湖南省衡陽市第八中學2022屆高三上學期第五次月考試題數學【含

答案】

選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.已知集合4={工,2-2X一3<0},3={耳2田28},則(C)

A.{x|x>3}B.{x|x>2}C.{x|2<x<3}D.{x|l<x<2}

2.己知復數z=3—2i,則同=(C)

A.3B.5C.V13D.13

3.設向量0=(1,0),￡=(；，《)則G與夾角的余弦值為(B)

A.0B.—C.--D.1

22

4.一個袋子中裝有大小形狀完全相同的4個白球和3個黑球，從中一次摸出3個球，則摸出白球個數多于

黑球個數的概率為(C)

AI?R3r2211

3553515

5.已知S,是數列{a,,}的前〃項和，且滿足4=1,an+i=2Sn,則4021=(D)

A.32020B.32019C.22020D.2x32019

D當1時,a?=2Si=2ai=2；當w>2時.由a”+i=2S”，可得a?—2S,-i.兩式相減得an+i—~2a??所以a,+)—

3ali,且02=2X3.則數列{““}從第二項開始是一個以3為公比的等比數列?則a“=2X3”T(”)2),所以a“=

(1,n=l.

1所以02021=2X32019.故選D.

以3"-2心2.

6.某化工廠產生的廢氣經過過濾后排放，以模型卜=0/一.去擬合過濾過程中廢氣的污染物濃度Jhig/L與

時間Xh之間的一組數據，為了求出線性回歸方程，設z=lnF,其變換后得到線性回歸方程為

z=-0.5X+2+ln300,則當經過6h后，預報廢氣的污染物濃度為(D)

B.300emg/LC.當mg/Lc300,,

A.3(X)e2mg/LD.-----mg/L

e

人,1anni300由河；300

【詳解】當x=6時,z=-l+ln300=In,所以y=e-=.

ee

7.已知雙曲線C:[—==l（a>02>0）的一條漸近線與圓f+（y—26）2=4相交于A,B兩點，若

a'b

[45|=2,則雙曲線。的離心率為（C）

2百

A.B.6C.2D.4

亍

8.已知2"+。=log26+6=logsc+c,則下列關系不可能成立的是(D)

A.a<b<cB.a<c<bC.a<b=cD.c<b<a

【詳解】依題意，令2"+a=log2b+/?=log3C+c=Z,則2"=-a+Z，

log,b--b+k,\o^c--c+k,

令y=2",y=log2x,y=log3x^fly=-x+*,則a,b,c可分別視為函數y=2*,

y=log2x,y=log3X的圖象與直線y=-x+左交點的橫坐標，

觀察圖象得：當％<1時，a<c<b,當&=1時，a<b=c,當k>1時，a<b<c,

顯然不可能，所以不可能成立的是c</?<a.

多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得2分。

9.已知函數/（x）=Asin（0x+e）（A>OM>O,|同<1）的部分圖象如圖所示，下列結論正確的是（CD）

.兀

B./（力的圖象關于直線x=-1對稱

C.將f（x）的圖象向右平移1個單位，得到函數y=2sin?x的圖象

D.若歸-⑷<4，則|/（叼-/（七）|<4

解析：由圖可知4=2,函數f（x）的最小正周期為7=4*（5-3）=8,則。=申=?,

/（5）=2sin[?+e）=—2,得sin[苧+*）=—1,所以，苧+p=^+2Z萬仕eZ）,得夕=:+24萬（AwZ）,

???|夕|<1，得夕=?，所以"x)=2sin(Jx+；J,A項錯誤；

將“X)的圖象向右平移1個單位，得到函數“尤-l)=2sin+?=2sin?x的圖象，C項正確;

f(T)=2sin(_?+?)=0,故B項錯誤；

T=2"_o丁

“X)的最小正周期為三，所以若k-X2|<4=],則|/(引-/(%)|<4,故D項正確，

4

10.下列說法中正確的是(BD)

1O

A.己知隨機變量X服從二項分布5(4,-)，則E(X)=-

B.已知隨機變量X服從正態分布N(3,4)且P(XW5)=0.85，則P(1<X<3)=0.35

C.已知隨機變量X的方差D(X)，則D(2X-3)=2￡>(X)-3

D."A與B是互斥事件”是“A與B是對立事件”的必要不充分條件

.BD已知隨機變量X?B(43).則E(X)=4X!=g.故A錯誤;因為隨機變量X?N(3,j),F<X<5)=0.85,所

以P(X&l)=0.15,所以P(1VXW3)=O.35.故B正確;D(2X-3)=4D(X)^C錯誤;充分性:“A與B是互斥事件”一

“A與B互為對立事件”.充分性不成立;必要性:“A與8是互斥事件”u“A與B互為對立事件”,必要性成立.因此“A與

B是互斥事件”是“A與B互為對立事件”的必要不充分條件.故D正確.故選BD.

11.拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出;

反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線C:y2=2px(p>0),

O為坐標原點，一條平行于x軸的光線人從點P[了,4j射入，經過C上的點A反射后，再經C上另一點8

反射后，沿直線4射出，經過點Q.下列說法正確的是(ACD)

A.若〃=4,貝IJ|AB|=8

B.若p=2,貝力48|=8

C.若2=2,則戶B平分448Q

D.若p=4,延長A。交直線x=—2于點M,則M,B,。三點共線

【詳解】如圖，若。=4,則C:y?=8x,A(2,4),C的焦點為F(2,0),則

B(2,T),|4?|=8,選項A正確；

延長A。交直線x=-2于點何，則〃(-2,T),M,B,。三點共線，選項D正確;

若。=2,則C：V=4x,A(4,4),C的焦點為尸(1,0),直線A尸:4x-3y-4=0,可得AB弓,

選項B不正確；

4125

P=2時，因為|AP|=±-4=￥=|AB|,所以ZAP8=ZA8P.又NAPB=NPBQ,所以PB平分ZA8Q,

44

選項C正確.

12.如圖，正方形A3C。與正方形DEFC邊長均為I,平面ABCO與平面QEFC互相垂直，P是4E上的一個

動點，則以下結論正確的是(CD)

A.CP的最小值為3

2

B.PD+PF的最小值為梃-&

C.當P在直線AE上運動時，三棱錐。-的體積不變

D.三棱錐A-OCE的外接球表面積為3萬

對于A,連接QP,CP,因為CD，DE,CD，AD,ADcDE=D

故得到CC_1■平面4出，DPmR=與,

易得CP=，D尸+5尸+1..^17?=乎,故A錯誤；

對于B,如圖，將AADE翻折到與平面43FE共面，則當。、P、尸三點共線時，

PD+P尸取得最小值，ZDEF=135

PD+PF=DF,DF=Vl+l-2xlxlxcosDEF=也+正，故B錯誤；

對于C,做DH_LA￡于H,P在直線AE上運動時，,、

△P3尸的面積等于矩形ABFE面積的一半，矩形的面積為//

定值，故△尸8尸的面積是定值，點。到面A3FE的距離為

DH故三棱錐O-8PF的體積不變，故C正確；N——14

對于D,將該幾何體補成正方體，則外接球半徑為正,外接球表面積3%故D正確.

2

三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.求(x+2)(x+l)4的展開式中/的系數為14

411

14.已知角。的終邊經過點P(0,a),若cos(e+,)=—,則。=---

15.已知公差不為0的等差數列{叫的前”項和為S“，若㈤e{-10,0},則S“的最小值為--12

17

(1)當a4=0,d>0,5?=x7=7%=0,S5=5<J,--10=4+3d=0,56!,+10"=-10,

nq=-6,d=2>0,an=2n-S,an=2n-8<0=>?<4,所以5“的最小值為S4=4a)+6d=—24+12=—12.

(2)當q=-10/>05=幺券、7=7%=一70,不合題意.

16.已知函數函(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且〃x)+g(x)=2*-x,

則”0)的值為_1—;若函數碎)=2卜溝-乃'(*-2021)-2才有唯一零點，則實數2的值為/或-1

???〃x),g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，.?.g(0)=0,/(0)+5(0)=2°-0=1

./(0)=1?1-/(-%)=/(x),g(-x)=-g(x)又；/(x)+g(x)=2"-x①，

.?./(—x)+g(—x)=/(x)—g(x)=2-'+x②+②：2/(x)=2x+2-\=g(2*+2、)，

|v-2021121-202120212

又；h[x)=2-Af(x-2021)-2A=2''+2—)2-2A

換元設x-2021=f又：〃(x)有唯一零點，等價于2“-，g2(e'+2')-2萬=0有唯一解，

設〃《)=型-；/1(2'+2-')-2/12,?.?加⑺為偶函數，.?.當且僅當f=0時為唯一零點，

/.1-2-222=0,解得2=g或4=-1.

四.解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(本題10分)已知數列｛6｝滿足4=1,a：,」一+2-二=0(〃之2,〃eN).記d=」——

3an+lan-\an

(1)證明：他｝是等比數列.

(2)設c“=21og22+2+2,求數列｛%｝的前“項和S”

證明：因為‘一+°---‘=。，所以」-----=2|------I,整理得〃,=紇

4用%anan+1ana“_J

因為么=！-：=2,所以｛2｝是首項為2,公比為2的等比數列.

(2)解:由(1)易知2=2",因為c“=21og2」+2+b“=2"+4+2",

所以S“=(6+8+…+2〃+4)+(2+22+…+2")=史嬰也+羋>=〃2+5〃一2+2,用.

18.(本題12分)在A鉆C中，角A8,C的對邊分別是仇c,已知」—+」-=2指且。=工,c=6

sinAsinB3

歷

(1)求證：a+b=——ab

2

(2)求AA3C的面積

1&⑴證明C=手，-6,所以焉=4先.2分

根據正弦定理得sinA=-^.sin8=與.4分

473473

又'1+」1>=2而，

sinAsin13

所以一■—I—]-=2-/6.即a-\-h=^ah..............................................................6分

abZ

473473

（2）解：由余弦定理得/=/+在-2aAeosC=/+〃-M=（a+〃）z-3aA.................................7分

由（1）,得41+6=方<欣結合r=6可得（"）2—6ab-72=0................................................9分

即（a6-12）（aZ>+6>=0.解得ab=\2或成=—6（舍去）.11分

所以SAABT=+加畝C=3V3......................................................................12分

19.(本題12分)某學校為了了解全校學生的體重情況，從全校學生中隨機抽取了100人的體重數據，結

果這100人的體重全部介于45公斤到75

公斤之間，現將結果按如下方式分為6組:

第一組［45,50),第二組［50,55)....第

六組［70,75),得到如下圖(1)所示的頻率476

分布直方圖，并發現這100人中，其體重54443333222110

低于55公斤的有15人，這15人體重數

據的莖葉圖如圖(2)所示，以樣本的頻率作圖⑵

為總體的概率.

⑴求頻率分布直方圖中a,。,c的值;

(II)從全校學生中隨機抽取3名學生，記X為體重在［55,65)的人數，求X的概率分布列和數學期望;

(IH)由頻率分布直方圖可以認為，該校學生的體重自近似服從正態分布其中〃=60,〃=25.若

P(〃-2b<〃+2。)>0.9545,則認為該校學生體重是正常的.試判斷該校學生的體重是否正常?并說明

理由.

解：(I)由圖(2)知，100名樣本中體重低于50公斤的有2人，

用樣本的頻率估計總體的概率，可得體重低于50公斤的概率為2會=0.02,JJiJa=0^—02=0.004,

1003

在卜（）,55）上有13人，該組的頻率為0.13,則b=爺=0.026，所以2c=…=0相，即c=0.07.

（H）用樣本的頻率估計總體的概率，可知從全體學生中隨機抽取一人，體重在［55,65）的概率為0.07x10=0.7,

隨機抽取3人，相當于三次獨立重復試驗，隨機變量X服從二項分布B（3,0.7）,E（X）=2.1

則P（X=0）=C；0.7°03'=0.027,P（X=1）=C；0.7'0.32=0.189,P（X=2）=^0.720.3'=（）.441,

P（X=3）=C^0.730.3°=0.343,所以,X的概率分布列為:

X0123

P0.0270.1890.4410.343

（III）由N（60,25）得o=5由圖（2）知P（n—2。V[<口+2。）=P（504&<70）=0.96>0.9545.

所以可以認為該校學生的體重是正常的.

20.（本題12分）如圖，A8為圓O的直徑，點在圓。上，且ABEF為等腰梯形，矩形ABC。和圓。所

在的平面互相垂直，已知AB=2,EF=1.

（1）求證：平面￡>AF_L平面C8R；

（2）當4）的長為何值時，二面角E>—AC—8的大小為120.

（1）證明：平面A8CD1.平面A8EF,且C8_LAB,平面ABCOD平面

ABEF=AB,所以C3J?平面ABEF,

因為AFu平面A8EF,所以CB_LAF,又因為AB為圓的直徑，所以q_LAF,

所以AF_L平面C陽，又由AFu平面ADF,所以平面4）尸J_平面.

（2）解：設砂,8的中點分別為G,H,以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示,

設A￡>=f,則點。的坐標為（l,0j）,C（-l,0,r）,A（l,0,0）,B（T0,0）,F；,與,0

_______1/o

則函=（2,0,0）,而=,設平面。CE的法向量為1=（x,y,z））,則

2x=0

^-CD=0即博…=。

取Z=6可得x=o,y=2r,則1=僅2碼,

質.麗=0

一一.1J3

由（1）可知AF_L平面CTO,平面C陽的一個法向量為%=4/=--？―,0

則kOS(%,%

因為二面角O-FC-3的大小為120,可得，=卜例1解得f="，所以線段4）的長為四

274^7344

21.（本題12分）己知平面內動點尸與點A（0,O）和點網-立0）的連線的斜率之積為總

（1）求動點P的軌跡C的方程;

s?

（2）過點尸（1,0）的直線/與曲線C交于M,N兩點，且學迎=義（1<2<1）,求直線/斜率的取值范圍.

s△ONF3

2

y7——y產"二y二二一1,整理可得：f+2y2=2,即反+丁=1(xw±Q),

x-V2x+亞X2-222

所以動點P的軌跡C的方程為］+y2=i（x^±V2）,

（2）由題意可知直線/的斜率存在且不為0,

x=my+1

可得：(>+2)y2+2my-1=0,

設A（X1,yJ,B（x2,y2）,直線/的方程為：x=my+\,由/2?

1+)=

-2m

所以乂+%=/5乂%=中

。4nt2r/八1-4加之

因為人c薩"1---4---M--=-A所以（）+%）=『X[一伽2+2)]=中,

S0--\OF\-\y2\%

(X+)J=)：+yJ+2yg++

%%

所以一"一*2=券，即2+卜=4m2

加2+2

因為y=X+1-2在上單調遞減,所以y=/l+：_2e(0,4

2

所以0<孚_<3,因為/;>0,由落可得：7<嚕1,

機2+23+2

所以直線/的斜率1或\>1.所以直線/斜率的取值范圍為（F,-1）D（1,+O））.

22.(本題12分)已知aeR,函數f(x)=lnx+a(l-x),g(x)=ex.

（1）討論“X）的單調性;

(2)過原點分別作曲線y=〃x)和y=g(x)的切線4和4,求證：存在”>(),使得切線4和4的斜率互為

倒數；

(3)若函數"力=爐+。-/(尤)的圖象與x軸交于兩點A(5,0),B(x,,O),且0<x1c電.設%=回+,生，

其中常數義、〃滿足條件2+〃=1,〃2幾>0,試判斷函數萬(外在點”(七,人(%))處的切線斜率的正負，

并說明理由.

(1)f(x)的定義域是(0,4w),r(x)=1-a,"VO時，，'。)>。恒成立，了⑴在(0,田)遞增，

X

〃>0時，o<x/時，r(x)>o,x/時，r(x)<o,

aa

/(X)的增區間是(0」)，減區間是(1,共0).

aa

(2)f\x)^--a,gz(x)=ex,

X

設g(x)的切線方程是y=丘，則e、=Ar,顯然上>0,x=\nk,切點為Qnk,k),

L1

于是告=女，解得％=e,所以4的斜率為e,于是4的斜率為上

Inke

」一11e

設/(幻的切點坐標為(工,%),由---。=一，%=----

%eae+1

又Z^2=_1,所以m-^-+a(l---)=lx-^,整理得a=ln(ae+l),

%eae+\〃e+leae+1

設G(x)=ln(ex4-l)-x,Gf(x)=---1=--,

ev+1ex-+-1

當0<x<三!■時，G'(x)>0,G(x)遞增，而G(0)=0,所以G(3)>O,

ee

x>—st,G'U)<0,G(x)遞減，XG(e3)=ln(e4+l)-e3<5-8<0,

e

所以存在吃€(￡」,/),使得G(x0)=0,因此關于。的方程a=ln(oe+l)有正數解.

e

所以存在a>0,使得切線4和12的斜率互為倒數；

(3)h(x)=x2—\nx+ax,hr(x)=2x——+a

xf

因為函數人(x)的圖象與x軸交于兩2點4(占,0),B(x2,0),且0<玉<々.

所