1/33專題二項式定理（選填題7種考法）解析考法一二項式指定項系數【例1-1】（2023·山西臨汾·統考一模）的展開式中的系數為（

）A． B． C．64 D．160【答案】C【解析】的展開式的通項公式為，令，則，故展開式中的系數為.故選：C.【例1-2】（2022·天津·統考高考真題）的展開式中的常數項為______.【答案】【解析】由題意的展開式的通項為，令即，則，所以的展開式中的常數項為.故答案為：.【例1-3】（2023·貴州畢節·統考一模）展開式中的系數為_________（用數字作答）【答案】【解析】的展開式的通項為，取得到.故答案為：【例1-4】（2023春·河北邯鄲·高三校聯考開學考試）的展開式中,有理項是______.（用關于x的式子表示）【答案】和【解析】由題知,記展開式的通項為,則,由,得或8,所以,故有理項是和.故答案為:和考法二兩個二項式指定項系數【例2-1】（2023·全國·模擬預測）的展開式中的常數項為（

）A．－20 B．30 C．－10 D．10【答案】D【解析】因為的展開式的通項公式為,令,得;令,得,所以的展開式中的常數項為:.故選:D【例2-2】（2023·四川成都·統考二模）二項式展開式中的系數為（

）A．120 B．135 C．140 D．100【答案】B【解析】的展開式通項公式為，其中，，，故二項式中的四次方項為，即展開式中的系數為.故選：B【例2-3】（2023·安徽·校聯考模擬預測）的展開式中的系數為（

）A．30 B．40 C．70 D．80【答案】A【解析】因為的展開式中含的項為，所以的系數為.故選：A.【例2-4】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學?？家荒＃┑恼归_式中，含項的系數為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】的展開式的通項公式為，令，可得；所以含項的系數為，即，解得.故選：C.考法三三項式指定項系數【例3-1】（2023·全國·模擬預測）展開式的常數項為（

）A．1 B．15 C．60 D．76【答案】D【解析】由，其中含有常數項的有，，，所以常數項為，故選：.【例3-2】（2023秋·廣東·高三統考期末）的展開式中含的項的系數為（

）A． B．60 C． D．30【答案】A【解析】的展開式中含的項為，的展開式中含的項為，的展開式中含的項的系數為.故選：A.【例3-3】（2023春·河南開封·高三統考開學考試）已知的展開式中的系數為，則實數（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】展開式的通項為：，且；展開式的通項為：，且；令，則或，的系數為，解得：.故選：A.考法四（二項式）系數之和【例4-1】（2023·云南昆明）（多選）設，則（

）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】對于選項A，令得，所以選項A錯誤；分別令和得和，所以選項B和選項C正確；對于選項D，，選項D正確；故：BCD．【例4-2】（2023·全國·高三專題練習）（多選）對任意實數x，有．則下列結論成立的是（

）A．B．C．D．【答案】CD【解析】對任意實數x有，所以，故A不正確；令，可得，故B不正確；令，可得，故C正確；令，可得，故D正確．故選：CD．【例4-3】（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知，則下列結論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A，取得，所以，故A正確；對于B，的展開式中第7項為，所以，故B正確；對于C，取得，故C錯誤；對于D，由，取得，取得，所以，故D正確.故選：ABD.考法五（二項式）系數的性質【例5-1】（2023·河南信陽·河南省信陽市第二高級中學校聯考一模）若的展開式有且只有第5項的二項式系數最大，則展開式中項的系數為（

）A．-960 B．960 C．448 D．-448【答案】D【解析】依題意只有時第5項的二項式系數最大，項的系數為.故選：D【例5-2】（2023秋·浙江寧波·高三期末）若二項式的展開式中第6項與第7項的系數相等，則此展開式中二項式系數最大的項是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以，所以，即，所以，所以二項式系數最大項為.故選：B.【例5-3】（2023·全國·模擬預測）已知二項式，的展開式中第四項的系數最大，則a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】二項式展開式的通項公式為，其中，由（其中），即，，，依題意可知使上式成立，即，所以.故選：A考法六二項式定理的應用【例6-1】（2022·濰坊模擬）除以7的余數是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】，則，又是7的倍數，故余數為3.故答案為：D.【例6-2】（2022廣東）的計算結果精確到個位的近似值為A．106 B．107 C．108 D．109【答案】B【解析】∵，∴.故選B【例6-3】（2023·全國·高三專題練習）若，則被12整除的余數為______.【答案】0【解析】在已知等式中，取得，①取得，②①②得：，因為所以，所以能被12整除，所以被12整除的余數為故答案為：0.【例6-4】（2023·全國·高三校聯考階段練習）寫出一個可以使得被100整除的正整數______.【答案】1（答案不唯一）【解析】由題意可知，將利用二項式定理展開得顯然，能被100整除，所以，只需是100的整數倍即可；所以，得不妨取，得.故答案為：1考法七二項式定理與其他知識的綜合【例7-1】（2023秋·江蘇蘇州·高三統考期末）若的展開式中的系數為60，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．5【答案】C【解析】，令，，所以，∴，，當且僅當，即時等號成立，故選：C．【例7-2】（2023·全國·高三專題練習）設為實數，甲：；乙：二項展開式常數項為1．則甲是乙成立的（

）條件A．充分但不必要 B．充要C．必要但不充分 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】展開式中的第項為，.當時，該項為常數項，常數項為.顯然，當時，；當時，.所以，甲是乙成立的充分但不必要條件.故選：A.【例7-3】（2023秋·遼寧錦州·高三渤海大學附屬高級中學校考期末）已知函數在處的切線與直線平行，則二項式展開式中的系數為（

）A．70 B．－70 C．56 D．－56【答案】A【解析】，由已知可得，，即，所以.設展開式中的第k+1項含有，，則可知，，所以二項式展開式中的系數為.故選：A.【例7-4】（2023·全國·高三專題練習）定義函數，已知為虛數單位，則的展開式中常數項是（

）A．180 B．120 C．90 D．45【答案】A【解析】，由題可知，所以.所以的展開式的通項為.令，解得.所以展開式中的常數項是.故選：A【例7-5】（2023·陜西商洛·校考三模）數列中，，，的值為（

）A．761 B．697 C．518 D．454【答案】D【解析】因為，又，所以以為首項，為公比的等比數列，所以，所以，則又，，所以，故選：D1．（2022·北京·統考高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B【解析】令，則，令，則，故，故選：B.2．（2023·浙江·永嘉中學校聯考模擬預測）已知多項式，則（

）A．11 B．74 C．86 D．【答案】B【解析】對于，其展開通項公式為，令，得，故，對于，其展開通項公式為，令，得，故，所以.故選：B.3．（2023·上海靜安·統考一模）在的二項展開式中，稱為二項展開式的第項，其中r=0，1，2，3，……，n．下列關于的命題中，不正確的一項是（

）A．若，則二項展開式中系數最大的項是．B．已知，若，則二項展開式中第2項不大于第3項的實數的取值范圍是．C．若，則二項展開式中的常數項是．D．若，則二項展開式中的冪指數是負數的項一共有12項．【答案】D【解析】A選項：令，解得，所以，所以A正確；B選項：，整理可得，當時，不等式恒成立；當時，解得，所以，故B正確；C選項：令，解得，所以常數項為，故C正確；D選項：令，解得，所以可取，共11項，故D錯.故選：D.4．（2023·安徽宿州·統考一模）設，若，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【解析】由題可知，，所以；同理可得；由可得，即，所以，即，解得.故選：D5．（2023秋·遼寧營口·高三統考期末）二項式的展開式所有項的系數和為243，則展開式中的常數項為（

）A．10 B．20 C．30 D．50【答案】A【解析】展開式所有項的系數和為243，所以令則有，，n＝5，所以展開式通項公式為，令解得，所以展開式的常數項為，故選:A6．（2023春·河南新鄉·高三校聯考開學考試）若二項式的展開式中只有第5項的二項式系數最大，則展開式中項的系數為（

）A． B． C．1792 D．1120【答案】D【解析】因為展開式中只有第5項的二項式系數最大，所以.通項為，令，得，所以展開式中項的系數為．故選：D．7．（2023春·江蘇常州·高三校聯考開學考試）設，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，當時，；當時，；由等式左右兩邊系數相等可得，所以，故選：C.8．（2023·高三課時練習）設，則下列結論中錯誤的是（

）.A．B．C．，，，…，中最大的是D．當x=999時，除以2000的余數是1【答案】C【解析】在中，令，得，故A正確；因為，所以，，，，，，，所以，故B正確；由以上可知，，，，…，中最大的是，故C不正確；當時，，都能被整除，而，所以除以2000的余數是1，故D正確.故選：C9．（2023·高三課時練習）在（為正整數）的展開式中，的一次項的系數為（

）.A． B． C． D．【答案】B【解析】從中取，其它取相乘，得一次項為，從中取，其它取相乘，得一次項為，，從中取，其它取相乘，得一次項為，所以在（為正整數）的展開式中，的一次項為，所以的一次項的系數為.故選：B10．（2023·高三課時練習）若，x∈R，則的值為（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，令，得，令，得，所以.故選：A11．（2023秋·江蘇泰州·高三統考期末）若，則的值為（

）A．0 B．32 C．64 D．128【答案】A【解析】，時，，時，，故選：A.12．（2023·全國·高三專題練習）已知的展開式中項的系數為160，則當，時，的最小值為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】B【解析】的展開式中項的系數為160，所以，令，解得所以，所以，∵，，，當且僅當時等號成立，∴的最小值為，故選：B.13．（2023秋·甘肅蘭州·高三蘭化一中校考階段練習）的展開式中只有第5項的二項式系數最大，若展開式中所有項的系數和為256，則a的值為（

）A．1 B．-1 C．3 D．1或-3【答案】D【解析】展開式中只有第5項的二項式系數最大，所以總共有9項，令得所有項的系數和為故選：D14．（2023·全國·高三專題練習），則（

）A．1 B．3 C．0 D．【答案】C【解析】因為，令，可得.故選：C.15．（2023·全國·高三專題練習）若，則的值為（

）A． B．1 C．0 D．2【答案】A【解析】令得，令得，所以．故選：A．16．（2023·全國·高三專題練習）已知，設，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以由組合數的性質得，所以，令，得，即.令，得，所以，故選：D.17．（2023·全國·高三專題練習）的展開式中的奇數次冪項的系數之和為，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，令得：；令得：；兩式作差得：，即，解得：.故選：D.18．（2023·全國·高三專題練習）將二項式的展開式中所有項重新排成一列，有理式不相鄰的排法種數為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據題意，得，因為且，當時，，即為有理式；當時，，即為有理式；當時，，即為有理式；當時，，即為無理式；所以展開式一共有9個項，有3個有理式，6個無理式，先對6個無理式進行排列，共有種方法；再將3個有理式利用“插空法”插入這6個無理式中，共有種方法；利用分步乘法計數原理可得，一共有種方法.故選：C.19（2023·全國·高三專題練習）在（）的展開式中，若第5項為二項式系數最大的項，則n的值不可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】時，的展開式有8項，的展開式中二項式系數最大，即第四項和第五項的二項式系數最大；當時，的展開式有9項，的展開式中二項式系數最大，即第五項的二項式系數最大；當時，的展開式有10項，的展開式中二項式系數最大，即第五項和第六項的二項式系數最大.當時，的展開式有11項，的展開式中二項式系數最大，即第六項的二項式系數最大.故選：D．20．（2023·全國·高三專題練習）已知，設，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】因為，所以由組合數的性質得，所以，令，得，即.故選：C21．（2023·全國·高三專題練習）二項式的展開式中含有常數項，則的最小值等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】二項式的展開式為，令，，則，因為所以當時，取得最小值3，故選：B22．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知函數（k，n為正奇數），是的導函數，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以，所以，則，其中，所以，所以；故選：D23（2023·云南·統考模擬預測）（多選）在的展開式中，下列說法正確的是（

）A．不存在常數項 B．二項式系數和為1C．第4項和第5項二項式系數最大 D．所有項的系數和為128【答案】AC【解析】因為展開式的通項公式為，對A，由，得(舍去)，所以展開式不存在常數項，故A正確；對B，二項式系數和為，故B錯誤；對C，展開式共有項，所以第4項和第5項二項式系數最大，故C正確；對D，令，得所有項的系數和為，故D錯誤；故選：AC.24（2023·江蘇泰州·泰州中學?？家荒＃ǘ噙x）已知的展開式中共有7項，則（

）A．所有項的二項式系數和為64B．所有項的系數和為1C．二項式系數最大的項為第4項D．有理項共4項【答案】ACD【解析】因為的展開式中共有7項，所以，對于A，所有項的二項式系數和為，所以A正確，對于B，令，則所有項的系數和為，所以B錯誤，對于C，由于二項式的展開項共有7項，所以二項式系數最大的項為第4項，所以C正確，對于D，的展開式的通項公式為，當時，展開式的項為有理項，所以有理項有4項，所以D正確，故選：ACD25．（2023廣西桂林）（多選）在的展開式中，下列說法錯誤的是（

）A．常數項是20 B．第4項的二項式系數最大C．第3項是 D．所有項的系數的和為0【答案】AC【解析】因為展開式的通項公式為；令可得，所以常數項為，A錯誤；第項的二項式系數為，由組合數的性質可知當時，取到最大值，B正確；令可得，所以第三項為，C錯誤；令可得所有項的系數的和為0，D正確.故選：AC.26（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，則（

）A．a0的值為2B．a5的值為16C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值為－5D．a1＋a3＋a5的值為120【答案】ABC【解析】對于A，令x＝0，得a0＝2×1＝2，故A正確；對于B，(1－2x)5的展開式的通項為，所以，故B正確；對于C，令x＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6

①，即a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3－a0＝－3－2＝－5，故C正確；對于D，令x＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6

②，由①②解得a1＋a3＋a5＝－123，故D不正確.故選：ABC27．（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知二項式，則下列說法正確的是（）A．若a＝1，則展開式中的常數項為15B．若a＝2，則展開式中各項系數之和為1C．若展開式中的常數項為60，則a＝2D．若展開式中各項系數之和為64，則a＝2【答案】AB【解析】二項式，對于A，若a＝1，則展開式的通項，令，得r＝4，故所求常數項為，故A正確；對于B，若a＝2，令x=1，則展開式中各項系數之和為，故B正確；對于C，由通項，令，得r＝4，故所求常數項為，解得，故C錯誤；對于D，令x=1，則展開式中各項系數之和為，由已知得，，解得a＝﹣1或a＝3，故D錯誤.故選：AB．28．（2022·全國·統考高考真題）的展開式中的系數為________________（用數字作答）．【答案】-28【解析】因為，所以的展開式中含的項為，的展開式中的系數為-28故答案為：-2829．（2022·浙江·統考高考真題）已知多項式，則__________，___________．【答案】

【解析】含的項為：，故；令，即，令，即，∴，故答案為：；．30（2021·天津·統考高考真題）在的展開式中，的系數是__________．【答案】160【解析】的展開式的通項為，令，解得，所以的系數是.故答案為：160.31．（2023·湖南·模擬預測）的展開式中含項的系數為____________.【答案】【解析】展開式的通項為，令或，得（舍去），，所以展開式中含的項為.故答案為：32（2023·全國·模擬預測）的展開式中的系數為______．（用數字作答）【答案】【解析】，的展開式的通項公式為，在中，令，得的展開式中的系數為，令，得的展開式中的系數為，故的展開式中的系數為.故答案為：.33．（2023·全國·模擬預測）已知的展開式中所有項的系數和為8，則展開式中的系數為______.【答案】－1【解析】令，得，解得，則，展開式的通項.當時，，所以的展開式中的系數為；當時，，的展開式中的系數為.所以的展開式中的系數為.故答案為：.34．（2023·云南紅河·統考一模）的展開式中的系數為____________．（用數字作答）【答案】14【解析】由題意可知，在的展開式中含有項為和兩部分，所以的展開式中的的系數．故答案為：1435．（2023·浙江·校聯考模擬預測）展開式中項的系數為________.【答案】【解析】因為所以展開式中項的系數為.故答案為：36．（2023·全國·模擬預測）若展開式中各項系數之和為64，則該展開式中含的項的系數為______.【答案】【解析】令，則的展開式各項系數之和為，則,其中通項，令，則，則，故含的項的系數為.故答案為：.37．（2023·山西·統考一模）已知隨機變量，且，則的展開式中常數項為______.【答案】60【解析】由正態分布易得，設二項展開式的第項，則常數項為當時，值為60.故答案為：60.38．（2023·湖南永州·統考二模）的展開式中的系數是__________.【答案】【解析】展開式通項為；又展開式通項為；令，則，當，時，對應的項為；當，時，對應的項為；展開式中的系數為.故答案為：.39．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中?？茧A段練習）的展開式含的系數是________（用常數表示）．【答案】【解析】由含的項中對應的指數分別為6,2，所以，對于中含的項為，所以含的系數是.故答案為：40．（2023春·全國·高三校聯考開學考試）已知的展開式中的系數為，則實數______．【答案】【解析】∵表示6個因式的乘積，故展開式中含的項為：四個因式取，一個因式取,1個因式??；或者：有三個因式取，其余的3個因式都??；故展開式中含的項為，解得故答案為：41．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學?？家荒＃┮阎検降恼归_式的二項式的系數和為256，則展開式的常數項為___________.【答案】112【解析】二項式的展開式的二項式的系數和為256，可得，解得，則展開式的通項，令，解得，可得常數項為.故答案為：112.42．（2023秋·浙江紹興·高三統考期末）若展開式中只有第5項的二項式系數最大，則其展開式中常數項為__________.【答案】7【解析】由題意，所以展開式第項為，令，得，故常數項為.故答案為：7.43（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學?？计谀┲谐淀検莀________．（寫出數字）【答案】【解析】的展開式的通項公式是，令，則，故或或，所以的展開式中常數項為：，故答案為：.44．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中?？奸_學考試）在的展開式中，的系數為____________.【答案】150【解析】兩個二項式展開式的通項之積為，，則令，解得，故展開式中的系數為.故答案為：150.45．（2023·遼寧·遼寧實驗中學校考模擬預測）若的展開式中存在常數項，則n的一個值可以是______．【答案】4(答案不唯一)【解析】，的展開式的通項公式為，若是常數項，則，若是常數項，則，若是常數項，則，取，得，可得的展開式的常數項為，所以n的一個值可以是4．故答案為：4（答案不唯一）46．（2023·遼寧·校聯考模擬預測）的展開式中除常數項外的各項系數和為______．【答案】－5231【解析】展開式的通項公式為．令，得，則展開式的常數項是．令，得展開式中各項系數和為，所以展開式中除常數項外的各項系數和為．故答案為：－523147．（2023秋·湖北武漢·高三統考期末）已知的展開式中第9項、第10項、第11項的二項式系數成等差數列，則正整數______.【答案】14或23【解析】因為的展開式中，第9項、第10項、第11項的二項式系數成等差數列，所以，即，化簡可得解得或，故答案為：14或2348．（2023天津濱海新）若，則______.【答案】【解析】令，則；等式右邊系數為，結合等式左邊得；等