8.現將除顏色外其他完全相同的6個紅球和6個白球平均放入AJ3兩個封閉的盒子中.甲從

三湘名校教育聯盟?2022年上學期高二期末考試

五市十校教研教改共同體盒子A中，乙從盒子B中各隨機取出一個球.若2個球同色?則甲勝?且將取出的2個球全部

數學試題放入盒子人中；若2個球異色,則乙勝，且將取出的2個球全部放入盒子B中.按上述規則重

復兩次后，盒子A中恰有8個球的概率是

審題:南縣一中郭勁松

A17口1711

本試卷共1頁，22題。全卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。A-70B-35rC.2D-16

注意事項：

二、選擇題（本題共4小題.每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中?有多項符合題目要

1.答題前?先將自己的姓名、考號等填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置。求。全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分）

2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫9.若復數之滿足：之（￡+2i）=8+6i.則

在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.A.之的實部為3

3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區域內。寫在試題卷、B.之的虛部為1

草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。

C.zz=\/10

4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。

D.2在復平面上對應的點位于第一象限

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分.共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

10?點P,Q為邊K為1的正六邊形A3CDEF的邊界上的兩個不同的動點,則彳6-不。的值可

合題目要求的）

以為

1.已知集合F={yly>一l,y￡Z},Q={3ly&4,3WZ},則PDQ=

A.{?|一1<?<4}B.{y\y^7.}C.{-1,0.1.2.3.4}D.11,2.3,4^A.-5B.-1C.yD.4

2.已知2/的解集為（［,—1）（￡V—l）?則k-\~m的值為

11.已知a.。為正實數，且，茄=3反而一4&\則2a+〃的取值可以為

A.1B.2C.-1D.-2

A.1B.4C.9D.32

3.若雙曲線C：/一，=l（a>0,6>0）的離心率為先.則直線①=5與兩條漸近線圍成的三角

12.下列不等式正確的是

形的面積為A.Iog23<log^9

A.4&B.4C.272D.V2B.log?3Vig15

4.已知。=（—2?-1）?力=（1?2）.若向量。在向量b上的投影向量為c.則c=C.logs12>logl:>15

D.logs12>log,i3V6

三、填空題（本題共4小題，每小題5分,共20分）

13.從1?3,5,7這4個數中隨機取出2個不同的數a,〃?則a^rb>ab的概率為.

14.《孫子算經》是我國南北朝時期（公元5世紀）的數學著作.在《孫子算經》中有“物不知數”問

5.（》—1）卜一力的展開式中的常數項為題.其中記載：有物不知數,三三數之剩二，五五數之剩三，問物幾何？即一個整數除以三余

二，除以五余三，求這個整數.設這個正整數為。，當時，符合條件的所有a的個

A.40B.60C.80D.120100］

數為.

6.已知圓C經過點P（1.0）,且與直線1=一1相切.則其圓心到宜線?一y+3=0距離的最小

15.已知點D為△ABC的邊3c的中點，翁=a+b,公=。一2八|a|=2|b|=2,a?b的夾角為

值為

A.3B.2，.則|G|=.

C.V3D.72

16.已知函數）=「一的圖象與函數3，='（一12一1）―3的圖象關于某一條直線z對稱，若p,

7.已知定義域是R的函數/（彳）滿足：1T￡七八4+幻+/（一—=0,/（1+工）為偶函數,

/?⑴=1,則f（2023）=Q分別為它們圖象上的兩個動點?則這兩點之間距離的最小值為

A.1B.-1

C.2D.-3

高二數學第1頁（共?頁）高二數學第2頁（共4頁）

四、解答題(本題共6小題，共70分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)20.(本小題滿分12分)

17.(本小題滿分10分)在三棱錐ABCD中?已知平面A3D_L平面BCD,且BD=娓、AD=&、AB=29，BC

在△ABC中，已知角A的對邊分別為a,dc,且2asinBoosC+2ccosAsinB=-/3b.±AC.

(1)求角B的大?。?1)求證：坎」平面ACD；

(2)若AABC為銳角三角形，且。=2°,〃=1?求AABC的面積.(2)若E為△ABC的重心?CD=W，求平面CDE與平面ABD所成銳二面角的正弦值.

18.(本小題滿分12分)

若X?NT，/),從X的取值中隨機抽取"AGN娛＞2)個數據，記這△個數據的平均值

為丫，則隨機變量丫?以下問題的求解中可以利用這一結論.

21.(本小題滿分12分)

根據以往的考試數據.某學校高三年級數學模考成績X?N(1OO,52),設從X的取值中隨

已知橢圓E：，+2](a＞〃＞0)的右焦點與拋物線丁=41的焦點重合，且橢圓E截拋

機抽取25個數據的平均值為隨機變量Y.現在從X的取值中隨機抽取25個數據從小到大排列

為6,12，彳3，…，孫5，"1+才2+…+=901.5,1g十/17+…+45=1048,其余5個數分別為物線的準線得到的弦長為3.

97,97,98,98,98.(1)求橢圓E的標準方程；

(1)求?，肛門3，…，才25的中位數及平均值;(2)設兩條不同的直線〃？與直線，交于E的右焦點F,且互相垂直,直線/交橢圓E于點

⑵求P(98&Y&103).A,B,直線相交橢圓E于點C.D,探究：A、I3、C、D四個點是否可以在同一個圓上？若可以,請

附：隨機變量？服從正態分布N(M，,)，則P(〃。&7忘〃+。)=0.6827)(串一2。￡1g求出所有這樣的直線，〃與直線/：否則請說明理由.

+2(；)=0.9545,2(〃一30〈咨〃+30)=0.9973.

22.(本小題滿分12分)

設/(.r)=ln(.r+1)—1一號，q(i)=aa",.r6y?1).

19.(本小題滿分12分)

已知等差數列｛%｝的前〃項和為S”，R=2,$=26.正項等比數列｛兒｝中，"=2,慶+優(1)求/Q)的單調區間；

=12.⑵證明：當心一十時,/(1)4(/).

(1)求｛a?＞與｛b?＞的通項公式；

(2)求數列數力力的前曾項和T“.

高二數學第3頁(共1頁)高二數學第1頁(共1頁)

參考答案及解析?高二數學?

2022年上學期高二期末考試

數學參考答案

一、選擇題

I,—4y+12|q，一2尸+8|當

1.C【解析】由題意可知,PnQ={-1,0.1.2,3.4}.壇4724伍

故選C.y=2時,dmin=>/2"，故選D.

2.B【解析】因為2./+Ar-加<0的解集為“，-1)

7.B【解析】因為/(1+彳)為偶函數.所以/Q)的圖象

“〈一1),所以工=-1為方程2/+左上一帆=0的一

關于直線彳=1對稱，所以/(2—I)=/(彳)，又由

個根，所以k+?,=2.故選B./(4+#)+/(一/)=0,得/(4+才)=-/(一1),所以

3.C【解析】因為雙曲線C：￡-$=l(a>0,6>0)的/(8+7)=—/(一4一/)=一/(6+幻?所以f(x+2)

=一/(①)，所以/Q、+4)=f(.r),故/(力的周期為

離心率為"，所以'1十3=乃,所以包=質,所以

aa4,所以/(2023)=/(3)=-/(1)=-1.故選B.

漸近線的方程為？=±7Tr，所以直線了=《即直線8.A【解析】若兩次取球后?盒子A中恰有8個球，則

兩次取球均為甲勝，即兩次取球均為同色.若第一次

工=笈，與兩條漸近線的交點坐標為(笈，±2).所以

取球甲、乙都取到紅球,概率為4X?，則第一

直線H=幺與兩條漸近線圍成的三角形的面積為4bo4

aL

次取球后盒子A中有4個紅球和3個白球，盒子B

X4XV2=2V2.故選C.

中有2個紅球和3個白球,第二次取同色球分為取到

4.D【解析】c=|。|cos0與=(a?b)=

b\也~紅球或取到白球.概率為等乂春+,X春=1故

(一(，一J-).故選D.

第一次取球甲、乙都取到紅球且兩次取球后，盒子八

5.A【解析】在(了一春)，的展開式中，T+=有8個球的概率為J><g=累，同理，第一次取球

(-D-Qx7*'(y)，=(-2)rQjr^2r.(^-y)(j—y)甲、乙都取到白球且兩次取球后，盒子A中有8個球

17

的概率為毛.所以兩次取球后，盒子A中恰有8個

的展開式中常數項為(-2),c-(-2)20=40.故140

選A.球的概率是孟+孟=黑故選A.

6.D【解析】依題意.設圓。的圓心C(/?))，動點C

二、選擇題

到點P的距離等于到直線彳=-1的距離，根據拋物

9.ABD【解析】設2=。+6(°,〃6!<),因為之(￡+2i)

線的定義可得圓心C的軌跡方程為/=4],設圓心

=8+6i,所以zz-\~Z\z—8+6i,所以(a?+〃-26)+

C到直線工一、+3=0距離為4"=紅二誓乳=

2ai=8+6i,所以/+/—2〃=8,20=6,所以a=3,

?高二數學?參考答案及解析

〃=1,所以2=3+1所以宜的實部為3,虛部為1.故log,<>15>logl215,故正確；選項D：/(4)=log812>

人1正確；6=|2|2=10,故C不正確；Z在復平面上/(18)=10怎,54=1。863區,故正確,故選CD.

對應的點(3.D位于第一象限.故D正確.故選ABD.三、填空題

10.BCD【解析】病?而=|就|TiQ|cosa=

13.y【解析】取出的6組數分別為1,3；1,5;1,7;3,

2|而|cosa,其中a為向量而與樂的夾角,即灰

5；3,7；5.7,其中有3組1,3;1.5；1.7滿足。+〃〉

與拓的夾角,當點P為點A,點Q為點D時，

所以a+b>al>的概率為春=+.

市?訖=2|而|cosa=2|F3l=21而|,取最大

值為4；當點P為點點Q為點AHt.AD-PQ=14.7【解析】當口，1001時?滿足條件的整數?組

2ITOIcos?=-2PQ=一2|俞I，取最小值為成一個等差數列，首項為8,公差為3與5的最小公

一4.故選BCD.倍數15,令1=8+15*<100,所以04R<6.所以符

合條件的所有a的個數為7.

11.BD【解析】因為a"為正實數，/石=3E在一

15.空【解析】因為2俞=磊+公，所以(2力5尸

4至，所以3名可一4點舞《紅投.

42272

=(彳方+元所以4|前|2=(2a-b”=4|a|2+

當且僅當2a=〃時等號成立,即3727+6-472<

\b\2~4a?b=16+l-4X2Xcos號=13,所以

之萼，所以(2&+〃)一6&/砧石+16/0,所以

2yr

I訪=爭.

M2a+44笈或，2a+442⑶因為a"為正實

16.回生興衛【解析】令，=一工一1,則工=一，一1,

數，9=3所以372^+*-472>

0,所以，2&+6》4&或^^<，2a+〃42.夜.所以?=e"+3,y=@鏟，因為》=十+3與》=應鏟關

于直線y=t對稱，所以函數與函數了=

2a+6>32或mV2a+b48.故選BD.y=e2*7

.(―"J1)―3關于直線了=一力一1對稱，所以P,

12.CD【解析】選項A：log23=log2232=log9故不正

確；設/(2=1密，(37)(/>1),因為N>1,所以Q兩點之間距離的最小值等于P到直線？=-4?一1

3In(2.r)2In(3；z)距離最小值的2倍，函數y=e*|在P(1o,y))點

,.、「In(31)1/312w

2f(=LnraJ=-h?(275

處的切線斜率為k=~2e%+i，令一2釘2飛+1=-1

In(2x)—ln(3才)

VO,所以f(R)在［l,+8)上單調得=I)，，y)=；，所以點P到直線y=—w

.rln2(2vf)

遞減.所以選項B：/(1)=log3>logio15=lgl5=：1+In2

2++1

2

-1距離的最小值為d=T|_

/(5),故不正確；選項C：/(4)=log812>/(5)=：

?2

參考答案及解析?高二數學?

9O1.5+97X2+98X3+1O48"匚”八、

也工中色.所以這兩點之間距離的最小值為2d=------------------2^------------------=9/.5.(6分)

4

&（4+ln2）(2)由題意知丫?N(100,,),即Y-N(100,l)

2,

(8分)，

四、解答題

因為P(98<y<102)=0.9545,

17.解：（1）由正弦定理和2asinBcosC+2ccosAsinB=

P(97&YW103)=0.9973,

商得，

所以P(98<y<103)=y[P(98<y<102)+P(97

4RsinAsinBcosC+4RsinCeosAsin3=2向Hsin3,

（2分）

^Y^103)]=y(0.9545+0.9973)=0.9759.

因為sinBWO,所以sinAcosC+sinCeosA=吟.

(12分)

（4分）19.解：(1)設公差為d.

4xq

所以sin（A+C）=g，即sinB=g.由已知得,4X2+號之7=26,解得d=3,(2分)

所以an=?]+(〃-l)d=2+3(〃-1)=3〃-1,

因為86（0,3所以B=件或學.（6分）

即｛aa｝通項公式為a”=3〃一1；(4分)

（2）因為三角形ABC為銳角三角形，所以B=y.設正項等比數列｛兒)的公比為9,因為"=2,仇十

仇=12,

（7分）

所以2(q+/)=i2,所以6=o,

由余弦定理得=。2+（12-2&CCOS8,（8分）

解得或負值舍去),

因為c=2a"=1,所以12=/+4a2—2a?2a?4=24=-3(

所以兒=2".(6分)

7t

COST'

(2)6/?Z>?=(3w-l)2n,(7分)

所以。=號.，=竽，分）

（9所以T?=2X2,+5X22+8X23+-+(3/?-4)2^1

+(3〃-1)2”，(8分)

所以三角形ABC的面積為/acsin?=yXyX

所以2T?=2X22+5X23+8X2,H------H3〃—4)2”

+(3%—1)2"+】，

粵3唔2翼6,（1。分）

相減得，一T“=2X21+3X22+3X23+3X2"+…

18.解：（1）由已知得，有10個數不超過97,有10個數不

+3?2”一(3〃-1)2"7=2X2*+論21]。了]

低于98,中間的5個數為97,97,98,98,98,所以為,

12，加，…，I25的中位數為98,（3分）-(3M-l)2fl+,,(10分)

進一步由已知得，Nl,4，/3，…?/25的平均值為所以丁“=(3〃-4)2"7+8.(12分)

3

?高二數學-參考答案及解析

20.解：（1）因為BD=B，AD=&,A8=2&■，所以BD1設平面CDE的一個法向所為"：？=（ny,z）,所

-\-AD2=AB\

以〈,

所以ADJ_BD,（1分）

.綜+和爭=。

又因為平面A3D_L平面BCD,

平面八BDD平面BCQ=3D.因為八QU平面ABD,

取/=1,）=—1，則之=一①，所以=（1?—1,

所以AD_]_平面BCQ.因為BCU平面BCQ.（2分）

-V3）,（11分）

所以ADJ_BC,

設平面CDE與平面A3D所成的銳二面角為8，

又因為BC±AC,ACr\AD=A,

所以BC_L平面ACD.（4分）

（2）因為BCJ_平面ACACDU平面ACD,所以BC

_LCD,

即平面CDE與平面ABD所成銳二面角的正弦值

因為。。=①，8/）=疝,所以BC=V3，ZBDC=

為縛.（12分）

-y，（6分）

解拋物線/的焦點坐標為準線方

以D為坐標原點，直線DB.DA分別為父，之軸，在平21.：（1）=4.r（1,0）,

程為H=一1,（1分）

面BCD內過點D與BD垂直的直線為了軸建立空

間宜角坐標系，設。=由已知得c=1,2/=3,解得0=2,

b=\[^,

則橢圓E的標準方程為?+q=1.（4分）

（2）因為兩條不同的直線相與/直線均過橢圓的右

焦點（1,0），且互相垂直，

由題意可知當斜率均存在且不為0時,可設宜線I

為y=￡0—1），直線m為了=一十（]一1），其中

6#0,（5分）

M）,所以E（g*,號），所以茂=（哼4,o）,

A（.口，以）.13（^2，）2），C（X3,33）,D（?，M）,

元=（哼邛，考「（8分）將直線/的方程代入橢圓方程1■+[=1得，

平面ABD的一個法向量為小=（0?1,0）,（9分）（3+4/）12-84。+（4/一12）=0,

?4

參考答案及解析?高二數學-

(2)解法一：設八(工)=/(_r)-gO)=ln(j-+l)-a-

所以為+%2=3；4/3+4/，（7分）

-ax2-y,(4分)

若A、B、C、D四個點可以在同一個圓上，

則FA-FB=FC?FD.（8分）若證/(rXgO)成立.即證

所以y/\~\~k22

|1—|?x/H-p-I1—X2I=Jl+g//(j-)=1]—1—2aj—j-

_一1[22+(2。+1)]+(2。+1)[，rZY\

|11融|*+表|1—Xi|,=-------------------K-------------------'(5分)

△=(2a+l)2-4(2a+D=(2a+l)(2a—3),

所以公（1一1）（12-1）=（l-J-3）（力一1）,所

1Q

以分[一彳|12+（4+12）-1]=[-1314+（①3+當一歹?'時，△&0,所以x2+(2a+1)8+2。

4）—1],

+1>0,當才G[—；,0)時，，(/)>0"(/)單調遞

I/I、?4〃一12?8公?

一工皿+3+工2）-1=-罰官+市后-1=

增，當nW(0,1)時,，(n)V0"(①)單調遞減，所以

an/，2

3十小?同理一小山+（g+不）-1=3,2—4，A(^)mn