2019年湖南省懷化市中考數學試卷

一、選擇題（每小題4分，共40分；每小題的四個選項中只有一項是正確的，請將正確

選項的代號填涂在答題卡的相應位置上）

1.(4分)下列實數中，哪個數是負數（)

A.0B.3D.-1

2.(4分)單項式-5《力的系數是（)

A.5B.-5C.2D.-2

3.(4分)懷化位于湖南西南部，區域面積約為27600平方公里，將27600用科學記數法

表示為()

A.27.6X103B.2.76X103C.2.76X104D.2.76X105

4.（4分）抽樣調查某班10名同學身高（單位：厘米）如下:160,152,165,152,

160,160,170,160,165,159.則這組數據的眾數是()

A.152B.160C.165D.170

5.（4分）與30°的角互為余角的角的度數是（)

A.30°B.60°C.70°D.90°

6.（4分）一元一次方程x-2=0的解是（)

A.x=2B.x=-2C.x=0D.x=l

7.（4分）懷化是一個多民族聚居的地區，民俗文化豐富多彩.下面是幾幅具有濃厚民族

特色的圖案，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（)

C.

8.（4分）已知Na為銳角，且sina=L則Na=（）

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

9.（4分）一元二次方程x2+2x+l=0的解是（)

A.X]1,X2~1B?Xj~'X'^='1C.X\~~X2=_1D.Xj-1,X2~~^

10.（4分）為了落實精準扶貧政策，某單位針對某山區貧困村的實際情況，特向該村提供

優質種羊若干只.在準備配發的過程中發現：公羊剛好每戶1只；若每戶發放母羊5

只，則多出17只母羊，若每戶發放母羊7只，則有一戶可分得母羊但不足3只.這批

種羊共（）只.

A.55B.72C.83D.89

二、填空題（每小題4分，共24分；請將答案直接填寫在答題卡的相應位置上）

11.（4分）合并同類項：4a2+6a2-a1—.

12.（4分）因式分解：a1-b2=.

13.（4分）計?算：_2L_-_L_=.

x-lx-l

14.（4分）若等腰三角形的一個底角為72°,則這個等腰三角形的頂角為.

15.（4分）當a=-l,b=3時，代數式2a-6的值等于.

16.（4分）探索與發現：下面是用分數（數字表示面積）砌成的“分數墻”，則整面“分

數墻”的總面積是

11

22

1i

3i3

1111

4444

11111

5555

111111

66A6A6

111111

777777

1111111

88888888

—

111111111

nrnnnnnnn

三、解答題（本大題共7小題，共86分）

17.（8分）計算：（a-2019）0+4sin60°-五分|-3|

is.（8分）解二元一次方組：[x+3v-7，

x-3y=l.

19.（10分）已知：如圖，在口/BCD中，AE1BC,CFVAD,E,F分別為垂足.

（1）求證：/\ABE沿ACDF；

（2）求證：四邊形/ECE是矩形.

20.（10分）如圖，為測量一段筆直自西向東的河流的河面寬度，小明在南岸8處測得對

岸4處一棵柳樹位于北偏東60°方向，他以每秒1.5米的速度沿著河岸向東步行40秒

后到達C處，此時測得柳樹位于北偏東30°方向，試計算此段河面的寬度.

21.（12分）某射箭隊準備從王方、李明二人中選拔1人參加射箭比賽，在選拔賽中，兩

人各射箭10次的成績（單位：環數）如下：

次數12345678910

王方7109869971010

李明89898898108

（1）根據以上數據，將下面兩個表格補充完整:

王方10次射箭得分情況

環數678910

頻數—————

頻率—————

李明10次射箭得分情況

環數678910

頻數—————

頻率—————

（2）分別求出兩人10次射箭得分的平均數;

(3)從兩人成績的穩定性角度分析，應選派誰參加比賽合適.

22.(12分)如圖，A.B、C、D、E是上的5等分點，連接/C、CE、EB、BD、

DA,得到一個五角星圖形和五邊形必VFGH.

(1)計算/C4)的度數；

(2)連接/E,證明：AE=ME-,

(3)求證：ME?=BM，BE.

23.(14分)如圖，在直角坐標系中有O為坐標原點，OB=\,tanZABO=3,

將此三角形繞原點。順時針旋轉90°,得至ijRt^COO,二次函數y=-/+bx+c的圖象

剛好經過Z,B,C三點.

(1)求二次函數的解析式及頂點尸的坐標；

(2)過定點。的直線/：y=fcv-A+3與二次函數圖象相交于N兩點.

①)若Sa/>MN=2,求k的值；

②證明：無論人為何值，△PMN恒為直角三角形；

③當直線/繞著定點。旋轉時，外接圓圓心在一條拋物線上運動，直接寫出該

拋物線的表達式.

2019年湖南省懷化市中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題4分，共40分；每小題的四個選項中只有一項是正確的，請將正確

選項的代號填涂在答題卡的相應位置上）

1.（4分）下列實數中，哪個數是負數（）

A.0B.3C.V2D.-1

【分析】根據小于零的數是負數，可得答案.

【解答】解：/、0既不是正數也不是負數，故/錯誤；

B、3是正實數，故8錯誤：

C、&是正實數，故C錯誤；

D、-1是負實數，故。正確；

故選：D.

【點評】本題考查了實數，小于零的數是負數，屬于基礎題型.

2.（4分）單項式-5"的系數是（）

A.5B.-5C.2D.-2

【分析】根據單項式系數的定義來選擇，單項式中數字因數叫做單項式的系數，單項式

中，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數，可得答案

【解答】解：單項式Tab的系數是-5,

故選:B.

【點評】本題考查單項式，注意單項式中數字因數叫做單項式的系數，所有字母的指數

和叫做這個單項式的次數.

3.（4分）懷化位于湖南西南部，區域面積約為27600平方公里，將27600用科學記數法

表示為（）

A.27.6X103B.2.76X103C.2.76X104D.2.76X105

【分析】科學記數法的表示形式為〃X10〃的形式，其中lW|a|V10,〃為整數.確定〃

的值時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數

相同.當原數絕對值＞1時，〃是正數；當原數的絕對值＜1時，〃是負數.

【解答】解：將27600用科學記數法表示為：2.76X105.

故選：D.

【點評】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為“義10”的形式，

其中1〈同〈10,〃為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及"的值.

4.（4分）抽樣調查某班10名同學身高（單位：厘米）如下：160,152,165,152,

160,160,170,160,165,159.則這組數據的眾數是（）

A.152B.160C.165D.170

【分析】根據眾數定義：一組數據中出現次數最多的數據叫眾數，可知160出現的次數

最多.

【解答】解：數據160出現了4次為最多，

故眾數是160,

故選：B.

【點評】此題主要考查了眾數，關鍵是把握眾數定義，難度較小.

5.（4分）與30°的角互為余角的角的度數是（）

A.30°B.60°C.70°D.90°

【分析】直接利用互為余角的定義分析得出答案.

【解答】解：與30°的角互為余角的角的度數是：60°.

故選：B.

【點評】此題主要考查了互為余角的定義，正確把握互為余角的定義是解題關鍵.

6.（4分）一元一次方程x-2=0的解是（）

A.x—2B.x=-2C.x=0D.x=l

【分析】直接利用一元一次方程的解法得出答案.

【解答】解：x-2=0,

解得：x—2.

故選：A.

【點評】此題主要考查了一元一次方程的解法，正確掌握基本解題方法是解題關鍵.

7.（4分）懷化是一個多民族聚居的地區，民俗文化豐富多彩.下面是幾幅具有濃厚民族

特色的圖案，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

【分析】直接利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：4、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤;

8、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，故此選項正確：

。、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項錯誤.

故選：C.

【點評】此題主要考查了中心對稱與軸對稱的概念：軸對稱的關鍵是尋找對稱軸，兩邊

圖象折疊后可重合，中心對稱是要尋找對稱中心，旋轉180°后與原圖重合.

8.（4分）已知Na為銳角，且sina=L,則Na=（）

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】根據特殊角的三角函數值解答.

【解答】解：；Na為銳角，且sina=L,

2

；.Na=30°.

故選：A.

【點評】此題考查的是特殊角的三角函數值，屬較簡單題目.

9.（4分）一元二次方程/+2x+l=0的解是（）

A.X]=1,42=-1B.X]=X2=1C.X\=X2=~1D.X\=~1>42=2

【分析】利用完全平方公式變形，從而得出方程的解.

【解答】解：???％2+2X+1=0,

（x+1）2=0,

則x+l=0,

解得X]=X2=-1,

故選：c.

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的

方法是解題的關鍵.

10.（4分）為了落實精準扶貧政策，某單位針對某山區貧困村的實際情況，特向該村提供

優質種羊若干只.在準備配發的過程中發現：公羊剛好每戶1只；若每戶發放母羊5

只，則多出17只母羊，若每戶發放母羊7只，則有一戶可分得母羊但不足3只.這批

種羊共（）只.

A.55B.72C.83D.89

【分析】設該村共有x戶，則母羊共有（5x+17）只，根據“每戶發放母羊7只時有一

戶可分得母羊但不足3只”列出關于x的不等式組，解之求得整數x的值，再進一步計

算可得.

【解答】解：設該村共有x戶，則母羊共有（5x+17）只，

?時立“（5x+17-7（x-l）>0

由題意知，4

5x+17-7（xT）<3

解得：21.<%<12,

2

為整數，

則這批種羊共有11+5X11+17=83（只），

故選：C.

【點評】本題主要考查一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是理解題意找到題目蘊含

的不等關系，并據此得出不等式組.

二、填空題（每小題4分，共24分；請將答案直接填寫在答題卡的相應位置上）

11.（4分）合并同類項：4a2+602-2=9a2.

【分析】根據合并同類項法則計算可得.

【解答】解：原式=（4+6-1）a2=9a2,

故答案為：9a2.

【點評】本題考查合并同類項，合并同類項時要注意以下三點：

①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準：帶有相

同系數的代數項；字母和字母指數；

②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經過合并同類項，式的項

數會減少，達到化簡多項式的目的；

③“合并”是指同類項的系數的相加，并把得到的結果作為新的系數，要保持同類項的

字母和字母的指數不變.

12.(4分)因式分解：。2-乂=(a+6)(a-b).

【分析】利用平方差公式直接分解即可求得答案.

【解答】解：a2-b1—(a+6)(a-b).

故答案為：(a+b)(a-b).

【點評】此題考查了平方差公式的應用.解題的關鍵是熟記公式.

13.(4分)計算：-——=1

x-lx-l

【分析】由于兩分式的分母相同，分子不同，故根據同分母的分式相加減的法則進行計

算即可.

【解答】解：原式=旦

x-l

=1.

故答案為：1.

【點評】本題考查的是分式的加減法，即同分母的分式想加減，分母不變，把分子相加

減.

14.(4分)若等腰三角形的一個底角為72°,則這個等腰三角形的頂角為36°.

【分析】根據等腰三角形的性質和三角形的內角和即可得到結論.

【解答】解：???等腰三角形的一個底角為72°,

等腰三角形的頂角=180°-72°-72°=36°,

故答案為：36°.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵.

15.(4分)當a=-l,6=3時，代數式分-b的值等于-5.

【分析】把a、6的值代入代數式，即可求出答案即可.

【解答】解：當。=-1,6=3時，2a-b=2X(-1)-3--5,

故答案為：-5.

【點評】本題考查了求代數式的值的應用，能正確進行有理數的混合運算是解此題的關

鍵.

16.（4分）探索與發現：下面是用分數（數字表示面積）砌成的“分數墻”，則整面“分

數墻”的總面積是〃-1.

11

22

1i

3i3

1111

4444

11111

5555

111111

66RR66

111111

777777

1111111

88888888

—

111111111

nrnnnnnn

【分析】由題意“分數墻”的總面積=2XL+3XL+4XL+…+〃xL=〃-1.

234n

【解答】解：由題意“分數墻”的總面積=2乂工+3*」44*1+3+〃*!=〃-1,

234n

故答案為n*1.

【點評】本題考查規律型問題，有理數的混合運算等知識，解題的關鍵是理解題意，靈

活運用所學知識解決問題.

三、解答題（本大題共7小題，共86分）

17.（8分）計算：（TT-2019）0+4sin60°-712^1-3|

【分析】先計算零指數累、代入三角函數值、化簡二次根式、取絕對值符號，再計算乘

法，最后計算加減可得.

【解答】解：原式=1+4X號-2揚3

=]+2A/^-2A/^3

=4.

【點評】本題主要考查實數的運算，解題的關鍵是掌握零指數幕的規定、熟記特殊銳角

三角函數值及二次根式與絕對值的性質.

x+3y=7,

18.（8分）解二元一次方組：1“

x-3y=l.

【分析】直接利用加減消元法進而解方程組即可.

【解答】解：付3y=72,

lx-3y=l②

①+②得：

2x=8,

解得：x—4,

貝i」4-3y=l,

解得：y=l，

故方程組的解為：fx=4.

ly=l

【點評】此題主要考查了解二元一次方程組，正確掌握解題方法是解題關鍵.

19.(10分)已知：如圖，在口/8CD中，AE1BC,CF±AD,E,尸分別為垂足.

(1)求證：△ABEW4CDF；

【分析】11)由平行四邊形的性質得出AB=CD,AD//BC,由已知得出/

AEB=N4EC=NCFD=N4FC=90°,由44S證明△/8E嶺△8尸即可；

(2)證出/￡'4尸=//￡。=//代=90°,即可得出結論.

【解答】(1)證明：???四邊形/BCD是平行四邊形，

；.NB=ND,AB=CD,AD//BC,

'：AELBC,CF±AD,

:.NAEB=NAEC=NCFD=NAFC=90°,

2B=ND

在△/8E和△CD尸中，，NAEB=/CFD，

,AB=CD

:.AABE迫ACDF(AAS)；

(2)證明：'JAD//BC,

；.NEAF=N4EB=90°,

ZEAF=ZAEC=ZAFC=90a,

...四邊形/ECF是矩形.

【點評】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質；熟練

掌握平行四邊形的性質和矩形的判定是解題的關鍵.

20.（10分）如圖，為測量一段筆直自西向東的河流的河面寬度，小明在南岸B處測得對

岸工處--棵柳樹位于北偏東60°方向，他以每秒1.5米的速度沿著河岸向東步行40秒

后到達C處，此時測得柳樹位于北偏東30°方向，試計算此段河面的寬度.

【分析】如圖，作/。，于8C于。.由題意得到8c=1.5X40=60米，NABD=30

°,NNCD=60°,根據三角形的外角的性質得到/氏4c-N/8C=30°,求

得N4BC=NB4C,得至I」8C=ZC=60米.在中，根據三角函數的定義即可

得到結論.

【解答】解：如圖，作4），于8c于D

由題意可知：80=1.5X40=60米，N4BD=30°,ZACD=60°,

ZBAC=ZACD-ZABC=30°,

：.ZABC=ZBAC,

.?.8C=NC=60米.

在Rta/CA中，AD=AC*sm600=60X喙=3岫（米）.

答：這條河的寬度為30我米.

【點評】此題主要考查了解直角三角形-方向角問題，解題時首先正確理解題意，然后

作出輔助線構造直角三角形解決問題.

21.（12分）某射箭隊準備從王方、李明二人中選拔1人參加射箭比賽，在選拔賽中，兩

人各射箭10次的成績（單位：環數）如下：

次數12345678910

王方7109869971010

李明89898898108

（1）根據以上數據，將下面兩個表格補充完整:

王方10次射箭得分情況

環數678910

頻數]2]33

頻率0.30.3

李明10次射箭得分情況

環數678910

頻數0063]

頻率00

（2）分別求出兩人10次射箭得分的平均數；

（3）從兩人成績的穩定性角度分析，應選派誰參加比賽合適.

【分析】（1）根據各組的頻數除以10即可得到結論；

（2）根據加權平均數的定義即可得到結論；

（3）根據方差公式即可得到結論.

【解答】解：（1）

環數678910

頻數12133

頻率0.30.3

李明10次射箭得分情況

環數678910

頻數00631

頻率00

(2)王方的平均數=_L(6+14+8+27+30)=8.5；李明的平均數(48+27+10)=

1010

8.5；

(3)???S王方2=小(6-8.5)2+2(7-8.5)2+(8-8.5)2+3(9-8.5)2+3(10-

8.5)2]=1.85：

S李明2=寧6(8-8.5)2+3(9-8.5)2+(10-8.5)2=0.35；

王方2>s李明2,

二應選派李明參加比賽合適.

【點評】本題考查方差的意義.方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表

明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組

數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定.

22.(12分)如圖，A.B、C、。、￡■是OO上的5等分點，連接/C、CE、EB、BD、

DA,得到一個五角星圖形和五邊形

(1)計算NC4。的度數；

(2)連接ZE,證明：AE=ME；

(3)求證：ME2=BM，BE.

【分析】(1)由題意可得NCOO=70°,由圓周角的定理可得/。4。=36°；

(2)由圓周角的定理可得/。49=/。/￡：=乙4￡8=36°,可求NAME=NC4E=72

°,可得/

(3)通過證明△/EVS/XBEN,可得挺可得ME2=BE，NE,通過證明8A7=

BE-AE

NE,即可得結論.

【解答】解：(1)?.[、B、C、D、￡是。。上的5等分點，

，&的度數=36。°=72°

5

：.ACOD=10°

'：ZCOD=2ZCAD

.".ZCAD=36°

(2)連接NE

???AB=DE=AE=CD=BC

ZCAD^/DAE=N4EB=36°

：.ZCAE=72°，且4E8=36°

NAME=72°

：.NAME=NCAE

：.AE=ME

(3)連接48

VAB=DE=AE=CD=BC

NABE=NDAE,且NAEB=ZAEB

；./\AENs4BEA

?AE_NE

*'BE=AE

：.AE1=BE'NE,1.AE^ME

:.M#=BE*NE

VAB=DE=AE=CD=BC

：.AE=AB,NCAB=NCAD=NDAE=ZBEA-N4BE=36°

:.NBAD=NBNA=TT

：.BA=BN,且/E=ME

:.BN=ME

：.BM=NE

：.ME2=BE*NE=BM?BE

【點評】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關知識，相似三角形的性質和判定，證明△

AENs2BEA是本題的關鍵.

23.（14分）如圖，在直角坐標系中有RtZ\ZO8,O為坐標原點，08=1,tan//18O=3,

將此三角形繞原點。順時針旋轉90。，得到Rt^COO,二次函數夕=-/+bx+c的圖象

剛好經過4B,C三點.

（1）求二次函數的解析式及頂點尸的坐標；

（2）過定點。的直線/：y=履-什3與二次函數圖象相交于"，N兩點.

①若S"MN=2,求人的值；

②證明：無論《為何值，△PA/N恒為直角三角形；

③當直線/繞著定點0旋轉時，外接圓圓心在一條拋物線上運動，直接寫出該

拋物線的表達式.

【分析】（1）求出點4B、C的坐標分別為（0,3）、（-1,0）、（3,0）,即可求解;

（2）?S△PAW——PQx（X2-X1）,則X2-X]=4,即可求解；②%的=-24yl4=

2x2-lX1-l

了1?’}"二口+%'2）+12=即可求解；③取的中點4,則點”是△尸外接

X]工2-4（x1乂2）+1

圓圓心，即可求解.

【解答】解：（1）08=1,tanN43O=3,則04=3,OC=3,

即點4、B、。的坐標分別為（0,3）、（-1,0）、（3,0）,

則二次函數表達式為：y—a（x-3）（x+1）=a（x2-2x-3）,

即：-3a=3,解得：a=-1,

故函數表達式為：y=-X2+2X+3,

點尸（1,4）；

（2）將二次函數與直線/的表達式聯立并整理得：

x2-（2-^）x-k=0,

設點A/、N的坐標為（X1，為）、（%2,歹2），

貝I」修+、2=2-k,x\xz=~k,

則：（Xj+x2）-2左+6=6-F,

同理：為及=9-4d,

@y=kx-k+3,當％=1時，y=3,即點。（1,3）,

S/\PMN=2~—PQ（犯-修），貝!|戈2一町=4,

，2-"I尸J（町+32）2-4町《2,

解得：仁±2?；

②點〃、N的坐標為Cq,刈）、（冷，及）、點尸（L4）,

則直線PW表達式中的舟值為：士上直線PN表達式中的心值為：”二，

x]-1x2-1

為,,12-4力-4_32-4防+丫2)+16_,

73：?1?2—--------——-------7-----r—;---

x2-1xJ-1XjX2-4kx?J+l

故PMA.PN,

即：△/>/胡恒為直角三角形;

③取A/N的中點H,則點”是△PA/N外接圓圓心,

設點”坐標為（x,y）,

貝！］x=Xl+x2.=1-Ijc,

22

y=—（為,2）——（6-廬）,

22

整理得：y=-2^+4%+1,

即：該拋物線的表達式為：y=-2x2+4x+l.

【點評】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數、圓的基本知識等，其中,

用韋達定理處理復雜數據，是本題解題的關鍵.

初中數學重要公式

1,幾何計數：

⑴當一條直線上有"個點時，在這條直線上存在條線段.

⑵平面內有n個點，過兩點確定一條直線，在這個平面內最多存在條直線.

⑶如果平面內有n條直線，最多存在個交點.

⑷如果平面內有n條直線，最多可以將平面分成部分.

（5）、有公共端點的"條射線（兩條射線的最大夾角小于平角），則存在個

角.

2、AB//CD,分別探討下面四個圖形中N4T與N為氏NA”的關系。

3、全等三角形的判定方法：

a.三條邊對應相等的兩個三角形全等（簡記為）.

b.兩個角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（簡記為）.

c.兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（簡記為）.

d.兩條邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（簡記為）.

e.斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（簡記為）.

4、坐標系中的位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，位似

比為k,那么位似圖形對應點的坐標的比等于.

5、"邊形的內角和等于:多邊形的外角和都等于.

6、在四邊形的四個內角中，最多能有_3一個鈍角，最多能有_3一個銳角.如果一個多邊

形的邊數增加1,那么這個多邊形的內角和增加180—度.

4.n邊形有條對角線.

5、用、完全相同的一種或幾種進行拼接，彼此之間不留空隙，

不重疊的鋪成一片，就是平面圖形的.

［注意］要實現平面圖形的鑲嵌，必須保證每個拼接點處的角恰好能拼成°.

［總結］平面圖形的鑲嵌的常見形式

⑴用同一種正多邊形可以鑲嵌的只有三種情況：個正三角形或個正四邊

形或個正六邊形.

(2)用兩種正多邊形鑲嵌

①用正三角形和正四邊形鑲嵌：個正三角形和個正四邊形；

②用正三角形和正六邊形鑲嵌：用個正三角形和個正六邊形或者用

個正三角形和個正六邊形；

③用正四邊形和正八邊形鑲嵌：用個正四邊形和個正八邊形可以鑲嵌.

⑶用三種不同的正多邊形鑲嵌

用正三角形、正四邊形和正六邊形進行鑲嵌，設用m塊正三角形、c塊正方形、k塊正六

邊形，則有60m+90n+120k=360,整理得,因為m、n、k為整數，

所以,n=,k=,即用塊正方形，塊正

三角形和塊正六邊形可以鑲嵌.

6、梯形常用輔助線做法：

7、如圖：Rt2iA8C中，NAC8=90。，CDLAB于。，

則有：

(1)、ZACD=ZBNDCB=NA

(2)由RtAABCsRtA4CD得至qAC1=ADAB

由RtA/ABCsRtACBD得到BO=BDAB

由RtA/lCDsRtACBD得到Cb1=ADBD

(3)、由等積法得到ABXCD=ACXBC

8、若將半圓換成正三角形、正方形或任意的相似形,

9、在解直角三角形時常用詞語：

1.仰角和俯角

在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做,視線在水平線下方的叫

做.

2.坡度和坡角

通常把坡面的鉛直高度h和

水平寬度1之比叫

30°45660°

,用字母i表示，

，把坡面與

]_V2V3BPi=_______

Sina水平面的夾角叫做

2~TV

，記作a,于是

=_______=tanQ,顯

V3V2j_

Cosa然，坡度越大，a角越大，

2V2

坡面就越陡.

A/3

tana~T1V3

10.正多邊形的有關計

走

Cota1算

3

邊長：an=

180°

2R?sin

nn

周長：Pn=n?an

[80。

邊心距：r=R-cos面積：S=-a?心?〃

nnnn乙n

〃一2X180°

360°?H360°

內角：---------------外角：中心角：-----

nnn

11、特殊銳角三角函數值

12、某些數列前n項之和

l+2+3+4+5+6+7+8+9+...+n=n(n+l)/2

l+3+5+7+9+ll+13+15+...+(2n-l)=n2

2+4+6+8+10+12+14+...+(2n)=n(n+l)

13、平行線段成比例定理

(1)平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比

例。

如圖：a〃b〃c,直線A與6分別與直線b、c相交與點A、8、C和。、E、

F,

ABDEABDEBCEF

BCEFACDFACDF

(2)推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的

對應線段成比例。如圖：△八8c中，DE〃BC,DEAB.AC相交與點。、E,則

.ADAEADAEDEDBEC

'DBEC'ABACBC‘ABAC

14、極差、方差與標準差計算公式：

①極差：

用一組數據的最大值減去最小值所得的差來反映這組數據的變化范圍，用這種方法得到的

差稱為極差，即：極差=最大值-最小值；

②方差：

數據再、匕……，X”的方差為52,

則/=X,-X+..…+

③標準差:

數據X］、x2xn的標準差s,

貝ljs=項一》+…+

一組數據的方差越大，這組數據的波動越大。

15、求拋物線的頂點、對稱軸的方法

、22

X+—|+,/?頂點是

（2a）4a

/b4ac-h2日七3b

（----，--------）x,對稱軸友.直線X=-----o

2a4a2a

②配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=a（x-/?）2+左的形

式，得到頂點為（〃，后），對稱軸是直線、=力。

③運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與

拋物線的交點是頂點。

若已知拋物線上兩點（%/）、（工2））（及y值相同），則對稱軸方程可以表

示為：x二小”

2

16、直線與拋物線的交點

①y軸與拋物線y=℃2+bx+C得交點為（0,C）。

②拋物線與X軸的交點。

二次函數y=ax?+bx+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標再、x2,是對應

一元二次方程

ax2+bx+c=0的兩個實數根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次

方程的根的判別式判定：

a有兩個交點o（A>0）o拋物線與x軸相交；

b有一個交點（頂點在x軸上）=（△=0）。拋物線與x軸相切；

c沒有交點o（△<0）=拋物線與x軸相離。

③平行于X軸的直線與拋物線的交點

同②一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點

的縱坐標相等，設縱坐標為左，則橫坐標是a/+bx+c=左的兩個實數根。

④一次函數y=kx+n（kH0）的圖像/與二次函數y=ax2+bx+c（aH0）的圖

y=kx+n

像G的交聲，由方程組?的解的數目來確定：

jy-ax++c

a方程組看兩組不同的解時<=>/與G有兩個交點；

b方程組只有一組解時o/與G只有一個交點；

c方程組無解時o/與G沒有交點。

⑤拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線y=ax2+6x+c與x軸兩交點

為4（卬0）,5（X2,0）,則AB=\xx-x2|

圖形的定義、性質、判定

一、角平分線

性質：角的平分線上的點到角兩邊的相等.

判定：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在h.

二、線段垂直平分線

1.性質：線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離.

2.判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的t.

［點撥］線段的垂直平分線可以看作到線段兩個端點距離相等的所有點的集合.

三、等腰三角形