飛行管理問題解決方案摘要根據本文問題可知，飛機如果要避免在區域內發生碰撞，需要調整各自的飛行角，并強調要使調整幅度盡量小，所以這是個最優控制問題。針對該問題，首先本文運用整體規劃的思想，建立了非線性規劃模型，以飛機飛行方向角調整的幅度最小為目標函數，以任意兩架飛機的距離大于8公里、飛機飛行方向角調整的幅度不應超過30度、進入該區域的飛機在到達區域邊緣時與區域內飛機的距離在60公里以上等為約束條件，通過Lingo編程求解，得到飛機方向角的調整方案，然后對得到的結果進行檢驗，不滿足約束條件時繼續調整，直到各架飛機在限定區域內飛行時不會發生碰撞。最后我們考慮模型的評價和推廣，指出了模型存在的優點，缺點以及模型改進的方向。關鍵詞：非線性規劃；目標函數；約束條件；LINGO問題重述在約10,000米高空的某邊長160公里的正方形區域內，經常有若干架飛機作水平飛行。區域內每架飛機的位置和速度向量均由計算機記錄其數據，以便進行飛行管理。當一架欲進入該區域的飛機到達區域邊緣時，記錄其數據后，要立即計算并判斷是否會與區域內的飛機發生碰撞。如果會碰撞，則應計算如何調整各架（包括新進入的）飛機飛行的方向角。以避免碰撞。現假定條件如下：1） 不碰撞的標準為任意兩架飛機的距離大于8公里2） 飛機飛行方向角調整的幅度不應超過30度3） 所有飛機飛行速度均為每小時800公里4） 進入該區域的飛機在到達區域邊緣時，與區域內飛機的距離應在60公里以上5） 最多需考慮6架飛機6） 不必考慮飛機離開此區域后的狀況。請你對這個避免碰撞的飛行管理問題建立數學模型。列出計算步驟，對以下數據進行計算（方向角誤差不超過0.01度）。要求飛機飛行方向角調整的幅度盡量小。設該區域4個頂點的坐標為（0,0）,（160,0）,（160,160）,（0,160）記錄數據為：飛機編號橫坐標X縱坐標Y方向角（度）1150140243285852363150155220.54145501595130150230新進入0052注：方向角指飛行方向與X軸正向的夾角。試根據實際應用背景對你的模型進行評價與推廣。問題分析本文要求分析高空某邊長為160公里的正方形區域內，有若干架飛機作水平飛行，當一架欲進入該區域的飛機到達區域邊緣，能否相撞的問題以及如果相撞，如何最小程度地調整各飛機方向角的問題。本問題中的解決目標為在飛機飛行方向角調整的幅度盡量小的前提下使得各飛機不發生碰撞，而要避免飛機相撞有許多的約束條件。針對該問題，本文擬采用整數規劃的思想，建立非線性規劃模型。以飛機飛行方向角調整的幅度盡量小為目標函數，以任意兩架飛機的距離大于8公里、飛機飛行方向角調整的幅度不應超過30度、進入該區域的飛機在到達區域邊緣時與區域內飛機的距離在60公里以上等為約束條件。通過Lingo編程求解，得到飛機方向角的調整方案。問題假設假設只考慮邊長為160公里的正方形區域內飛機的飛行狀況。假設各飛機作水平飛行，無垂直方向的運動。3假設各飛機飛行以相同的速度勻速飛行。4.假設各飛機的飛行方向角可任意改變。四■符號說明xi0第i架飛機的初始位置橫坐標yi0第i架飛機的初始位置縱坐標0i0第i架飛機的初始方向角di第i架飛機方位角的改變量u飛機的飛行速度，800公里每小時t飛機的飛行時間cij第i架飛機與第j架飛機的距離模型的建立與求解5.1模型的準備非線性規劃模型：如果目標函數或約束條件中包含非線性函數，就稱這種規劃問題為非線性規劃問題。一般說來，解非線性規劃要比解線性規劃問題困難得多。而且，也不象線性規劃有單純形法這一通用方法，非線性規劃目前還沒有適于各種問題的一般算法，各個方法都有自己特定的適用范圍。非線性規劃問題的一般形式為：minf3)s.th(x)<0,j=1,...,qgj(x)=0,i=1,…,p其中x=[xi%…x"稱為模型(NP)的決策變量，f稱為為目標函數，g(i=1,???,p)和七(j=，???,q)成為約束函數。另外，g(x)=0(i=1,?..,p)稱為等式約束，hf(x)<0(j=1,…,q)稱為不等式的約束。5.2模型的建立在本文中，針對問題建立一個非線性規劃模型。TOC\o"1-5"\h\z設(x,y,0)為第i架飛機的初始位置坐標，初始角；d為第i架飛機方位角i0i0i0 i的改變量，則調整后的方位角為：0.=0.+di=1,2,...,6 (1)兩架飛機的相對速度方向為：(u(cosO.-cos0,),u(sinO.,sin0,))在，時刻的相對位置為(x—x+ur(cos0—cos0),y—y+ur(sin0,sin0)) (2)i0 j0 i j i0 j0 ij令ut=l，則有：c(0,0,l)=(x—x+ut(cos0—cos0))2+(y—y+ut(sin0,sin0))2 (3)ijiji0j0 ij i0 j0 ij因此，飛行管理問題歸納為min26d2i=1(4)st'c(0,0,l)>64 1<i,j<6,i豐j(4)stijij\d\<30 i=1,2,...,6其中0.的表達式由(1)給出,.(O.,0.,l)由(3)給出。該問題是一個非線性規劃問題，但(4)約束條件中含有參數l，根據題意可知其范圍為0<l<160克，這實際是一個參數規劃或半窮規劃問題。5.3模型的求解將參數l離散化可得:min寸d2i=1(5)E(0,9.」k)>64 1<i,j<6,i^j,k=1,2,…，r(5)SVKI<30 i=1,2,...,6對于飛行管理問題，通過分析，可以確定r，匕的值。當第i架飛機與第j架飛機在飛行中達到最近距離時，其參數1^為：(x一x)(cos9-cos9)+(y-y)(sin9,sin9)1=—i0 j i j i0 j i j- (6)ij (cos9-cos9)2+(sin9,sin9)2i j ij根據拋物線方程有關知識，開口向上的圖形在頂點處取得最小值，本題中只要七的最小值大于64,圖形上其他的點邊都大于64。當9,=9,0時，任意兩架飛機達到最近時的參數值如表1所示：表1初始狀態下任意兩架飛機達到最近時的參數飛機編號23456199.794359.40028108.39205995.2211499.206882-230.07332-23.80028461.44570-98.0408836.97809941.30219-30.374764100.3696764.50830586.59373經驗證，當參數1=108.392059時，第1架飛機與第4架飛機之間的距離小于8公里；當參數1=99.20688時，第1架飛機與第6架飛機之間的距離小于8公里。因此，選擇r=2,〈=108.392059,匕=99.20688。求解非線性規劃問題(5)，編寫LINGO程序(見附錄一)，求解部分結果如下：Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue: 6.595993Totalsolveriterations:8VariableValueReducedCostD(1)1.8126870.9026636E-07D(2)0.7072742E-080.1414548ED(3)-0.5526004E-08-0.1105201E-07D(4)1.8193850.00000D(5)-0.2560630E-070.000000D(6)0.4068723E-070.8137445E-07艮口d=1.812687,d=1.819385,d=d=d=d=0然后用式（1）調整1 4 2 3 5 69.（i=1,2,?..,6）。5.4模型的檢驗檢驗調整后9是否滿足參數規劃問題（5）的約束條件。經驗證，當I=96.44293i時，第1架飛機與第5架飛機之間的距離小于8公里。因此，需要繼續進行調整。此時，取r=3,l1=96.44293,12=99.20688,〈=108.392059,，用LINGO軟件繼續求解（程序見附錄二），部分計算結果如下：Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue: 6.963254Totalsolveriterations: 19VariableValueReducedCostD(1)1.569495-0.3544591E-07D(2)-0.1407321E-08-0.2814641E-08D(3)-0.2071138E-07-0.4142276E-07D(4)2.0614310.000000D(5)-0.50043770.000000D(6)-0.3928374E-07-0.7856748E-07再用式（1）調整9，經驗證，所有飛機滿足約束優化問題（5）的約束條件。i由此得到最后結論:第1架飛機的方位角調整1.57度，第4架飛機的方位調整2.06度，第5架飛機的方位調整-0.50度，其他飛機不用調整。模型的評價與推廣6.1模型的優點本模型成功解決了飛行管理問題，建立了較為滿意的模型，并對模型進行了驗證，可信度較高。本文通過利用數學工具，通過Ling。編程的方法，嚴格的對模型求解，具有科學性。本文建立的模型能與實際緊密聯系，結合實際情況對所提出的問題進行求解，使模型更貼近實際，通用性、推廣性較強。6.2模型缺點模型是在理想條件下進行的，不考慮天氣、風向等因素的影響因此可能與實際情況有一定差距由于在計算過程中題目給的飛機飛行速度為800公里每小時，而現實中不可能每架飛機在每一時刻的速度都為800公里每小時，所以使得模型計算的結果與實際有所差別。在這個模型中我們沒有考慮飛機接受命令到執行命令之間的時間，事實上這段時間是存在且不可忽略的。在實際的飛機航行中，改變飛行角度后，飛機便離開了原航線，在以后的飛行中是要矯正過來的，但是在我們的模型中這個問題并沒有列入考慮范圍。6.3模型推廣總體來說這個模型比較簡單易懂，符合一般的調整需要，對飛機的數量也是可以隨意做調整的，但是模型需要強大的實時數據支持。參考文獻薛毅，《數學建模基礎》，北京：科學出版社，2011。朱道元，《數學建模精品案例》，南京：東南大學出版社，1999。程極泰，《最優設計的數學方法》，北京：國防工業出版社，1994。姜啟源，謝金星，葉俊，《數學模型》，北京：高等教育出版社，2003。曹華林，湯志高，金平，《Lingo在飛行管理中的應用》，科技信息（科學教研），2007年17期。附錄附錄一：model:sets:num/1..6/:x,y,t,d;break/1..2/:l;NXN(num,num)|&1#lt#&2:c;NXNXB(NXN,break);endsetsdata:x=0,150,85,150,145,130;y=0,140,85,155,50,150;0=52,243,236,220.5,159,230;pi=3.1415926;l=99.20688108.392059;enddatamin=@sum(num:d"2);@for(NXNXB(i,j,k):(x(i)-x(j)+l(k)*(@cos((0(i)+d(i))*pi/180)-@cos((0(j)+d(j))*pi/180)))”2+(y(i)-y(j)+l(k)*(@sin((0(i)+d(i))*pi/180)-@sin((0(j)+d(j))*pi/180)))"2>=64.1);@for(num:@free(d);@bnd(-30,d,30));附錄二：model:sets:num/1..6/:x,y,t,d;break/1..3/:l;NXN(num,num)|&1#lt#&2:c;NXNXB(NXN,break);endsetsdata:x=0,150,85,150,145,130;y=0,140,85,155,50,150;0=52,243,236,220.5,159,230