極坐標計算二重積分_第1頁
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文檔簡介

關于極坐標計算二重積分第1頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四什么是極坐標?在平面內取一個定點O，引一條射線OX，這樣就建立了一個極坐標系。叫做極點。叫做極軸,對于平面內任一點M,記|OM|=r,XOrM（r，）就叫做點M的極坐標。∠XOM=,平面上任一點（r，）第2頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四一、極坐標與直角坐標系的關系兩坐標系中變量間關系：第3頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四

設積分區域

D為平面有界區域,并且從原點發出的射線與D的邊界線交點不多于兩個,則區域D被分割情形見下圖.二重積分中被積函數求極坐標下的積分元素的表示方法。二、二重積分的極坐標轉化及計算1、二重積分的極坐標轉化第4頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四圖中分割的其中一小塊的面積為略去高階無窮小

則有rr,故d=rdrd.于是,二重積分第5頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四二、極坐標系下二重積分化為累次積分的的三種情形1、區域特征如圖D：第6頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四2、區域特征如圖D：第7頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四極坐標系下區域的面積3、區域特征如圖第8頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四例1

將化為在極坐標系下的二次積分。1）4）2）3）第9頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四1）解：在極坐標系中，閉區域D

可表示為第10頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四2）在極坐標系中，閉區域D

可表示為第11頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四3）在極坐標系中，閉區域D

可表示為第12頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四4）在極坐標系中，閉區域D

可表示為第13頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四

例2求D:x2+y2

R2

(R>0).解在極坐標下D:0rR,02.

利用極坐標計算二重積分第14頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四

例3求D:x2+y2

2ax(a>0).

解積分區域D如圖,在極坐標下D:0r2acos,第15頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四

例4求(a>0).

解積分區域D見圖,采用極坐標計算,原式=y=xx2+y2=2ay第16頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四

例5求的值.

解考慮區域D:0x

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