2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合4={（乂丁）|丁=/},3={（x,y）|V+y2=i},則的真子集個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.設(shè)“2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)=若/（。）=1，則“一。）=（）

A.-1C.3D.-3

6+3/

3.若復(fù)數(shù)z=（加+1）+（2—加）i（加€R）是純虛數(shù)，則)

Z

A.3B.5C.加D.3x/5

4.若z=l+(l—a)i(aeR),|z|=&,則。=()

A.0或2B.0C.1或2D.

5.已知不同直線/、m與不同平面a、0,且/ua,mu0,則下列說法中正確的是（）

A.若a〃/?,貝!)/〃皿B.若a上0,貝!!/_1_根

c.若r。,則D.若a_L/7,貝!Jm_La

6.要得到函數(shù)y=2sin2x+^的圖象，只需將函數(shù)y=2cos2x的圖象

A.向左平移（個(gè)單位長度

B.向右平移與個(gè)單位長度

C.向左平移5個(gè)單位長度

6

D.向右平移J個(gè)單位長度

6

7.已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60。，則雙曲線C的方程不可能為（）

222222

/LiB.工-匕=1X工=1D.工-J

155515312217

2

8.若區(qū)表示不超過”的最大整數(shù)(如[2.5]=2,[4]=4,[-2.5]=-3),已知%=亍、10",々=q,

2=q-10%(WWN*,〃22),則如9=()

A.2B.5C.7D.8

9.若不等式f+儀+120對于一切xe(0,；恒成立，則。的最小值是()

A.()B.-2C.--D.-3

2

12

10.若函數(shù)必+”2—彳在區(qū)間(。，。+5)上存在最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.[-5,0)B.(-5,0)C.[-3,0)D.(-3,0)

■,

11.已知A,8是函數(shù)/(x)={'一圖像上不同的兩點(diǎn)，若曲線>=/(x)在點(diǎn)A,8處的切線重合，則

xlnx-a,x>0

實(shí)數(shù)。的最小值是()

11

A.-1B.一一C.-D.1

22

12.已知△ABC的面積是:，A6=1,8C=及，則AC=()

A.5B.石或1C.5或1D.75

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在長方體ABC。-44GA中，AD=3,AA=AB=4,則異面直線與AC所成角的余弦值為()

.V2n2,、2&n4

A.B.—C.--------D.—

5555

14.已知(2x-l)7=a“+aix+。2/+…+.7*7,貝！]/=.

15.(a+x)(l+x)4的展開式中，若x的奇數(shù)次幕的項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則。=.

16.點(diǎn)(2,1)到直線3x+4y=0的距離為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知橢圓。:與+丁=1的右焦點(diǎn)為產(chǎn)，直線/：x=2被稱作為橢圓C的一條準(zhǔn)線，點(diǎn)P在橢圓C上(異于

橢圓左、右頂點(diǎn))，過點(diǎn)P作直線〃?：y=Ax+f與橢圓C相切，且與直線/相交于點(diǎn)Q.

(1)求證：PF1QF.

(2)若點(diǎn)P在x軸的上方，當(dāng)△PQ尸的面積最小時(shí)，求直線〃?的斜率%.

附：多項(xiàng)式因式分解公式：t6-3t4-5r-1=(r+l)(r4-4/2-1)

18.(12分)已知函數(shù),f(x)='|x—a|(aeR).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，解不等式卜一曰+/(幻之1；

(2)設(shè)不等式卜一3+/(x)4x的解集為"，若;,g［用，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=ae'-sinx,其中aeR,e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，證明：對Vxe［0,”o)J(x)..l；

(2)若函數(shù)/(x)在(o,5］上存在極值，求實(shí)數(shù)”的取值范圍。

20.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=6cos2x-Qsin2x.

7T

(1)求/(五)的值；

乃

(2)若~,7T,求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間.

21.(12分)交通部門調(diào)查在高速公路上的平均車速情況，隨機(jī)抽查了60名家庭轎車駕駛員，統(tǒng)計(jì)其中有40名男性

駕駛員，其中平均車速超過905?/〃的有30人，不超過90Q〃//?的有10人；在其余20名女性駕駛員中，平均車速

超過90攵m/〃的有5人，不超過90切?//1的有15人.

(1)完成下面的2x2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為，家庭轎車平均車速超過9()如〃〃與駕駛員的性

別有關(guān)；

平均車速超過90攵根/〃平均車速不超過

合計(jì)

的人數(shù)90切2//2的人數(shù)

男性駕駛員

女性駕駛員

合計(jì)

(2)根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)總體，隨機(jī)調(diào)查3輛家庭轎車,記這3輛車中，駕駛員為女性且平均車速不超過90七%/〃

的人數(shù)為假定抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，求4的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n^ad-bcf

參考公式：K2其中〃=a+Z?+c+d

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表:

pg*。)0.0500.0250.0100.0050.001

k。3.8415.0246.6357.87910.828

22.（10分）根據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，1978年至2018年我國G。尸總量從0.37萬億元躍升至90萬億元，實(shí)際增長了242

將年份1978,1988,1998,2008,2018分別用1,2,3,4,5代替，并表示為f；＞表示全國GOP總量，表中

z,=In>;(/=1,2,3,4,5),z=

3/=i

以"25

tyz

/=!i=Ii=l

326.4741.90310209.7614.05

（D根據(jù)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)圖表，判斷夕=4+。與9=ce”（其中e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適宜作為全國

GO尸總量》關(guān)于/的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由），并求出關(guān)于/的回歸方程.

（2）使用參考數(shù)據(jù)，估計(jì)2020年的全國GDP總量.

線性回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：

,大可--元）（丫廠歹）

3二上—-------------,a=y-bx.

f（X,-元）2

/=!

參考數(shù)據(jù):

n45678

e"的近似值5514840310972981

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

求出AC8的元素，再確定其真子集個(gè)數(shù).

【詳解】

y=x2

由，,.?.AnB中有兩個(gè)元素，因此它的真子集有3個(gè).

x2+y2=1

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的子集個(gè)數(shù)問題，解題時(shí)可先確定交集中集合的元素個(gè)數(shù)，解題關(guān)鍵是對集合元素的認(rèn)識，本題中集合

A6都是曲線上的點(diǎn)集.

2.D

【解析】

利用/(a)與/(一的關(guān)系，求得/(一。)的值.

【詳解】

依題意/(a)=e"-eT-l=l,e〃—e-"=2,

所以/(-a)=ea—ea—l————2—1=—3

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.C

【解析】

先由已知，求出加=-1,進(jìn)一步可得"包=1-2i,再利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可

Z

【詳解】

由z是純虛數(shù)，得機(jī)+1=0且2—/nH0,所以m=—1,z=3i.

6+3/6+3/

因此,=|l-2/|=V5.

z3/

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

4.A

【解析】

利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算列方程，解方程求得。的值.

【詳解】

由于z=l+(l-a)i(aeR),|z|=0,所以"二彳二］=及，解得。=0或。=2.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)果.

【詳解】

對于A,若a〃尸，則/,〃?可能為平行或異面直線，A錯(cuò)誤；

對于8,若則/,〃?可能為平行、相交或異面直線，8錯(cuò)誤；

對于C,若/，尸，且/ua,由面面垂直的判定定理可知aJ■廣，C正確；

對于。，若a_L/?,只有當(dāng)〃?垂直于體，的交線時(shí)才有a,。錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析，關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.

6.D

【解析】

先將y=2sin(2x+?)化為y=2cos21—,根據(jù)函數(shù)圖像的平移原則，即可得出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閥=2sin[2x+^)=2cos[2x-q=2cos2卜-看],

所以只需將y=2cos2x的圖象向右平移9個(gè)單位.

O

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的平移，熟記函數(shù)平移原則即可，屬于基礎(chǔ)題型.

7.C

【解析】

判斷出已知條件中雙曲線。的漸近線方程，求得四個(gè)選項(xiàng)中雙曲線的漸近線方程，由此確定選項(xiàng).

【詳解】

兩條漸近線的夾角轉(zhuǎn)化為雙曲漸近線與x軸的夾角時(shí)要分為兩種情況.依題意，雙曲漸近線與x軸的夾角為30。或60。,

雙曲線C的漸近線方程為>=土巧》或曠=±百%八選項(xiàng)漸近線為/=±半乂，B選項(xiàng)漸近線為y=±Jir,C選項(xiàng)

|r—Y~

漸近線為y=±5X，D選項(xiàng)漸近線為y=+y/3x.所以雙曲線C的方程不可能為'一合■=1?

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查雙曲線的漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題.

8.B

【解析】

求出乙，b2,瓦,瓦,b,bh,判斷出｛2｝是一個(gè)以周期為6的周期數(shù)列，求出即可.

【詳解】

-I

w

解：4=-xlO.b=avn>2),

=

a=\^-\=2=b｝,^2l~y~J~28,

%=28-10x2=8,

同理可得:%=285,4=5；包=2857,2=7；%=28571,々=1.4=285714,%=4；%=2857142,4=2,

b"*6=b”.

故他｝是一個(gè)以周期為6的周期數(shù)列，

則82019=%(336+3=4=5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應(yīng)用.

9.C

【解析】

試題分析：將參數(shù)a與變量x分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，即可得到結(jié)論.

成立，等價(jià)于a"x-L對于一切成立，

解：不等式x2+ax+lZ0對一切xG(0

2xV2_

???y=-x-，在區(qū)間I。,：上是增函數(shù)

x12」

/.-x--<---2=--

x22

：?a>-—

???a的最小值為故答案為C.

2

考點(diǎn)：不等式的應(yīng)用

點(diǎn)評：本題綜合考查了不等式的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中

檔題

10.C

【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的簡圖，得到a滿足的不等式組，從而得解.

【詳解】

由題意，/(X)=X2+2X=X(X+2),故|x)在(一8,-2),(0,+◎上是增函數(shù)，在(一2,0)上是減函數(shù)，作出其圖象如

圖所示.

122

令一爐+*2---=,得無=。或x=-3,

333

-3<o<0

則結(jié)合圖象可知,解得ae[—3,0),

a+5>0

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究函數(shù)的最值，屬于常考題型.

【解析】

先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出了(x)在A,B兩點(diǎn)處的切線方程，再利用兩直線斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系樹,

從而得出a=g(#-e2』)，令函數(shù)8(力=3卜2-62).40),結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出最小值，即可選出正確答案.

【詳解】

解：當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x2+x+a,則/'(x)=2x+l；當(dāng)%>0時(shí)，/(x)=xlnx-a

則/'(x)=lnx+L設(shè)4(尤」(％)),8(々,/(々))為函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，

當(dāng)％<々<0或0<玉<龍2時(shí)，/'(x,)^/'(x2),不符合題意，故％<0<%.

則/(x)在A處的切線方程為y-卜；+玉+a)=(2X|+l)(x-xj；

/(x)在3處的切線方程為y—x21nx2+a=(lnx2+l)(x-x2).由兩切線重合可知

二二I：，整理得a=g(x：_e2'，)(x?0)不妨設(shè)g(x)=g(x2_e2')(xW0)

則g'(x)=x-e2',g"(x)=l-2e2',由g"(￡)=。可得x=?ng

則當(dāng)x=：ln；時(shí)，g'(x)的最大值為=

貝雅(力=；(/-02,)在(3,0］上單調(diào)遞減，則a2g(o)=一；.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了推理論證能力，考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.本題的

難點(diǎn)是求出。和x的函數(shù)關(guān)系式.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算.

12.B

【解析】

.=gA8BCsin8=g，AB=l,BC=O

..1V2

??sinBR=—f==—

A/22

①若B為鈍角，貝!ICOS8=-Y-,由余弦定理得AC?=AB2+BC2-2COS8-A8-8C，

2

解得AC=6；

②若3為銳角，則cosB=在，同理得AC=1.

2

故選B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.C

【解析】

根據(jù)A8//C2確定ZACR是異面直線AB與AC所成的角，利用余弦定理計(jì)算得到答案.

【詳解】

由題意可得AC=A〃=5,43=0=48.因?yàn)?8//C0,

所以ZACR是異面直線48與AC所成的角，記為凡

AC?+CO：-AD；25+32-2520

故cos0-

2ACCD,2x5x405

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了異面直線夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.

14.-84

【解析】

根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可得結(jié)果.

【詳解】

解：（2x-l）7的展開式通式為：7；M=3（2x）7f（—1丫

當(dāng)/*=5時(shí)，々=《（2x）2（-1）5=—84》2,

則=-84.

故答案為：-84

【點(diǎn)睛】

本題考查求二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù)，是基礎(chǔ)題.

15.3

【解析】

試題分析：由已知得（1+x）4=1+4x+6x2+4?+/,故（。+x）（l+尤y的展開式中x的奇數(shù)次第項(xiàng)分別為4以,

40r3,x,6x3,其系數(shù)之和為而+4。+1+6+1=32,解得a=3.

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.

16.2

【解析】

直接根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求出?

【詳解】

|3x2+lx4|

依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，點(diǎn)（2,1）到直線3x+4y=0的距離為=2。

出2+"

【點(diǎn)睛】

本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用。

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）證明見解析（2）

【解析】

近2-1

—得（爐）+以次+產(chǎn)-2=0令△=（）可得*=2攵2+1，進(jìn)而得到「（一竺二］,同理

（1）由，2+2+if2

y-kx+t

Q（2,2Z+。，利用數(shù)量積坐標(biāo)計(jì)算方.成即可；

（2）S=-+2k--,分女20，k<0兩種情況討論即可.

&Py0F22t

【詳解】

（1）證明:點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1，0）.

聯(lián)立方程=1,消去y后整理為（2公+1）/+4依+2/—2=0

y=kx+t

2kt2la__2k

有△=16%2f2-4（2公+1）（2產(chǎn)-2）=0,可得*=2=+1,X-I

2女2+1t2t

2k2ttI

y--F，=z=—?

2公+12k1+\t

可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一與,；）.

當(dāng)x=2時(shí)，可求得點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,2Z+f）,

竺-J2k+tn一

~FP二一FQ=（l,2k+f）.

有麗屈=_^^+^^=0,

故有PFLQF.

（2）若點(diǎn)P在x軸上方，因?yàn)閞=2二+1，所以有，21,

由(1)知|麗|='I+"=秒:?一+1=在＞：’)2+1；|也|=](2k+1)?+1

SAW=：I所上①J2"+l4公+4燈+『+1(2/-2)+4上+尸+1

~2t―2t~

3t~+4kf—13t.1

---------=—+2k——

2t22t

①因?yàn)閆NO時(shí).由（1）知4=

由函數(shù)/C）=y+^2（r-l）-^（Z>1）單調(diào)遞增，可得此時(shí)SAPQF>/（D=l.

②當(dāng)k<°時(shí)，由⑴知Z=

A/、3，/c/21/、八，/、3y[2,t13/+1>/2t

令g（”萬一西旬一五《川送"）=5一E+講=3=E

（3r2+lY_（Qt丫_（3/+1『_2t^__（3/+1）2（『一I）_8a_『一3/一5”-1

12t2J-[4_]J__4?7^1—--—4.（產(chǎn)—i）

—?2+1*_4/_1）（/+]）「2_Q+包「2_Q_⑹]時(shí)

~一彳FR——狗心故3>A/2+J5時(shí)，

g'（r）>0,此時(shí)函數(shù)g⑺單調(diào)遞增：當(dāng)1金<也+石時(shí)'g'⑺<0,此時(shí)函數(shù)g。）單

調(diào)遞減，又由g（l）=L故函數(shù)g?）的最小值g（也+船）<1，函數(shù)gO）取最小值時(shí)

2公+1=2+逐，可求得％=

由①②知，若點(diǎn)P在x軸上方，當(dāng)APQF的面積最小時(shí)，直線m的斜率為—J浮1

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及到分類討論求函數(shù)的最值，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道難題.

,八14

18.(1){x|0或X21}；(2)——

【解析】

(1)使用零點(diǎn)分段法，討論分段的取值范圍，然后取它們的并集，可得結(jié)果.

(2)利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，可得不等式|3x-l|+|x-。區(qū)3x在恒成立，然后解出解集，根據(jù)集合間的包含關(guān)

系，可得結(jié)果.

【詳解】

(1)當(dāng)a=2時(shí)，

原不等式可化為|3x—l|+|x—2|23.

①當(dāng)XV1時(shí)，

3

則一3x+1+2—x23=>所以xKO；

②當(dāng)九<2時(shí)，

3

則3x-l-2+x23=x21,所以l?xv2；

⑧當(dāng)工22時(shí)，

3

則3x—1—2+x23nx2—,所以1之2.

2

綜上所述：

當(dāng)。=2時(shí)，不等式的解集為{x|x<0或x，l}.

(2)由|x-g|+/(九)

則I3x—1|+|X-6F|<3x,

由題可知：

13x—11+1x-a區(qū)3x在—恒成立，

_32_

所以3元一1+|九一a區(qū)3%,BP|x-a|<1,

即。一1工%工。+1,

a-1<—

314

所以=>—<a<—

23

a+1>—

2

14

故所求實(shí)數(shù)。的取值范圍是一5，§

【點(diǎn)睛】

本題考查零點(diǎn)分段求解含絕對值不等式，熟練使用分類討論的方法，以及知識的交叉應(yīng)用，同時(shí)掌握等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，

屬中檔題.

19.(1)見證明；(2)ae(O,l)

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值，得到要證明的結(jié)論；

(2)問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解，法一：對a分類討論，分別研究a的不同取值下，導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及值域，從

而得到結(jié)論.法二：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域，再利用零點(diǎn)存在定理說明函數(shù)存在

極值.

【詳解】

⑴當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=e*-sinx,于是，f(x)-ex-cosx.

又因?yàn)椋?dāng)xe(0,+oo)時(shí)，/>1且008%41.

x

故當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，e-cosx>0>即/'(x)>0.

所以，函數(shù)f(x)="-sinx為(0,+oo)上的增函數(shù),于是，“x""0)=1.

因此，對Vxe［0,+oo),/(x)>l；

⑵方法一：由題意“X)在［。卷］上存在極值，則/'(x)=ae、-co.在上存在零點(diǎn)，

①當(dāng)ae(0,1)時(shí)，f'(x)=aex-cosx為1°，上的增函數(shù)，

注意到八0)=。-1<0,/圖=①2>0,

所以，存在唯一實(shí)數(shù)小€(0,1^,使得/'(x0)=0成立.

于是，當(dāng)xe(O,/)時(shí)，r(x)<0,7(x)為(0,%)上的減函數(shù)；

當(dāng)行底，?時(shí)，r(x)>。，/(x)為(/，/上的增函數(shù)；

所以與6(0,口為函數(shù)〃x)的極小值點(diǎn)；

②當(dāng)a21時(shí)，/'(%)=aex-cosx>ex-cosx>0在xw(0,?上成立,

所以/(x)在(0,上單調(diào)遞增，所以/(力在(0,3上沒有極值；

③當(dāng)aW0時(shí)，/'(x)=aex-cosx<0在無上成立，

所以/(x)在(0,T)上單調(diào)遞減，所以/(同在(0,W)上沒有極值，

綜上所述，使/(x)在(。，1J上存在極值的。的取值范圍是(0』).

方法二：由題意，函數(shù)/(x)在(。,段上存在極值，則/'(x)=ae「cosx在上存在零點(diǎn).

即。=罷在(0,^上存在零點(diǎn).

設(shè)g(x)=/「可0,3則由單調(diào)性的性質(zhì)可得如)為上的減函數(shù)?

即g(x)的值域?yàn)?0,1),所以，當(dāng)實(shí)數(shù)ae(0,1)時(shí)，/'(%)=。靖一85在[(),外上存在零點(diǎn).

下面證明，當(dāng)a?(),l)時(shí)，函數(shù)”X)在10,上存在極值.

事實(shí)上，當(dāng)ae(O,l)時(shí)，/'(x)=ae'-coax為(0弓)上的增函數(shù),

三兀

注意至i」.f'(0)=a—l<0,e2>0,所以，存在唯一實(shí)數(shù)x°e[0,5

使得/'(i)=。成立?于是,當(dāng)xe(O,Xo)時(shí),r(x)<0'/(x)為(0,%)上的減函數(shù);

當(dāng)xe(xo，，j時(shí)，/'(x)>0，/(x)為1%,U上的增函數(shù)；

即與為函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn)?

綜上所述，當(dāng)ae(O,l)時(shí)，函數(shù)/(x)在(0,上存在極值.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，涉及函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查構(gòu)造法的應(yīng)用，是一

道綜合題.

20.(1)—=3+6(2)/(x)的遞減區(qū)間為和——,7C

【解析】

7T

(1)化簡函數(shù)/(X),代入尤=一,計(jì)算即可；

12

71

(2)先利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，再結(jié)合無￡§,乃即可求出.

【詳解】

(1),//(%)=6cos2x-A/3sin2x=3(l+cos2x)->/3sin2x

=-5/3sin2x+3cos2x+3

--25/3sin^2x-yJ+3,

從而/(A=3+5/3.

JTTT7T

(2)令一一+2k7T<2x——<-+2k7T,k&Z.

232

兀5TT

解得-----FRTTWxW---Fkji、keZ.

1212

JI34

即函數(shù)/(X)的所有減區(qū)間為一二+上犯1+%)MeZ,

nJI5冗11萬

考慮到—.71,取左=0,1,可得XW§■，泊XG---，乃

12

541\TC

故y(x)的遞減區(qū)間為—和丁丁，不

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變形，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

21.(1)填表見解析；有99.9%的把握認(rèn)為，平均車速超過9(am//z與性別有關(guān)(2)詳見解析

【解析】

(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫2x2列聯(lián)表，計(jì)算出K?的值，由此判斷出有99.9%的把握認(rèn)為，平均車速超過9(次加/〃

與性別有關(guān).

(2)利用二項(xiàng)分布的知