等效運用“電像法”解高考物理題例說【浙江永嘉縣上塘中學325100錢呈祥】【北京市第八十中學100102韓敘虹】“電像法”由英國的數學、物理學家開爾文于1848年提出，是一種計算一定形狀導體電荷分布所產生的靜電場問題的有效方法。具體用處指的是將一大堆非常難以計算的物體產生的電場等效于在某一個點的一個電荷產生的電場。電像法也是高中物理中常用到的一種方法，主要應用于討論導體周圍有一個或幾個點電荷時空間的電勢和場強等問題。其核心思想是在不改變原來問題的邊界條件基礎上，用求解區域外的假想電荷代替導體上的感應電荷。掌握了這種方法，對學生解題思路的拓展和解題能力的提高都有很大的幫助。簡單地說，比如有一個接地的薄導體板，這個導體板上面的電荷都是自由電荷，且這個導體板為無限長。這時，在板的一側放上一個電荷量為q的電荷，這個電荷距離導體板的距離是r。這樣導體板上面就會產生感應電荷，問：距離導體板長度為x的地方電場強度是多少？這個問題似乎很難做出來，因為這個導體板上面的電荷不是均勻的。但是其實不是這樣的，注意到導體板的電勢與地面的電勢相同（都接地），這樣，就可以做出來一個像電荷，來等效替代這個導體板。容易得到，這個電荷的位置恰好在與原來的電荷對稱的位置，電荷的大小與原來電荷相同，正負相反。嚴格地說，是在一定條件下，可以用一個或多個虛設的等效電荷來代替非點電荷的作用，且保持原有邊界上邊界條件不變，這些等效電荷稱為像電荷，這種求解方法稱為電像法。電像法的實質在于將一給定的靜電場變換為另一易于計算的等效靜電場，多用于求解在邊界面（例如接地或保持電勢不變的導體）前面有一個或一個以上點電荷的問題，在某些情況下，從邊界面和電圖1圖1①一無限大接地導體板A前面有一點電荷Q，如圖1所示，則導體板A有（圖中左半平面）的空間電場，可看作是在沒有導體板A存在情況下，由點電荷Q與其像電荷-Q所共同激發產生。像電荷—Q的位置就是把導體板A當作平面鏡時，由電荷Q在此鏡中的像點位置。于是左半空間任一點的P的電勢為，式中和分別是點電荷Q和像電荷-Q到點P的距離，并且，此處d是點電荷Q到導體板A的距離。電像法的正確性可用靜電場的唯一性定理來論證，定性分析可從電場線等效的角度去說明。②一半徑為r的接地導體球置于電荷q的電場中，點電荷到球心的距離為h，球上感應電荷同點電荷q之間的相互作用也可以用一像電荷替代，顯然由對稱性易知像電荷在導體球的球心O與點電荷q的連線上，設其電量為，離球心O的距離為，如圖2所示，則對球面上任一點P，其電勢圖2o圖2o要使此式對任意成立，則必須滿足解得③對（2）中情況，如將q移到無限遠處，同時增大q，使在球心處的電場保持有限（相當于勻強電場的場強），這時，像電荷對應的無限趨近球心，但保持有限，因而像電荷和在球心形成一個電偶極子，其電偶極矩。xyzqO無限遠的一個帶無限多電量的點電荷在導體附近產生的電場xyzqO【例1（2022年高考理綜安徽卷題20）】：如圖所示，xOy平面是無窮大導體的表面，該導體充滿的空間，的空間為真空。將電荷為q的點電荷置于z軸上z=h處，則在xOy平面上會產生感應電荷?？臻g任意一點處的電場皆是由點電荷q和導體表面上的感應電荷共同激發的。已知靜電平衡時導體內部場強處處為零，則在z軸上處的場強大小為（k為靜電力常量）A.B.C.D.【解析】：用位于導體平面下方h處的鏡像電荷-q代替導體平面上的感應電荷，邊界條件維持不變，即xOy平面為零勢面。在z軸上處，q的場強大小為，-q的場強大小為，兩個場強方向相同，其合場強E=，故D對，A、B、C錯。qabcdQ【例2（2022年高考理綜新課標=1\*ROMANI卷題15）】：如圖，一半徑為R的圓盤上均勻分布著電荷量為Q的電荷，在垂直于圓盤且過圓心c的軸線上有a、b、d三個點，a和b、b和c、c和d間的距離均為R，在a點處有一電荷量為q(q>0)的固定點電荷。已知b點處的場強為零，則d點處場強的大小為(qabcdQA.B.C.D.【解析】：由于b點處的場強為零，根據電場疊加原理知，帶電圓盤和a點處點電荷在b處產生的場強大小相等，方向相反。帶電圓盤在中心軸上產生電場的效果相當于一個電荷量為q的點電荷Q1，這個Q1可以等效地代替原來的帶電圓盤。帶電圓盤在d點處產生的場強大小為，固定在a點的點電荷q在d點處產生的場強大小為，帶電圓盤和a點處點電荷產生的場強方向相同，所以E=，所以B選項正確。電像法的根據是靜電場的唯一性定理，只要區域內的電荷分布與邊界各點電勢給定，則區域內的電場唯一確定，所以可用區域外的一個或多個像電荷來取代邊界及邊界以外的復雜電荷分布，只要不改變邊界條件，區域內與原問題同解?？梢?，電像法是等效思想的應用，當然，在高中階段，要求深入理解等效思想的精髓，但并不需要去嚴格地推理論證。若遇到的問題與某種典型模型類似時，我們可以考慮用典型模型來等效替代。如一個正點電荷附近有一個巨大的平板，平板上的感應電荷在各點產生的電場可以看做是一個負點電荷產生的電場。這個負點電荷就如同正點電荷通過平板成的像，二者關于平板對稱，電荷量相等。等效的原因是：平板是等勢面，任何一點的電場都是垂直于平板的，這個電場與異性電荷形成的電場一致。運用電像法解題時，還需注意：一般先根據題目的邊界條件來確定像電荷的位置和大小，然后再根據場的疊加原理求出電勢、電場強度等物理量。學生對于使用電像法并不困難，而問題出在總是“濫用”電像法。每遇到導體在電場中的情況時，就去使用電像法，其實很多問題是無法用電像法解決的。在此，一定要強調電像法的適用條件和使用范圍：=1\*GB3①所求區域有少數幾個或一個點電荷．如果點電荷過多，就很難利用邊界條件求出像電荷的電荷量與位置。=2\*GB3②導體或者介質的邊界形狀比較規則（球面，平面，圓柱面），具有一定的對稱性。如果沒有很好的對稱性，像電荷是很難找出來的。=3\*GB3③邊界條件必須給定．如果沒有確定的邊界條件，那么唯一性定理也就不成立了，電像法就無從談起。=4\*GB3④像電荷是一些假想的電荷，它的