數列1:數列基礎和等差等比數列

目錄

【知識點總結】................................................................................1

【題型一】根據數列的前n項寫出數列通項公式................................................2

【題型二】等差數列的相關題型...............................................................3

【題型三】等比數列的相關題型7

【題型四】等差等比數列的證明..............................................................11

【知識點總結】

知識點一:數列的概念

1.數列

定義：

數列中的每一個數都叫做這個數列的項，各項依次叫做這個數列的第1項(或首項)，第2項，…，第

"項，….

數列的一般形式為：ai,S2,S3,???,a?,???,簡記作｛aj.

2.數列的通項公式

定義：

注意：①｛4｝表示數列，4表示數列中的第"項，表示數列的通項公式；

②同一個數列的通項公式的形式不一定唯一：

③不是每個數列都有通項公式.

3.數列的遞推公式

定義：

如：數列“1,1,2,3,5,8,13,…”的遞推公式是：a,=1,a2=1,a?=a?-i+a?-2(n>3)

知識點二:數列的函數特性

1.從函數觀點看數列

序號：①②③④⑤⑥

項：456789

如上圖所示，每一項序號與這一項的對應關系可看成是一個序號集合到另一個數集的映射.從函數

觀點看，數列實質上是定義域為正整數集N*(或它的有限子集)的函數式(〃)當自變量〃從1開始依次取

值時對應的一系列函數值/(1),H2),f(3),…，/(〃)，….通常用當來代替H"),其圖象是一群孤

立點.通項公式反映了自變量〃與函數為之間的關系，實質是一個函數解析式.

由于數列是特殊的函數，因此可以用研究函數的思想方法來研究數列的相關性質(單調性、最值等).

2.單調性和最值

兩種方法：(1)“函數法”：建立函數模型，利用函數性質來解決.

(2)“定義法”：根據數列單調的定義，對式子進行變換.

①單調性：a”+i>a〃O單調遞增；單調遞減.

_13((~\

②最值：1Oa為最大值；Od為最小值.

Hk+i

知識點三：數列的前〃項和與通項的關系

S,n=1

數列的前"項和通常用S表示，記作S=ai+a2+a3-|----\-a?,則通項&=■.

[S—Si,"22

注意：通常要檢臉日是否適合當〃》2時得到的a.:i若適合，則將多用一個式子表示；

ii若不適合，則將4用分段形式表示.

【題型一】根據數列的前n項寫出數列通項公式

【典例分析】

例題1:寫出下列數列的一個通項公式:

12341111

(1)弓2-.3-.4—???(z2)————???(3)0,1,0,1,

5，*T6’⑵20，,

….(5)3,班，何….(/、3」2

(4)3,5,9,17,6)—1,-,~3f4f

(7)8,88,888,8888,—.(8)0.9,0.99,0.999,0.9999,

例題2：數列1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,…中x的值為________.

例題3:已知數列｛4｝的前4項分別為2,0,2,0,則下列各式不可以作為數列｛aj的通項公式的一項是

()

nn2,〃為奇數

A.a=1+(-1)小B.a?=2sin(-y)C.a”=1—cos(〃n)

0,〃為偶數

例題4：將自然數的前5個數：(1)排成1,2,3,4,5；(2)排成5,4,3,2,1；

(3)排成2,1,5,3,4;(4)排成4,1,5,3,2.那么可以叫做數列的只有)

(A)(1)(B)(1)和(2)(0(1),(2)(3)(D)(1),(2),(3),(4)

例題5:按規律填空()

⑴2,5,8,(),();⑵2,7,12,17,22,(),(：);

(3)5,10,15,20,(),();(4)(),(),13,19,25,3：1,37；

例題6:數列2,3,4,5,…的一個通項公式為()

A.an—nB.&=〃+1C.a?—n+2D.a?—2n

例題7：數列1,0,1,0,1,…的一個通項公式是()

-1-(-1)"

A.'B.C.—

1"2

例題8：寫出以下各數列的通項公式：'

①②0,1,0,1,0,1,…④10,9,8,7,6,…

248

⑤9,99,999,9999,…⑦一，一，—，—，—

416366426122030

【提分秘籍】

基本規律

這個就看看就好，了解一下不是重點。想了一想此處省一些內容。。。。先上重點內容。。。

【題型二】等差數列的相關題型

【典例分析】

(1)等差數列的基本量計算

例題1:在等差數列｛a.｝中，科=8,前7項和S=42,則其公差是為

例題2：已知｛4｝是公差為1的等差數列，S“為｛a,J的前〃項和，若$8=4$4，則()

(A)—(B)—(C)10(D)12

22

例題3：已知S“為等差數列｛a,J的前〃項和，若工=1,區=4,則區的值為()

§4

935

A.-B.-C.-D.4

424

例題4：在等差數列｛a｝中，So=12O,那么各+a。的值是().

A.12B.240.36D.48

例題5：設S是等差數列｛&｝的前"項和，已知生=3,56=11,則S等于（）

A.13B.35C.49D.63

例題6：在等差數列｛〃“｝中，若前10項的和Si。=60,%=7,則%=（）

A.4B.-4C.5D.-5

邑009$2007_2

例題7:設等差數列｛"/的前〃項和為S1,已知％=一201°2669-20(j7-,則%10=(

)

A.一2008B.2008C.-2010D.2010

例題8:設S“是等差數列｛?！埃那皀項和,若亥=3,則邑=（)

49S,

A1B-1C2D-

2

【變式演練】

1.若等差數列｛〃“｝滿足a1+a2+82015+32016=3,則｛〃“｝的前2016項之和S2016=（）

A.1506B.1508C.1510D.1512

2.設等差數列｛4｝的前〃項和為S”，若一《=3，則S?=（）

A.2B.3C.4D.5

3.在等差數列｛。〃｝中，若84=1,$8=4,則。17+。18+。19+。20的值為（）

4.在等差數列｛q｝中，+。2+???+。50=200,%1+。52+???+600=2700,則。[為()

5.若等差數列｛%｝中，%+%一《0=8,41—〃4=4,則S]3=

□

6.已知等差數列｛%｝的前"項和味S“，at>0,a1a2=-,S5=10.

（1）求數列｛%｝的通項公式；

7.設S〃為等差數列｛%｝的前〃項和，已知4+《3=26,S9=81.

(1)求｛%｝的通項公式；.

8已知等差數列｛〃〃｝前9項的和為27,4。=8,則()

(A)100(B)99(C)98(D)97

9在等差數列｛〃〃｝中，首項〃1=0,公差dwO,若4=4+生+/+…+%，則攵=()

A、22B、23C、24D、25

10數列｛〃〃｝是等差數列，%=7,則$7=

11在等差數列｛劣｝中，—e0=8,aw—a=4,記S=a+a+a+...+a”則S3等于

12在等差數列｛q｝中，已知%=3,公差d=2,求Sy

13已知等差數列｛?！ǎ那啊椇蜑镾“，且。2+%=25,§5=55.

(1)求數列｛。〃｝的通項公式；

14已知正項等差數列｛凡｝的前n項和為S,,,且滿足4+%=；4、$7=56。

(I)求數列｛4,｝的通項公式；

(2)等差數列的性質(重點中項，等和性)

1.在等差數列｛&｝中，a3+由=37,則與+次+36+石8=.

2.已知等差數列｛4｝,滿足%+火=8,則此數歹”的前11項的和S“二()

A.44B.33C.22D.11

3.已知等差數列｛?！ǎ那啊椇蜑镾〃，若4+/+%=12,則S7的值為()

A.56B.42C.28D.14

4.在等差數列｛a,J中，已知&+%二16,則生+而二()

(A)12(B)16(C)20(D)24

5.在等差數列｛〃〃｝中，。］+%+。3=3,。28+。29+。30=165,則此數列前30項和等于(

A.810B.840C.870D.900

6.等差數列｛%｝的公差是正數，且%的=-12,%+。6=-4,求它的前20項的和.

7.美國某公司給員工加工資有兩個方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年結束時加300美元.問:

(1)從第幾年開始，第二種方案比第一種方案總共加的工資多？

(2)如果在該公司干10年，問選擇第二種方案比選擇第一種方案多加工資多少美元？

(3)如果第二種方案中每半年加300美元改為每半年加a美元.

問a取何值時，總是選擇第二種方案比第一種方案多加工資？

【變式演練】

1.假設某市2004年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房.預計在今后的若干年內，該市

每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方

米.那么，到哪一年底，

⑴該市歷年所建中低價房的累計面積(以2004年為累計的第一年)將首次不少于4750萬平方米？

(2)當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?用火柴棒按下圖的方法搭三角形:

2.按圖示的規律搭下去，則所用火柴棒數a.與所搭三角形的個數〃之間的關系式可以是

3.已知等差數列瓜｝的前n項和為S?,且az=-45,a4=-41,則S.取得最小值時n的值為()

A.23B.24或250.24D.25

4.在首項為81,公差為一7的等差數列｛q｝中，最接近零的是第()項

5.已知等差數列｛a,,｝中，W+扇+2a3a=9,且a<0,則$。為()

A.-9B.-110.-13D.-15

6.設等差數列｛aj的前"項和為$,已知會=12,且S2>0,5,3<0.

(1)求公差d的范圍；

(2)問前幾項的和最大，并說明理由.

【題型三】等比數列的相關題型

(1)等比數列的基本量計算

2

1.設首項為1,公比為§的等比數列｛4』的前n項和為S”，則().

_

A.Sn=2〃〃-1B.Sn=3an2C.Sn=4—D.Sn=3—

c

2.設Sn為等比數列｛aj的前n項和，8a2+a5=0,則/等于()

A.11B.5C.-8D.-11

3.設等比數列｛a0｝的前n項和為S”ai=1,S6=4S3,則a?=.

4.記等比數列｛aj的前n項和為S”若S3=2,S6=18,則卵等于()

05

A.-3B.50.-31D.33

55S

5.已知等比數列｛〃〃｝的前〃項和為，〃1+%=二，且生+。4=二，則=(

24an

A.4"7B.4"一1C.2"TD.2"-1

6.數列｛。〃｝中4=2,a〃+]=2a〃,S〃為｛4｝的前n項和，若Sn=126,則n-.

7.設等比數列｛aj的公比q=2,前n項和為S”，則&等于()

S2

1517

A.2B.4G.—D.—

8.在等比數列⑸｝中，已知S4=48,S8=60,則$2=,

【變式演練】

1.設公比為g①>0)的等比數列｛4｝的前項和為S“，若S2=34+2,=3%+2,則4=()

12

A.-2B.-1C.-D.-

23

2.已知等比數列｛aj前n項和為S”且S3=8,S6=9,則公比q=.

3.設等比數列｛a,,｝的前〃項和為S,,若56：y=1：2,則Sg：5：()

A.1:2B.2:3C.3:4D.1:3

4.數列｛21的前n項和S.等于()

A.2n-1B.2n-2C.2n+'-1D.2n+,-2

5.已知等比數列的公比為2,且前5項和為1,那么前10項和等于()

A.31B.33C.35D.37

6.等比數列｛a“｝前〃項和為S“，若其=6,$4=30,則$6=()

(A)62(B)64(0126(D)128

55S

7.已知等比數列5｝的前n項和為Sn,ai+a=—,且a2+a4="7，則,=()

3z4a"、'

(A)4”T(B)4n-1(C)2n-'(D)2n-1

8.設｛aj是由正數組成的等比數列，S。為其前n項和，已知aza“=1,S3=7,則Ss等于()

9.在等比數列｛aj中，公比q是整數，ai+a4=18,a2+a3=12,則此數列的前8項和為（）

A.514B.513C.512D.510

10.在等比數列｛?！ǎ?，ax=5,S5=55,則公比q等于（.）

A.4B.2C.-2D.-2或4

（2）等比數列的性質（重點中項及等和性）

1.已知等比數列｛aj中，ai+an=66,a2an-i=128,Sn=126,求項數n和公比q的值.

2.已知各項為正數的等比數列｛aj中，句與勿=5,2加金=10,則石4比a.等于（）

A.5/B.70.6D.4/

3.已知等比數列｛aj中，ai?a9=64,a3+a7=20,則an=.

4.在等比數列｛aj中，

（1）若25=2,々0=10,則215=；

（2）若%=5,%=6,則的以io=。

5.在等比數列｛〃“｝中，%+q=34,%?%=a，s”=62,求幾,q

6.在正項等比數列｛d｝中，“Ka”，我?%=6,d+a=5,則一等于（）

生

5623

A.TB-C-D-

O0J2

7.某工廠去年產值為a,計劃5年內每年比上一年產值增長10%,從今年起五年內這個工廠的總產值為

（）

A.l.14aB..l.l5aC.10（1.15-l）bD.11（1.15-1）a

8.在等比數列｛劣｝中，若a>0,ay?aioo=100,則Iga+lgai+Ig---FIga（x）=.

【變式演練】

1.等比數列｛aj各項均為正數，。3%+4%=18,

則log有4+log百％+..?+log/?10=

2.已知數列｛aj為正項等比數列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4,則az+a6=（）

A.1B.2C.3D.4

3.一張報紙，其厚度為a”面積為b,現將此報紙對折（沿對邊中點連線折疊）7次，這時報紙的厚度和

面積分別為（）

A.8。,一bB.64。,—bC.128。,--bD.256〃,----b

864128256

4.已知等比數列｛%｝滿足4=；,a3a5=4（a4-1）,則%=（）

11

A.2B.1C.-D.-

28

5.設xWR,記不超過x的最大整數為[x],令｛x｝=x-[x],則[鄧j],小失1（）.

A.是等差數列但不是等比數列B.是等比數列但不是等差數列

C.既是等差數列又是等比數列D.既不是等差數列也不是等比數列

6.已知公比為q（q工1）的等比數列｛&“｝的前〃項和為S“，則數列《」->的前〃項和為（）

q"S.1S.

A.B.c.D..

s.q"s/ia：q〃7

7.設｛?！埃歉黜椌鶠檎龜档牡缺葦盗?，a=log2a“，仇+2+/=3,白包/=一3,求a“。

8.在等比數列｛。“｝中，9+。“=比,?3-an_2=81,且數列｛%｝的前〃項和S“=121,則此數列的項

數〃等于（）

A.4B.5C.6D.7

9.在等比數列｛a〃｝中，已知&&=-512,備+a=124,且公比為整數，求如=

10.《九章算術》中的“兩鼠穿墻題”是我國數學的古典名題：”今有垣厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一

尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.問何日相逢，各穿幾何？題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊

打洞穿墻.大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半”如果墻足

夠厚，S,為前"天兩只老鼠打洞長度之和，則S“=尺

11.已知等比數列｛&“｝中有03ali=4%,數列低｝是等差數列，且。7=麗則4+4=（)

A.2B.4C.8D.16

12.已知｛劣｝是首項為1的等比數列，S〃是｛劣｝的前刀項和，且9$=￡,則數列｛｝｝的前5項和為（）

15-31*3115

A.胃或5B./或5C—D—

O101oO

13.在等比數列｛4｝中，已知前4項和為1,前8項和為17,則此等比數列的公比q為（）.

A.2B.-20.2或一2D.2或一1

14.

(3)差比混合計算(注意區分原有數列是等差還是等比)

1.已知各項均不相等的等差數列｛4,｝的前四項和=14,且4,%，%成等比數列.

(1)求數列｛"“｝的通項公式；

2.已知各項均為正數的等比數列｛《,｝的首項q=2,S”為其前〃項和，若55，S3,3s2成等差數列，

求數列｛4｝的通項公式；

已知等差數列的公差它的前項和為若且成等比數列.

3.｛a?｝d/O,nS”，Ss=70,a2,a7,a22

(1)求數列｛aj的通項公式；

4.已知等比數列｛<?“｝的公比q>0,%%=8q,且％,36,2g成等差數列.

(1)求數列｛?！埃耐椆?；

5.已知公差不為0的等差數列｛①,｝的首項q=a(a>0),該數列的前n項和為S“，且,，—,—

成等比數列，

(I)求數列｛七｝的通項公式及s”.

6.等比數列｛a“｝的前〃項和為S“，已知S”S3,S?成等差數列.

(1)求｛4｝的公比q;

(2)若。］-q=3,求S”.

【變式演練】

1.設〃wN",數列｛aj的前〃項和為S“，已知S“+i=S“+a“+2,q,4,%成等比數列.

(I)求數列｛6｝的通項公式；

2.已知｛%｝是公差d40的等差數列，a2,a6,旬成等比數列，%+。6=26;數列也｝是公比q為

正數的等比數列，且4=。2，t>5=a6.

(I)求數列｛a“｝,｛"｝的通項公式；

3.已知等比數列｛a。｝中，各項都是正數，且a,,!a3.2a?成等差數列，則電瞥等于()

2ay-ras

A.1+72B.1一啦C.3+2/D.3-272

4.已知數列｛“”｝是遞減等比數列，出=4,且％,2%,%+3成等差數列.

(1)求數列的通項公式；

5.若S“是公差不為0的等差數列｛q｝的前n項和，且S|,$2,54成等比數列。

(I)求數列S1,S2，Sq的公比q;(II)若S?=4,,求數列｛?！保耐椆?。

6.單調遞增的等差數列SJ，出=L且％，%，％成等比數列.

｛a｝

(1)求數列?"?'的通項公式；

7.等比數列｛編｝的前n項和為S。，已知Si2s2.3S3成等差數列，則｛a。｝的公比為.

8.在公比為2的等比數列｛4｝中，生與火的等差中項是96.求4的值；

【提分秘籍】

基本規律

1.該部分內容為基礎公式熟悉部分，知識點簡單，計算問題是重點，等比多用除法。。。

2.以上內容為增強公式的記憶及相關計算的技巧。多練多做提高正確率和做題速度。。。

【題型四】等差等比數列的證明

【典例分析】

2s

1.(2022?全國甲理文)記$為數列｛a.｝的前"項和.已知一+〃=2a〃+1.

(1)證明：｛a,J是等差數列；

(2)若由,a成等比數列，求S的最小值。

2.已知等差數列｛aj的前〃項和為S,且a3=7,as+a,=26.

⑴求及￡；(2)令a=a(〃WN*),求證：數列｛〃｝為等差數列.

n

311

3.已知數列⑷中，a--=2—(^2,〃臥*),數列⑸滿足以==(〃臥*).

(1)求證:數列｛4｝是等差數列;

(2)求數列｛aj中的最大項和最小項，并說明理由.

4.在數列｛劣｝中，品=4,〃&+1—(〃+1)劣=2//+2".

⑴求證：數列是等差數列;

(2)求數列的前/7項和的

5.數列｛刊滿足m=1,/7“1=(〃+1)&+〃(〃+1),〃￡N*.

⑴求證：數列是等差數列；

(2)設bn=3”?&求數列｛a｝的前〃項和金.

1

6.若數列｛d｝的前"項和為S,且滿足劣+2ss一尸0(〃22),ai=~.

(1)求證：["1成等差數列；

(2)求數列｛a.｝的通項公式.

7.已知數列｛a.｝的前"項和為$,且2$=3a.-3++3("GN*).

(1)設4=祟，求證：數列｛8｝為等差數列，并求出數列｛&｝的通項公式；

⑵設c〃=?一亨，7L=CI+C2+C3H------\~Cn,求7L.

21

8.(2021?全國乙)設S為數列｛劣｝的前"項和，6〃為數列｛S〃｝的前〃項積，已知三+工=2.

OnOn

(1)證明：數列｛4｝是等差數列；

(2)求｛a｝的通項公式.

9.(2014?全國I)已知數列1｝的前"項和為S,51=1,當豐0,anan^=ASn-\,其中/I為常數.

(1)證明：an—A;

(2)是否存在人，使得｛&｝為等差數列？并說明理由.

1

10.設數列｛劣｝的前〃項和為S,且滿足劣一5$一1=0(〃￡/).

(1)求數列｛&｝的通項公式；

(2)是否存在實數，使得數列｛S+S+22入｝為等差數列？若存在，求出人的值；若不存在，請說明

理由.

11.若數列｛/U對于任意的"￡N*,都有“2一4="(常數)，則稱數列｛/U是公差為a的準等差數列.如數

14/7—1,"為奇數,

列若&=l-則數列｛6｝是公差為8的準等差數列.設數列｛&｝滿足句=/對

[4/7+9,"為偶數1f，

于"￡N’,都有d+&+i=2".

(1)求證：｛品｝是準等差數列：

(2)求｛劣｝的通項公式及前20項和殳.

3a2

12.已知數列｛品｝的首項a>0,3^1=--金7(〃￡/),且3=三.

2a〃十1o

(1)求證：；:一“是等比數列，并求出｛&｝的通項公式；

(2)求數列的前"項和T?.

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13.已知數列｛劣｝的前〃項和為Sn,〃￡N*,3=1,4=5，品=“且當時，

4S+2+5S=8S+I+ST.

(1)求會的值；

(2)證明：|d+1—為等比數列.

14.已知數列｛劣｝的前"項和S滿足S=2d+(—1)"SEN*).

(1)求數列｛d｝的前三項品，與，a;

⑵求證：數列卜.+|(-1)"]為等比數列，并求出｛d｝的通項公式.

15.已知在正項數列｛aj中，a、=2,點、46/^>,7i)在雙曲線/—*2=1上，數列｛2｝中，點(4，7L)在

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