PAGEPAGE5點到直線的距離公式兩條平行直線間的距離新課程標準解讀核心素養1.探索并掌握點到直線的距離公式數學抽象、數學運算2.會求兩條平行直線間的距離直觀想象、數學運算在鐵路的附近，有一大型倉庫．現要修建一條公路與之連接起來，易知沿倉庫垂直于鐵路方向所修的公路最短．將鐵路看作一條直線l，倉庫看作點P.[問題]怎樣求得倉庫到鐵路的最短距離呢？知識點點到直線的距離與兩條平行直線間的距離點到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間公垂線段的長度公式點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))1．若點P(x0，y0)到直線l1：y＝a與l2：x＝b的距離分別為d1，d2，那么d1，d2如何求？提示：d1＝|y0－a|，d2＝|x0－b|.2．兩條平行直線間的距離公式寫成d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))時對兩條直線應有什么要求？提示：兩條平行直線的方程都是一般式，并且x，y的系數分別對應相等．1．原點到直線x＋2y－5＝0的距離為()A．1 B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)解析：選Dd＝eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5).2．已知直線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，則l1，l2之間的距離為()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：選B由題意知l1∥l2，則l1，l2之間的距離為eq\f(|1－（－1）|,\r(12＋12))＝eq\r(2).點到直線的距離[例1](鏈接教科書第77頁例5)求點P(3，－2)到下列直線的距離：(1)y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)；(2)y＝6；(3)x＝4.[解](1)直線y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)化為一般式為3x－4y＋1＝0，由點到直線的距離公式可得d＝eq\f(|3×3－4×（－2）＋1|,\r(32＋（－4）2))＝eq\f(18,5).(2)因為直線y＝6與y軸垂直，所以點P到它的距離d＝|－2－6|＝8.(3)因為直線x＝4與x軸垂直，所以點P到它的距離d＝|3－4|＝1.eq\a\vs4\al()應用點到直線的距離公式應注意的三個問題(1)直線方程應為一般式，若給出其他形式應化為一般式；(2)點P在直線l上時，點到直線的距離為0，公式仍然適用；(3)直線方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標軸垂直)，故也可用數形結合求解．[跟蹤訓練]求垂直于直線x＋3y－5＝0且與點P(－1，0)的距離是eq\f(3,5)eq\r(10)的直線l的方程．解：設與直線x＋3y－5＝0垂直的直線的方程為3x－y＋m＝0，則由點到直線的距離公式知：d＝eq\f(|3×（－1）－0＋m|,\r(32＋（－1）2))＝eq\f(|m－3|,\r(10))＝eq\f(3,5)eq\r(10).所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直線l的方程為3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.兩平行直線間的距離[例2](鏈接教科書第78頁例7)求與兩條平行直線l1：2x－3y＋4＝0與l2：2x－3y－2＝0距離相等的直線l的方程．[解]設所求直線l的方程為2x－3y＋C＝0.由直線l與兩條平行線的距離相等，得eq\f(|C－4|,\r(22＋32))＝eq\f(|C＋2|,\r(22＋32))，即|C－4|＝|C＋2|，解得C＝1.故直線l的方程為2x－3y＋1＝0.eq\a\vs4\al()由兩平行直線間的距離求直線方程通常有兩種思路：(1)設出所求直線方程后，在其中一條直線上取一點，利用點到直線的距離公式求解；(2)直接運用兩平行直線間的距離公式求解．[跟蹤訓練]1．兩直線3x＋4y－2＝0與6x＋8y－5＝0的距離等于()A．3 B．7C.eq\f(1,10) D.eq\f(1,2)解析：選C3x＋4y－2＝0變為6x＋8y－4＝0，則兩平行線間的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－4－（－5）)),\r(62＋82))＝eq\f(1,10).2．若直線m被平行直線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長為2eq\r(2)，則m的傾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正確答案的序號是______．解析：兩平行線間的距離d＝eq\f(|3－1|,\r(1＋1))＝eq\r(2)，故m與l1或l2的夾角為30°.又l1，l2的傾斜角為45°，∴直線m的傾斜角為30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.答案：①⑤距離的綜合應用[例3]已知正方形的中心為直線2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交點，正方形一邊所在的直線l的方程為x＋3y－5＝0，求正方形另外三邊所在直線的方程．[解]設與直線l：x＋3y－5＝0平行的邊所在的直線方程為l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x＋y＋1＝0))得正方形的中心坐標為P(－1，0)，由點P到兩直線l，l1的距離相等，得eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))＝eq\f(|－1＋c|,\r(12＋32))，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0.又正方形另兩邊所在直線與l垂直，∴設另兩邊所在直線的方程分別為3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.∵正方形中心到四條邊的距離相等，∴eq\f(|－3＋a|,\r(32＋（－1）2))＝eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))，得a＝9或a＝－3，同理得b＝9或b＝－3.∴另兩條邊所在的直線方程分別為3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.∴另外三邊所在的直線方程分別為3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.eq\a\vs4\al()利用點到直線的距離公式或兩平行線間的距離公式解綜合題時，需特別注意直線方程要化為一般式，同時要注意構造法、數形結合法的應用，本節中距離公式的形式為一些代數問題提供了幾何背景，可構造幾何圖形，借助幾何圖形的直觀性去解決問題．[跟蹤訓練]若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上，則AB的中點M到原點的距離的最小值為________．解析：依題意，知l1∥l2，故點M所在的直線平行于l1和l2，可設點M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0(m≠－7且m≠－5)，根據平行線間的距離公式，得eq\f(|m＋7|,\r(2))＝eq\f(|m＋5|,\r(2))?|m＋7|＝|m＋5|?m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根據點到直線的距離公式，得點M到原點的距離的最小值為eq\f(|－6|,\r(2))＝3eq\r(2).答案：3eq\r(2)1．已知點(a，2)(a＞0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于()A.eq\r(2) B.eq\r(2)－1C.eq\r(2)＋1 D．2－eq\r(2)解析：選B由點到直線的距離公式，得1＝eq\f(|a－2＋3|,\r(1＋1))，即|a＋1|＝eq\r(2).∵a＞0，∴a＝eq\r(2)－1，故選B.2．傾斜角為60°，并且與原點的距離是5的直線方程為________．解析：因為直線斜率為tan60°＝eq\r(3)，可設直線方程為y＝eq\r(3)x＋b，化為一般式得eq\r(3)x－y＋b＝0.由直線與原點距離為5，得eq\f(|0－0＋b|,\r(（\r(3)）2＋（－1）2))＝5?|b|＝10.所以b＝±10，所以所求直線方程為eq\r(3)x－y＋10＝0或eq\r(3)x－y－10＝0.答案：eq\r(3)x－y＋10＝0或eq\r(3)x－y－10＝03．已知直線l經過點P(－2，5)，且斜率為－eq\f(3,4).(1)求直線l的方程；(2)若直線m與l平行，且點P到直線m的距離為3，求直線m的方程．解：(1)由