PAGE1-§11.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理考綱展示?1.理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理．2．會用分類加法計數原理和分步乘法計數原理分析和解決一些簡單的實際問題．考點1分類加法計數原理分類加法計數原理完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．答案：m＋n分類加法計數原理：每一種方法都能完成這件事情；類與類之間是獨立的．某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，那么不同的贈送方法共有________種．答案：10解析：贈送1本畫冊，3本集郵冊，需從4人中選取1人贈送畫冊，其余贈送集郵冊，有Ceq\o\al(1,4)種方法；贈送2本畫冊，2本集郵冊，需從4人中選出2人送畫冊，其余2人送集郵冊，有Ceq\o\al(2,4)種方法．由分類加法計數原理知不同的贈送方法有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝10(種).[典題1](1)[2022·重慶銅梁第一中學月考]如果把個位數是1，且恰好有3個數字相同的四位數叫做“好數〞，那么在由1,2,3,4四個數字組成的有重復數字的四位數中，“好數〞共有()A．9個B．3個C．12個D．6個[答案]C[解析]當重復數字是1時，有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3)種；當重復數字不是1時，有Ceq\o\al(1,3)種．由分類加法計數原理得滿足條件的“好數〞有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,3)＝12(個)．(2)[2022·河南鄭州質檢]滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數解的有序數對(a，b)的個數為()A．14B．13C．12D．10[答案]B[解析]①當a＝0，有x＝－eq\f(b,2)，b＝－1,0,1,2，有4種可能；②當a≠0時，那么Δ＝4－4ab≥0，ab≤1.(ⅰ)當a＝－1時，b＝－1,0,1,2，有4種可能；(ⅱ)當a＝1時，b＝－1,0,1，有3種可能；(ⅲ)當a＝2時，b＝－1,0，有2種可能．所以有序數對(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13(個)．[點石成金]利用分類加法計數原理解題時的考前須知(1)根據問題的特點確定一個適宜的分類標準，分類標準要統一，不能遺漏；(2)分類時，注意完成這件事件的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復．考點2分步乘法計數原理分步乘法計數原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．答案：m×n分步乘法計數原理：所有步驟完成才算完成；步與步之間是相關聯的．將甲、乙、丙等6人分配到高中三個年級，每個年級2人，要求甲必須在高一年級，乙和丙均不能在高三年級，那么不同的安排種數為________．答案：9分步計數原理：步驟互相獨立，互不干擾；步與步確保連續，逐步完成．某市汽車牌照號碼可以上網自編，但規定從左到右第二個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0～9這十個數字中選擇(數字可以重復)，某車主第一個號碼(從左到右)只想在數字3,5,6,8,9中選擇，其他號碼只想在1,3,6,9中選擇，那么他的車牌號碼可選的所有可能情況有________種．答案：960解析：按照車主的要求，從左到右第一個號碼有5種選法，第二個號碼有3種選法，其余三個號碼各有4種選法．因此車牌號碼可選的所有可能情況有5×3×4×4×4＝960(種).[典題2](1)[2022·廣東佛山二模]教學大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，由一層到五層的走法有()A．10種B．25種C．52種D．24種[答案]D[解析]每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步．由分步乘法計數原理，共有24種不同的走法．(2)集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的點，那么①P可表示平面上________個不同的點；②P可表示平面上________個第二象限的點．[答案]①36②6[解析]①確定平面上的點P(a，b)可分兩步完成：第1步，確定a的值，共有6種方法；第2步，確定b的值，也有6種方法．根據分步乘法計數原理，得到平面上的點的個數是6×6＝36.②確定第二象限的點，可分兩步完成：第1步，確定a，由于a<0，所以有3種方法；第2步，確定b，由于b>0，所以有2種方法．由分步乘法計數原理，得到第二象限的點的個數是3×2＝6.[點石成金]1.利用分步乘法計數原理解決問題要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．2．分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續，逐步完成.[2022·河北石家莊模擬]將甲、乙、丙、丁四名學生分到兩個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，那么不同的分法種數為________．(用數字作答)答案：8解析：第1步，把甲、乙分到不同班級有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)分法；第2步，分丙、丁：①丙、丁分到同一班級有2種方法；②丙、丁分到兩個不同班級有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)分法．由分步乘法計數原理，不同的分法為2×(2＋2)＝8(種)．考點3兩個計數原理的綜合應用[考情聚焦]兩個計數原理的應用是高考命題的一個熱點，以選擇題或填空題的形式呈現，試題難度不大，多為容易題或中檔題．主要有以下幾個命題角度：角度一涂色問題[典題3][2022·四川成都二診]如下圖，用4種不同的顏色對圖中5個區域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區域涂一種顏色，相鄰的區域不能涂相同的顏色，那么不同的涂色種數為________.[答案]96[解析](1)按區域1與3是否同色分類：①區域1與3同色：先涂區域1與3，有4種方法，再涂區域2,4,5(還有3種顏色)，有Aeq\o\al(3,3)種方法．∴區域1與3同色，共有4Aeq\o\al(3,3)＝24(種)方法．②區域1與3不同色：先涂區域1與3有Aeq\o\al(2,4)種方法，第二步涂區域2有2種涂色方法，第三步涂區域4只有一種方法，第四步涂區域5有3種方法．∴共有Aeq\o\al(2,4)×2×1×3＝72(種)方法．由分類加法計數原理，不同的涂色方法為24＋72＝96(種)．角度二選派或分配問題[典題4]某班一天上午有4節課，每節都需要安排1名教師去上課，現從A，B，C，D，E，F6名教師中安排4人分別上一節課，第一節課只能從A，B兩人中安排一人，第四節課只能從A，C兩人中安排一人，那么不同的安排方案共有多少種？[解](1)第一節課假設安排A，那么第四節課只能安排C，第二節課從剩余4人中任選1人，第三節課從剩余3人中任選1人，共有4×3＝12(種)排法．(2)第一節課假設安排B，那么第四節課可由A或C上，第二節課從剩余4人中任選1人，第三節課從剩余3人中任選1人，共有2×4×3＝24(種)排法．因此不同的安排方案共有12＋24＝36(種)．角度三幾何問題[典題5]兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，那么這13個點可以確定不同的平面個數為()A．40B．16C．13D．10[答案]C[解析]分兩類情況討論：第一類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；第二類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面．根據分類加法計數原理知，共可以確定8＋5＝13(個)不同的平面．角度四集合問題[典題6]集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B為集合M的非空子集，假設對?x∈A，y∈B，x<y恒成立，那么稱(A，B)為集合M的一個“子集對〞，那么集合M的“子集對〞共有________個．[答案]17[解析]當A＝{1}時，B有23－1＝7(種)情況；當A＝{2}時，B有22－1＝3(種)情況；當A＝{3}時，B有1種情況；當A＝{1,2}時，B有22－1＝3(種)情況；當A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}時，B均有1種情況；所以滿足題意的“子集對〞共有7＋3＋1＋3＋3＝17(個)．角度五與數字有關的問題[典題7]如果一個三位正整數如“a1a2a3”滿足a1<a2，且aA．240B．204C．729D．920[答案]A[解析]假設a2＝2，那么百位數字只能選1，個位數字可選1或0，“凸數〞為120與121，共2個，假設a2＝3，滿足條件的“凸數〞有2×3＝6(個)，假設a2＝4，滿足條件的“凸數〞有3×4＝12(個)，……假設a2＝9，滿足條件的“凸數〞有8×9＝72(個)．所以所有凸數有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個)．[點石成金]1.注意在綜合應用兩個計數原理解決問題時，一般是先分類再分步．在分步時可能又用到分類加法計數原理．2．注意對于較復雜的兩個計數原理綜合應用的問題，可恰當地列出示意圖或列出表格，使問題形象化、直觀化．3．解決涂色問題，可按顏色的種數分類，也可按不同的區域分步完成.[方法技巧]1.應用兩個計數原理的難點在于明確分類還是分步．在處理具體的應用問題時，首先必須弄清楚“分類〞與“分步〞的具體標準是什么．選擇合理的標準處理事情，可以防止計數的重復或遺漏．2．(1)分類要做到“不重不漏〞，分類后再分別對每一類進行計數，最后用分類加法計數原理求和，得到總數．(2)分步要做到“步驟完整〞，完成了所有步驟，恰好完成任務，當然步與步之間要相互獨立，分步后再計算每一步的方法數，最后根據分步乘法計數原理，把完成每一步的方法數相乘，得到總數．3．混合問題一般是先分類再分步．4．要恰當畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規律．[易錯防范]1.切實理解“完成一件事〞的含義，以確定需要分類還是需要分步進行．2．分類的關鍵在于做到“不重不漏〞，分步的關鍵在于正確設計分步的程序，即合理分類，準確分步．3．確定題目中是否有特殊條件限制．真題演練集訓1．[2022·新課標全國卷Ⅱ]如圖，小明從街道的E處出發，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，那么小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為()A．24B．18C．12D．9答案：B解析：由題意可知E→F共有6種走法，F→G共有3種走法，由分步乘法計數原理知，共有6×3＝18(種)走法，應選B.2．[2022·新課標全國卷Ⅲ]定義“標準01數列〞{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數不少于1的個數．假設A．18個B．16個C．14個D．12個答案：C解析：由題意可得，a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3個0、3個1，且滿足對任意k≤8，都有a1，a2，…，ak中0的個數不少于1的個數，利用列舉法可得不同的“標準01數列〞有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14個．3．[2022·四川卷]用數字1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為()A．24B．48C．60D．72答案：D解析：由題意可知，個位可以從1,3,5中任選一個，有Aeq\o\al(1,3)種方法，其他數位上的數可以從剩下的4個數字中任選，進行全排列，有Aeq\o\al(4,4)種方法，所以奇數的個數為Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4)＝3×4×3×2×1＝72，應選D.4．[2022·四川卷]用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中比40000大的偶數共有()A．144個 B．120個C．96個 D．72個答案：B解析：當萬位數字為4時，個位數字從0,2中任選一個，共有2Aeq\o\al(3,4)個偶數；當萬位數字為5時，個位數字從0,2,4中任選一個，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)個偶數．故符合條件的偶數共有2Aeq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)＝120(個)．課外拓展閱讀應用兩個計數原理求解涂色問題[典例]如下圖，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數為________．[審題視角]染色問題是常見的計數應用問題，可從選顏色、選頂點進行分類、分步，從不同角度解決問題．[解析]解法一：可分為兩大步進行，先將四棱錐一側面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數，用分步乘法計數原理即可得出結論．由題設，四棱錐S－ABCD的頂點S，A，B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60(種)染色方法．當S，A，B染好時，不妨設其顏色分別為1,2,3.假設C染2，那么D可染3或4或5，有3種染法；假設C染4，那么D可染3或5，有2種染法；假設C染5，那么D可染3或4，有2種染法．可見，當S，A，B已染好時，C，D還有7種染法，故不同的染色方法有60×7＝420(種)．解法二：以S，A，B，C，D順序分步染色．第一步，點S染色，有5種方法；第