橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用（45分鐘100分）一、選擇題(每小題6分,共30分) l過點(3,-1),且橢圓C:x225+y2 x225+y216=1的中心的弦,F x216+y2 B.11 C.10 24.直線y=1-x交橢圓mx2+ny2=1于M,N兩點,MN的中點為P,若kOP=22(O為原點),則mA.22 B.2 22 5.已知橢圓的一個焦點為F,若橢圓上存在點P,滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF相切于線段PF的中點,則該橢圓的離心率為()A.53 B.23 C.22 二、填空題(每小題8分,共24分)5,離心率e=23的橢圓的兩焦點為F1,F2,過F1作直線交橢圓于A,B兩點,則△ABF2的周長為x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,若直線y=kxx26+y25=1內(nèi)的一點P(2,-1)的弦AB,滿足OP→=12(O三、解答題(9題,10題14分,11題18分)1(-22,0)和F2(22,0),長軸長為6,設(shè)直線l交橢圓C于A,B兩點,且線段AB的中點坐標是P(-910,110),求直線1(-3,0),F2(3,0),離心率e=32(1)求此橢圓的方程.(2)設(shè)直線l:y=x+m,若l與此橢圓相交于P,Q兩點,且|PQ|等于橢圓的短軸長,求m的值.11.(能力挑戰(zhàn)題)已知大西北某荒漠上A,B兩點相距2km,現(xiàn)準備在荒漠上開墾出一片以AB為一條對角線的平行四邊形區(qū)域建成農(nóng)藝園,按照規(guī)劃,圍墻總長為8km.(1)試求四邊形另兩個頂點C,D的軌跡方程.(2)農(nóng)藝園的最大面積能達到多少?(3)該荒漠上有一條直線型小溪l剛好通過點A,且l與AB成30°角,現(xiàn)要對整條小溪進行加固改造,但考慮到今后農(nóng)藝園的小溪要重新設(shè)計改造,因此,對小溪可能被農(nóng)藝園圍進的部分暫不加固,則暫不加固的部分有多長?答案解析1.【解析】選C.∵直線過定點(3,-1)且3225+∴點(3,-1)在橢圓的內(nèi)部,故直線l與橢圓有2個公共點.2.【解析】2=25-16=9,∴|OF1|=c=3.∵AB過原點(0,0).∴當AB與短軸重合時,△F1AB的面積最大,其值為123.【解題指南】可設(shè)出與直線平行的直線方程,利用直線與橢圓相切確定切點,兩平行線間的距離即為最大或最小值.【解析】x+2y+m=0,x216+當直線與橢圓相切時,Δ=0即4m2-4×2(m2-16)=0,解得m=±42.當m=42時,切點到直線x+2y-2=0的距離最大,其值為d=|42+4.【解題指南】利用設(shè)而不求的思想,用m,n表示出中點P的坐標,再建立方程求解.【解析】選A.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0).由y=1-x,mx2+n∴x0=nm+n,從而y0=1-x0=1-nm+n=∴kOP=mn=2【變式備選】過點M(-1,12)的直線l與橢圓x2+2y2=2交于A,B兩點,設(shè)線段AB中點為M,設(shè)直線l的斜率為k1(k1≠0),直線OM的斜率為k2,則k1k2 C.12 【解析】選D.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).則x12+2x22+2②-①,得(x2-x1)(x2+x1)+2(y2-y1)(y2+y1)=0,即y2-y∴k1=y2-y1x2-x1故k1·k2=-125.【解題指南】采用數(shù)形結(jié)合,建立a,b,c的齊次式.【解析】選A.如圖,設(shè)另一焦點為F1,由條件可知,切點T為PF的中點,且OT⊥PF,∴OT=b,∴|PF1|=2b.∴|PF|=2a-2b.又∵∠F1PF=90°,∴(2b)2+(2a-2b)2=(2c)2,整理得e=ca=56.【解析】由題意知2b=5,△ABF2的周長為4a=4×32答案:67.【解題指南】根據(jù)條件可知,點(b,kb)在橢圓上,結(jié)合離心率解出斜率k.【解析】由條件知,(b,kb)在橢圓上,即b2a2∴k2=1-b2a2=a2-b2a2答案:±28.【解析】由于直線AB過點P,又OP→=12(O∴點P為弦AB的中點.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=-2.∴x∴(x1+∴4(x1即k=y1-y∴弦AB所在的直線方程為y+1=53答案:5x-3y-13=09.【解題指南】先求出橢圓的標準方程,再用“平方差法”求直線斜率,進而求出直線方程.【解析】由已知條件得橢圓的焦點在x軸上,其中c=22,a=3,從而b=1,所以其標準方程是x29+y設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點為P(-910,110),則x1+x22又∵A,B在橢圓上,∴x兩式相減得x12-x22+9(即(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,∴-95(x1-x2)+9×15(y1-y∴y1所以k=1,所以直線l的方程為y=x+1.10.【解析】(1)設(shè)橢圓方程為x2a2則c=3,ca=32,∴a=2,b2=a2-c∴所求橢圓方程為x24+y(2)由y=x+m,x2+4y則Δ=64m2-80(m2-1)>0得m2<5,(*)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=-8m5,x1x2=y1-y2=x1-x2,|PQ|=(=2[(-解得m2=158,滿足(*),∴m=±3011.【解析】以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系.則A(-1,0),B(1,0).(1)由題意可知,C,D兩點在以A,B為焦點的一個橢圓上.∵平行四邊形的周長為8,∴2a=4,而2c=2,∴b2=a2-c2=3.故所求橢圓的標準方程為x24+(2)易知:當C,D為橢圓的短軸端點時,農(nóng)藝園的面積最大,其值為23km2.(3)求l:y=33(x+1)被橢圓x24+y23=1截得的線段長.設(shè)線段端點坐標分別為(x1,y1由y整理得13x2+8x-32=0,由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=-813,x1·x2=-32∴弦長為[1+(33∴暫不加固的部分為4813【拓展提升】解答與橢圓有關(guān)的實際問題的方法技巧