否認為選做“幾何類〞或“代數類〞與性別有關，假設有關，你有多大的把握？(2)在原始統計結果中，如果不考慮性別因素，按分層抽樣的方法從選做不同選答題的同學中隨機選出7名同學進行座談．這名學委和2名數學課代表都在選做“不等式選講〞的同學中．①求在這名學委被選中的條件下，2名數學課代表也被選中的概率；②記抽取到數學課代表的人數為X，求X的分布列及數學期望E(X)．下面臨界值表僅供參考：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】：(1)由題意知K2的觀測值k＝eq\f(42×〔16×12－8×6〕2,24×18×20×22)＝eq\f(252,55)≈4.582>3.841，所以有95%的把握認為選做“幾何類〞或“代數類〞與性別有關．(2)由題可知在選做“不等式選講〞的18名同學中，要選取3名同學．從而X的分布列為X012Peq\f(35,51)eq\f(5,17)eq\f(1,51)所以E(X)＝0×eq\f(35,51)＋1×eq\f(5,17)＋2×eq\f(1,51)＝eq\f(1,3).17.某市積極倡導學生參與綠色環保活動，其中代號為“環保衛士——12369”的綠色環保活動小組對2023年全年的空氣污染指數API進行監測，下表是在這一年內隨機抽取的100天的統計結果.API[0，50]〔50，100]〔100，150]〔150，200]〔200，250]〔250，300]>300空氣質量優良輕微污染輕度污染中度污染中重污染重度污染天數413183091115〔1〕假設該市某企業每天由空氣污染造成的經濟損失P〔單位：元〕與空氣污染指數API〔記為t〕的關系為P＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，0≤t≤100，,4t－400，100<t≤300，,1500，t>300，))在這一年內隨機抽取一天，估計該天經濟損失P在區間〔200，600]內的概率；〔2〕假設本次抽取的樣本數據有30天是在供暖季節，其中有8天為重度污染，完成2×2列聯表，并判斷是否有95%的把握認為該市本年度空氣重度污染與供暖有關.非重度污染重度污染合計供暖季非供暖季合計100下面臨界值表供參考：P〔K2≥k0〕0.150.100.05k02.0722.7063.841P〔K2≥k0〕0.0100.0050.001k06.6357.87910.828參考公式：K2＝eq\f(n〔ad－bc〕2,〔a＋b〕〔c＋d〕〔a＋c〕〔b＋d〕)〔2〕2×2列聯表為：非重度污染重度污染合計供暖季22830非供暖季63770合計8515100那么K2的觀測值k＝eq\f(100×〔63×8－22×7〕2,85×15×30×70)≈4.575>3.841，所以有95%的把握認為該市本年度空氣重度污染與供暖有關.18．某地隨著經濟的開展，居民收入逐年增長，下表是該地一建設銀行連續五年的儲蓄存款(年底余額)，如下表1：年份x20232023202320232023儲蓄存款y(千億元)567810為了研究計算的方便，工作人員將上表的數據進行了處理，t＝x－2010，z＝y－5，得到下表2：時間代號t12345z01235(1)求z關于t的線性回歸方程；(2)通過(1)中的方程，求出y關于x的回歸方程；(3)用所求回歸方程預測到2023年年底，該地儲蓄存款額可達多少？附：對于線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x