階段質量檢測（二）圓錐曲線與方程質(時間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．(2022·浙江高考)橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的離心率是()\f(\r(13),3) \f(\r(5),3)\f(2,3) \f(5,9)解析：選B根據題意知，a＝3，b＝2，則c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(5)，∴橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).2．θ是任意實數，則方程x2＋y2sinθ＝4的曲線不可能是()A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．圓解析：選C由于θ∈R，對sinθ的值舉例代入判斷．sinθ可以等于1，這時曲線表示圓，sinθ可以小于0，這時曲線表示雙曲線，sinθ可以大于0且小于1，這時曲線表示橢圓．3．設橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，則該橢圓的方程為()\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1\f(x2,2)＋y2＝1 \f(x2,4)＋y2＝1解析：選A∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2∴a＝2，c＝1，∴b＝eq\r(3).∴橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.4．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\f(\r(5),2)，則C的漸近線方程為()A．y＝±eq\f(1,4)x B．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\f(1,2)x D．y＝±x解析：選C∵e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，則C的漸近線方程為y＝±eq\f(1,2)x.5．設P是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a>0)上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x－2y＝0，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，若|PF1|＝3，則|PF2|＝()A．1或5 B．6C．7 D．8解析：選C雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1的一條漸近線方程為3x－2y＝0，故a＝2.又P是雙曲線上一點，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，則|PF2|＝7.6．已知直線y＝kx－k(k為實數)及拋物線y2＝2px(p>0)，則()A．直線與拋物線有一個公共點B．直線與拋物線有兩個公共點C．直線與拋物線有一個或兩個公共點D．直線與拋物線沒有公共點解析：選C因為直線y＝kx－k恒過點(1,0)，點(1,0)在拋物線y2＝2px的內部，所以當k＝0時，直線與拋物線有一個公共點，當k≠0時，直線與拋物線有兩個公共點．7．已知雙曲線eq\f(x2,2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦點分別是F1，F2，其一條漸近線方程為y＝x，點P(eq\r(3)，y0)在雙曲線上，則eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝()A．－12 B．－2C．0 D．4解析：選C由漸近線方程為y＝x，知雙曲線是等軸雙曲線，∴雙曲線方程是x2－y2＝2，于是兩焦點分別是F1(－2,0)和F2(2,0)，且P(eq\r(3)，1)或P(eq\r(3)，－1)．不妨取點P(eq\r(3)，1)，則eq\o(PF1,\s\up7(→))＝(－2－eq\r(3)，－1)，eq\o(PF2,\s\up7(→))＝(2－eq\r(3)，－1)．∴eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝(－2－eq\r(3)，－1)·(2－eq\r(3)，－1)＝－(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))＋1＝0.8．設雙曲線C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)與直線l：x＋y＝1相交于兩個不同的點，則雙曲線C的離心率e的取值范圍為()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2))) B．(eq\r(2)，＋∞)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，＋∞)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))∪(eq\r(2)，＋∞)解析：選D由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－y2＝1，,x＋y＝1))消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.由于直線與雙曲線相交于兩個不同的點，則1－a2≠0?a2≠1，且此時Δ＝4a2(2－a2)>0?a2所以a2∈(0,1)∪(1,2)．另一方面e＝eq\r(\f(1,a2)＋1)，則a2＝eq\f(1,e2－1)，從而e∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))∪(eq\r(2)，＋∞)．9．已知|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝3，A，B分別在y軸和x軸上運動，O為坐標原點，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up7(→))，則動點P的軌跡方程是()\f(x2,4)＋y2＝1 B．x2＋eq\f(y2,4)＝1\f(x2,9)＋y2＝1 D．x2＋eq\f(y2,9)＝1解析：選A設P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝eq\f(1,3)(0，y0)＋eq\f(2,3)(x0,0)，即x＝eq\f(2,3)x0，y＝eq\f(1,3)y0，所以x0＝eq\f(3,2)x，y0＝3y.因為|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝3，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝9，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x))2＋(3y)2＝9，化簡整理得動點P的軌跡方程是eq\f(x2,4)＋y2＝1.10．探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，已知燈口的直徑為60cm，燈深40cm，則拋物線的標準方程可能是()A．y2＝eq\f(25,4)x B．y2＝eq\f(45,4)xC．x2＝－eq\f(45,2)y D．x2＝－eq\f(45,4)y解析：選C如果設拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，則拋物線過點(40,30)，從而有302＝2p×40，即2p＝eq\f(45,2)，所以所求拋物線方程為y2＝eq\f(45,2)x.雖然選項中沒有y2＝eq\f(45,2)x，但C中的2p＝eq\f(45,2)符合題意．11.我們把離心率為黃金分割系數eq\f(\r(5)－1,2)的橢圓稱為“黃金橢圓”．如圖，“黃金橢圓”C的中心在坐標原點，F為左焦點，A，B分別為長軸和短軸上的頂點，則∠ABF＝()A．90° B．60°C．45° D．30°解析：選A設橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由已知，得A(a,0)，B(0，b)，F(－c,0)，則eq\o(BF,\s\up7(→))＝(－c，－b)，eq\o(BA,\s\up7(→))＝(a，－b)．∵離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴c＝eq\f(\r(5)－1,2)a，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)a))2)＝eq\r(\f(\r(5)－1,2))a，∴eq\o(BF,\s\up7(→))·eq\o(BA,\s\up7(→))＝b2－ac＝0，∴∠ABF＝90°.12．已知直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點，F為C的焦點，若|FA|＝2|FB|，則k＝()\f(1,3) B．eq\f(\r(2),3)\f(2,3) \f(2\r(2),3)解析：選D將y＝k(x＋2)代入y2＝8x，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，設A(x1，y1),B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(8－4k2,k2)，x1x2＝4，拋物線y2＝8x的準線方程為x＝－2，由|FA|＝2|FB|及拋物線定義得x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2＋2x2，代入x1x2＝4，整理得xeq\o\al(2,2)＋x2－2＝0，解得x2＝1或x2＝－2(舍去)．所以x1＝4，eq\f(8－4k2,k2)＝5，解得k2＝eq\f(8,9)，又因為k>0，所以k＝eq\f(2\r(2),3).二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中的橫線上)13．以雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為________．解析：雙曲線焦點(±4,0)，頂點(±2,0)，故橢圓的焦點為(±2,0)，頂點(±4,0)．答案：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝114．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點與拋物線x＝eq\f(1,4)y2的焦點重合，且雙曲線的離心率等于eq\r(5)，則該雙曲線的方程為________．解析：拋物線x＝eq\f(1,4)y2的方程化為標準形式為y2＝4x，焦點坐標為(1,0)，則得a2＋b2＝1，又e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，易求得a2＝eq\f(1,5)，b2＝eq\f(4,5)，所以該雙曲線的方程為5x2－eq\f(5,4)y2＝1.答案：5x2－eq\f(5,4)y2＝115．已知二次曲線eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1，當m∈[－2，－1]時，該曲線的離心率的取值范圍是________．解析：∵m∈[－2，－1]，∴曲線方程化為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,－m)＝1，曲線為雙曲線，∴e＝eq\f(\r(4－m),2).∵m∈[－2，－1]，∴eq\f(\r(5),2)≤e≤eq\f(\r(6),2).答案：eq\f(\r(5),2)，eq\f(\r(6),2)16．設F1，F2分別是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為________．解析：由橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，易知M點在橢圓外，連接MF2并延長交橢圓于點P，此時|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值為10＋|MF2|＝10＋eq\r(6－32＋42)＝15.答案：15三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知拋物線的頂點在原點，它的準線過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點，并且這條準線與雙曲線的兩焦點的連線垂直，拋物線與雙曲線交于點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))，求拋物線的方程和雙曲線的方程．解：依題意，設拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，∵點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))在拋物線上，∴6＝2p×eq\f(3,2).∴p＝2，∴所求拋物線的方程為y2＝4x.∵雙曲線的左焦點在拋物線的準線x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1，又點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))在雙曲線上，∴eq\f(9,4a2)－eq\f(6,b2)＝1，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝1，,\f(9,4a2)－\f(6,b2)＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(3,4)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝－8))(舍去)．∴所求雙曲線的方程為4x2－eq\f(4,3)y2＝1.18．(本小題滿分12分)已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1及直線l：y＝eq\f(3,2)x＋m，(1)當直線l與該橢圓有公共點時，求實數m的取值范圍；(2)求直線l被此橢圓截得的弦長的最大值．解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,9)＝1，))消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.Δ＝36m2－36(2m2∵直線l與橢圓有公共點，∴Δ≥0，據此可解得－3eq\r(2)≤m≤3eq\r(2).故所求實數m的取值范圍為[－3eq\r(2)，3eq\r(2)]．(2)設直線l與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由①得：x1＋x2＝－eq\f(6m,9)，x1x2＝eq\f(2m2－18,9)，故|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6m,9)))2－4×\f(2m2－18,9))＝eq\f(\r(13),3)·eq\r(－m2＋18)，當m＝0時，直線l被橢圓截得的弦長的最大值為eq\r(26).19．(本小題滿分12分)雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，直線l過F2且與雙曲線交于A，B兩點．(1)若直線l的傾斜角為eq\f(π,2)，△F1AB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；(2)設b＝eq\r(3)，若直線l的斜率存在，且(eq\o(F1A,\s\up7(→))＋eq\o(F1B,\s\up7(→)))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，求l的斜率．解：(1)設A(xA，yA)．由題意得F2(c,0)，c＝eq\r(1＋b2)，yeq\o\al(2,A)＝b2(c2－1)＝b4，因為△F1AB是等邊三角形，所以2c＝eq\r(3)|yA|，即4(1＋b2)＝3b4，解得b2＝2.故雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(2)x.(2)由題意知F1(－2,0)，F2(2,0)．設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l：y＝k(x－2)，顯然k≠0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(y2,3)＝1，,y＝kx－2))得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.因為l與雙曲線交于兩點，所以k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)>0.設AB的中點為M(xM，yM)．由(eq\o(F1A,\s\up7(→))＋eq\o(F1B,\s\up7(→)))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0即eq\o(F1M,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，知F1M⊥AB，故kF1M·而xM＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2k2,k2－3)，yM＝k(xM－2)＝eq\f(6k,k2－3)，kF1M＝eq\f(3k,2k2－3)，所以eq\f(3k,2k2－3)·k＝－1，解得k2＝eq\f(3,5)，故l的斜率為±eq\f(\r(15),5).20．(本小題滿分12分)已知動圓C過定點F(0,1)，且與直線l1：y＝－1相切，圓心C的軌跡為E.(1)求動點C的軌跡E的方程；(2)已知直線l2交軌跡E于兩點P，Q，且PQ中點的縱坐標為2，求|PQ|的最大值．解：(1)由題設知點C到點F的距離等于它到l1的距離，所以點C的軌跡是以F為焦點，l1為準線的拋物線，所以所求軌跡的方程為x2＝4y.(2)由題意易知直線l2的斜率存在，又拋物線方程為x2＝4y，當直線l2的斜率為0時，|PQ|＝4eq\r(2).當直線l2的斜率k不為0時，設中點坐標為(t,2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則有xeq\o\al(2,1)＝4y1，xeq\o\al(2,2)＝4y2，兩式作差得xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝4(y1－y2)，即得k＝eq\f(x1＋x2,4)＝eq\f(t,2)，則直線方程為y－2＝eq\f(t,2)(x－t)，與x2＝4y聯立得x2－2tx＋2t2－8＝0.由根與系數的關系得x1＋x2＝2t，x1x2＝2t2－8，則|PQ|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(t2,4)))[4t2－42t2－8])＝eq\r(8－t24＋t2)≤6，當且僅當t＝±eq\r(2)時取等號．所以|PQ|的最大值為6.21.(本小題滿分12分)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率e＝eq\f(\r(6),3)，過點A(0，－b)和B(a,0)的直線與原點的距離為eq\f(\r(3),2).(1)求橢圓的方程；(2)已知定點E(－1,0)，若直線y＝kx＋2(k≠0)與橢圓交于C，D兩點，問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點，請說明理由．解：(1)直線AB的方程為：bx－ay－ab＝0.依題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(6),3)，,\f(ab,\r(a2＋b2))＝\f(\r(3),2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(3)，,b＝1.))∴橢圓方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)假設存在這樣的k值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x2＋3y2－3＝0，))得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0.∴Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0.①設C(x1，y1)，D(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(12k,1＋3k2)，,x1x2＝\f(9,1＋3k2).))②而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4.要使以CD為直徑的圓過點E(－1,0)，當且僅當CE⊥DE時，則eq\f(y1,x1＋1)·eq\f(y2,x2＋1)＝－1.即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0.∴(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.③將②式代入③整理解得k＝eq\f(7,6).經驗證k＝eq\f(7,6)使①成立．綜上可知，存在k＝eq\f(7,6)，使得以CD為直徑的圓過點E.22．(本小題滿分12分)已知拋物線C1：x2＝4y的焦點F也是橢圓C2：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的一個焦點，C1與C2的公共弦的長為2eq\r(6).過點F的直線l與C1相交于A，B兩點，與C2相交于C，D兩點，且eq\o(AC,\s\up7(→))與eq\o(BD,\s\up7(→))同向．(1)求C2的方程；(2)若|AC|＝|BD|，求直線l的斜率．解：(1)由C1：x2＝4y知其焦點F的坐標為(0,1)．因為F也是橢圓C2的一個焦點，所以a2－b2＝1.