{來源}2022年湖南長沙中考數學試卷{適用范圍:3．九年級}{標題}2022年湖南省長沙市中考數學試卷考試時間：120分鐘滿分：120分{題型:1-選擇題}一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，合計36分．{題目}1．(2022年長沙T1)下列各數中，比﹣3小的數是()A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1{答案}A{解析}本題考查了有理數的大小比較，正數＞0＞負數，兩個負數比較大小，絕對值大的反而小，由于，所以﹣5＜﹣3＜﹣1，因此本題選A．{分值}3{章節:[1-1-2-4]絕對值}{考點:有理數的大小比較}{類別:常考題}{難度:1-最簡單}{題目}2．(2022年長沙T2)根據《長沙市電網供電能力提升三年行動計劃》，明確到2022年，長沙電網建設改造投資規模達保安全供用電需求數學記數法表示為()A．15×109 B．×109 C．×1010 D．×1011{答案}C{解析}本題考查了用科學記數法表示一個絕對值較大的數，科學記數法就是把一個數寫成a×10n的形式(其中1≤＜10，n為整數)，其具體步驟是：(1)確定a，a是整數位數只有一位的數；(2)確定n；當原數的絕對值≥10時，n為正整數，n等于原數的整數位數減1；當原數的絕對值＜1時，n為負整數，n的絕對值等于原數中左起第一個非零數前零的個數(含整數位數上的零)×1010，因此本題選C．{分值}3{章節:[1-1-5-2]科學計數法}{考點:將一個絕對值較大的數科學計數法}{類別:常考題}{難度:1-最簡單}{題目}3．(2022年長沙T3)下列計算正確的是()A．3a＋2b＝5ab B．(a3)2＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．(a＋b)2＝a2＋b2{答案}B{解析}本題考查了整式的運算，A選項是整式的加法，其實質是合并同類項，3a與2b不是同類項，故不能相加；B選項是冪的乘方，底數不變，指數相乘，故正確；C選項是同底數冪的除法，底數不變，指數相減，故正確結果為a4；D選項是和的完全平方公式，展開口訣為：“首平方，尾平方，積的2倍夾中間”故正確結果為a2＋2ab＋b2．因此本題選B．{分值}3{章節:[1-14-2]乘法公式}{考點:整式加減}{考點:冪的乘方}{考點:同底數冪的除法}{考點:完全平方公式}{類別:常考題}{難度:1-最簡單}{題目}4．(2022年長沙T4)下列事件中，是必然事件的是()A．購買一張彩票，中獎 B．射擊運動員射擊一次，命中靶心C．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈 D．任意畫一個三角形，其內角和是180°{答案}D{解析}本題考查了事件的分類，A、B、C選項都是隨機事件；D選項是必然事件；因此本題選D．{分值}3{章節:[1-25-1-1]隨機事件}{考點:事件的類型}{類別:常考題}{難度:1-最簡單}{題目}5．(2022年長沙T5)如圖，平行線AB，CD被直線AE所截，∠1＝80°，則∠2的度數是()A．80° B．90° C．100° D．110°{答案}C{解析}本題考查了考查了對頂角的定義，平行線的性質，由對頂角的定義可得∠AED＝∠1＝80°，又因為AB∥CD，所以由兩直線平行同旁內角互補可得：∠2＝180°－∠AED＝100°，因此本題選C．{分值}3{章節:[1-5-3]平行線的性質}{考點:對頂角、鄰補角}{考點:兩直線平行同旁內角互補}{類別:常考題}{難度:1-最簡單}{題目}6．(2022年長沙T6)某個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是(){答案}D{解析}本題考查了由三視圖判斷幾何體，從正面看和側面看都是三角形的只要D選項，因此本題選D．{分值}3{章節:[1-29-2]三視圖}{考點:由三視圖判斷幾何體}{類別:常考題}{難度:1-最簡單}{題目}7．(2022年長沙T7)在慶祝新中國成立70周年的校園歌唱比賽中，11名參賽同學的成績各不相同，按照成績取前5名進入決賽．如果小明知道了自己的比賽成績，要判斷能否進入決賽，小明需要知道這11名同學成績的()A．平均數 B．中位數 C．眾數 D．方差{答案}B{解析}本題考查了中位數，中位數反映的是一組數據中等水平，要判斷11名參賽同學中的小明是否進入前5名，只需比較自己的成績與第6名的成績即可．因此本題選B．{分值}3{章節:[1-20-1-2]中位數和眾數}{考點:中位數}{類別:常考題}{難度:1-最簡單}{題目}8．(2022年長沙T8)一個扇形的半徑為6，圓心角為120°，則該扇形的面積是()A．2π B．4π C．12π D．24π{答案}C{解析}本題考查了扇形的面積，由扇形的面積公式S＝＝，因此本題選C．{分值}3{章節:[1-24-4]弧長和扇形面積}{考點:扇形的面積}{{類別:常考題}{難度:1-最簡單}{題目}9．(2022年長沙T9)如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN，交BC于點D，連接AD，則∠CAD的度數是()A．20° B．30° C．45° D．60°{答案}B{解析}本題考查了垂直平分線的性質，等邊對等角，三角形的外角，直角三角形兩銳角互余，由垂直平分線的性質可知：AD＝BD即由等邊對等角得：∠DAB＝∠B＝30°，再由三角形的外角性質得∠ADC＝∠DAB＋∠B＝60°，在Rt△ADC中，∠C＝90°所以∠CAD＝90°－∠ADC＝90°－60°＝30°，因此本題選B．{分值}3{章節:[1-13-2-1]等腰三角形}{考點:直角三角形兩銳角互余}{考點:三角形的外角}{考點:垂直平分線的性質}{考點:等邊對等角}{類別:常考題}{難度:2-簡單}{題目}10．(2022年長沙T10)如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60nmile的小島A出發，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時輪船B與小島A的距離是()A．30nmile B．60nmile C．120nmile D．(30＋30)nmile{答案}D{解析}本題考查了與方位角有關的解直角三角形，如圖，在Rt△ACD中，由題意可知：AC＝60，∠ACD＝30°，∠ADC＝90°，所以AD＝AC＝30，CD＝ACcos30°＝60×＝30，在Rt△BCD中，由題意可知：∠BCD＝45°，∠BDC＝90°，所以BD＝CD＝30，所以AB＝30＋30，因此本題選D．{分值}3{章節:[1-28-1-2]解直角三角形}{考點:解直角三角形－方位角}{類別:常考題}{難度:3-中等難度}{題目}11．(2022年長沙T11)《孫子算經》是中國傳統數學的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長，繩子還剩余尺；將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長多少尺？可設木頭長為x尺，繩子長為y尺，則所列方程組正確的是()A． B． C． D．{答案}A{解析}本題考查了從實際問題中抽象二元一次方程組模型，根據題意發現等量關系是解題的關鍵，由“用一根繩子去量一根木頭的長，繩子還剩余尺”可列方程為y＝x＋，由“將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1尺”可列方程為＝x－1，因此本題選A．{分值}3{章節:[1-8-3]實際問題與一元一次方程組}{考點:簡單的列二元一次方程組應用題}{類別:數學文化}{類別:常考題}{難度:3-中等難度}{題目}12．(2022年長沙T12)如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則CD＋BD的最小值是()A．2 B．4 C．5 D．10 {答案}B{解析}本題考查了垂線的性質、正切、勾股定理，過點D作DF⊥AB于點F，由同角的余角相等得：∠BDF＝∠A，所以tan∠BDF＝tan∠A＝2即，∴即DF＝BD，∴CD＋BD＝CD＋DF，由“垂線段最短”可知：當C、D、F三點共線且CF⊥AB時，CD＋DF值最小，最小值即為CF的長度．此時，設AF＝x，則CF＝2x，又因為AC＝10，所以由勾股定理得x2＋4x2＝100，解得x＝2，所以CF＝4．{分值}3{章節:[1-28-3]銳角三角函數}{考點:垂線的性質}{考點:勾股定理}{考點:正切}{考點:幾何選擇壓軸}{類別:常考題}{難度:4-較高難度}{題型:2-填空題}二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，合計18分．{題目}13．(2022年長沙T13)式子在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是．{答案}x≥5{解析}本題考查了二次根式有意義的條件，由二次根式有意義的條件可知：x－5≥0即x≥5．{分值}3{章節:[1-16-1]二次根式}{考點:二次根式的有意義的條件}{類別:常考題}{難度:1-最簡單}{題目}14．(2022年長沙T14)分解因式：am2－9a＝．{答案}a(m－3)(m＋3){解析}本題考查了提公因式法因式分解和平方差因式分解，對一個多項式因式分解時，先觀察式子特點，如果有公因式先提取公因式后利用公式進行因式分解，特別要注意：因式分解一定要徹底，分解到每一個多項式都不能再分解為止．{分值}3{章節:[1-14-3]因式分解}{考點:因式分解－提公因式法}{考點:因式分解－平方差}{類別:常考題}{難度:1-最簡單}{題目}15．(2022年長沙T15)不等式組的解集是．{答案}﹣1≤x＜2{解析}本題考查了一元一次不等式組的解法，先分別解每一個不等式，再取每個不等式解集的公共部分．不等式組解集的確定方法：①借助數軸；②利用口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間取，大大小小無解集”．解不等式x＋1≥0得x≥﹣1，解不等式3x－6＜0得x＜2，所以不等式組的解集為﹣1≤x＜2．{分值}3{章節:[1-9-3]一元一次不等式組}{考點:解一元一次不等式組}{類別:常考題}{難度:2-簡單}{題目}16．(2022年長沙T16)在一個不透明的袋子中有若干個小球，這些球除顏色外無其他差別，從袋中隨機摸出一球，記下其顏色，這稱為一次摸球試驗，然后把它重新放回袋中并搖勻，不斷重復上述過程．以下是利用計算機模擬的摸球試驗統計表：摸球試驗次數100100050001000050000100000“摸出黑球”的次數36387202240091997040008“摸出黑球”的頻率(結果保留小數點后三位)根據試驗所得數據，估計“摸出黑球”的概率是．(結果保留小數點后一位){答案}{解析}本題考查了用頻率估計概率，當大量重復做某一試驗時，某一事件發生的頻率就會在某一數值附近擺動，這個數值就是概率．大量重復試驗時，可以用頻率估計概率．{分值}3{章節:[1-25-3]用頻率估計概率}{考點:利用頻率估計概率}{類別:常考題}{難度:2-簡單}{題目}17．(2022年長沙T17)如圖，要測量池塘兩岸相對的A，B兩點間的距離，可以在池塘外選一點C，連接AC，BC，分別取AC，BC的中點D，E，測得DE＝50m，則AB的長是m．{答案}100{解析}本題考查了三角形中位線的性質，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，所以AB＝2DE＝100(m)．{分值}3{章節:[1-27-1-2]相似三角形的性質}{考點:三角形中位線}{類別:常考題}{難度:2-簡單}{題目}18．(2022年長沙T18)如圖，函數y＝(k為常數，k>0)的圖象與過原點的O的直線相交于A，B兩點，點M是第一象限內雙曲線上的動點(點M在點A的左側)，直線AM分別交x軸，y軸于C，D兩點，連接BM分別交x軸，y軸于點E，F．現有以下四個結論：①△ODM與△OCA的面積相等；②若BM⊥AM于點M，則∠MBA＝30°；③若M點的橫坐標為1，△OAM是等邊三角形，則k＝2＋；④若MF＝MB，則MD＝2MA．其中正確的結論的序號是(只填序號){答案}①③④{解析}本題考查了，，因此本題選．{分值}3{章節:[1-26-1]反比例函數的圖像和性質}{考點:反比例函數與一次函數的綜合}{考點:代數填空壓軸}{類別:常考題}{難度:5-高難度}{題型:4-解答題}三、解答題：本大題共8個小題，合計66分．{題目}19．(2022年長沙T19)計算：{解析}本題考查了絕對值的意義、負指數的定義、二次根式的除法、特殊角的三角函數值．{答案}解：原式＝＋2－－1＝1{分值}6{章節:[1-28-3]銳角三角函數}{難度:2-簡單}{類別:常考題}{考點:絕對值的意義}{考點:負指數的定義}{考點:二次根式的除法法則}{考點:特殊角的三角函數值}{題目}20．(2022年長沙T20)先化簡，再求值：，其中a＝3．{解析}本題考查了分式的混合運算，按照運算順序依次計算，若有括號時，先算括號里的．{答案}解：原式＝＝，當a＝3時，原式＝＝．{分值}6{章節:[1-15-2-2]分式的加減}{難度:3-中等難度}{類別:易錯題}{考點:因式分解－提公因式法}{考點:因式分解－完全平方式}{考點:約分}{考點:通分}{考點:兩個分式的加減}{考點:分式的混合運算}{題目}21．(2022年長沙T21)某學校開展了主題為“垃圾分類，綠色生活新時尚”的宣傳活動．為了解學生對垃圾分類知識的掌握情況，該校環保社團成員在校園內隨機抽取了部分學生進行問卷調查，將他們的得分按優秀、良好、合格、待合格四個等級進行統計，并繪制了如下不完整的統計表和條形統計圖．等級頻數頻率優秀2142%良好m40%合格6n%待合格36%根據以上信息，解答下列問題：(1)本次調查隨機抽取了名學生，表中m＝，n＝；(2)補全條形統計圖；(3)若全校有2000名學生，請你估計該校掌握垃圾分類知識達到“優秀”和“良好”等級的學生共有多少人．{解析}本題考查了．{答案}解：(1)50；20；12；(2)(3)2000×(42%＋40%)＝1640(人)，答：該校掌握垃圾分類知識達到“優秀”和“良好”等級的學生共有1640人．{分值}8{章節:[1-10-1]統計調查}{難度:2-簡單}{類別:常考題}{考點:頻數與頻率}{考點:統計表}{考點:條形統計圖}{考點:用樣本估計總體}{題目}22．(2022年長沙T22)如圖，正方形ABCD，點E，F分別在邊AD，CD上，且DE＝CF，AF與BE相交于點G．(1)求證：BE＝AF；(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的長．{解析}本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定SAS、勾股定理、相似三角形的判定(兩角相等)、相似三角形的性質．證明兩條線段相等的問題，通常考慮這兩條線段所在的三角形全等；求線段長度的問題，通常考慮由“相似(或勾股定理、銳角三角函數)”建立方程解之，體現了方程思想．{答案}解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，DE＝CF，∴AB＝AD＝CD，∠BAE＝∠ADF＝90°，AE＝DF，在△ABE和△DAF中，AB＝AD，∠BAE＝∠ADF，AE＝DF，∴△ABE≌△DAF，∴BE＝AF．(2)∵AB＝4，DE＝1，∴AE＝3，在Rt△BAE中，由勾股定理得：BE＝5，∵△ABE≌△DAF，∴∠EAG＝∠EBA，∵∠BAE＝90°，∴∠EBA＋∠AEB＝90°，∴∠EAG＋∠AEB＝90°，即∠AGE＝90°，在△ABE和△GAE中，∠BAE＝∠AGE＝90°，∠BEA＝∠AEG，∴△ABE∽△GAE，∴即，∴AG＝．{分值}{章節:[1-18-2-3]正方形}{難度:3-中等難度}{類別:思想方法}{類別:常考題}{考點:正方形的性質}{考點:全等三角形的判定SAS}{考點:勾股定理}{考點:相似三角形的判定(兩角相等)}{考點:相似三角形的性質}{題目}23．(2022年長沙T23)近日，長沙市教育局出臺《長沙市中小學教師志愿輔導工作實施意見》，鼓勵教師與志愿輔導，某區率先示范，推出名師公益大課堂，為學生提供線上線下免費輔導，據統計，第一批公益課受益學生2萬人次，第三批公益課受益學生2．42萬人次．1)如果第二批，第三批公益課受益學生人次的增長率相同，求這個增長率；2)按照這個增長率，預計第四批公益課受益學生將達到多少萬人次？{解析}本題考查了一元二次方程的實際應用——增長率，增長率問題只要通過審題弄清楚基礎量a，最終量b，變化次數，套公式a(1＋x)n＝b即可解決．{答案}解：(1)設增長率為x由題意得：2(1＋x)2＝解得：x1＝＝10%，x2＝﹣(舍)答：增長率為10%(2)×(1＋10%)＝(萬人)答：按照這個增長率，預計第四批公益課受益學生將達到萬人次{分值}{章節:[1-21-4]實際問題與一元二次方程}{難度:3-中等難度}{類別:常考題}}{考點:一元二次方程的應用—增長率問題}{題目}24．(2022年長沙T24)根據相似多邊形的定義，我們把四個角分別相等，四條邊成比例的兩個凸四邊形叫做相似四邊形.相似四邊形對應邊的比叫做相似比．(1)某同學在探究相似四邊形的判定時，得到如下三個命題，請判斷它們是否正確(直接在橫線上填寫“真”或“假”)．①四條邊成比例的兩個凸四邊形相似；(命題)②三個角分別相等的兩個凸四邊形相似；(命題)③兩個大小不同的正方形相似．(命題)(2)如圖1，在四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，．求證：四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似．(3)如圖2，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC與BD相交于點O，過點O作EF∥AB分別交AD，BC于點E，F．記四邊形ABFE的面積為S1，四邊形EFCD的面積為S2，若四邊形ABFE與四邊形EFCD相似，求的值．{解析}本題考查了命題真假的判斷、相似三角形的判定(兩邊夾角)、相似三角形的性質、平行線分線段成比例．判斷兩個四邊形是否相似，緊扣定義，分別證明四個角都相等，四條邊都成比例．{答案}解：(1)假；假；真；(2)如圖，分別連接BD、B1D1，∵∠BCD＝∠B1C1D1，，∴△BCD∽△B1C1D1，∴∠CBD＝∠C1B1D1，∠CDB＝∠C1D1B1，，又∵∠ABC＝∠A1B1C1，∴∠ABD＝∠A1B1D1，，∴，∠ADB＝∠A1D1B1，∠DAB＝∠D1A1B1，∴，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，∠ADC＝∠A1D1C1，∠DAB＝∠D1A1B1，∴四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似．(3)∵四邊形ABFE與四邊形EFCD相似，∴，∵EF＝OE＋OF，∴，∵EF∥AB∥CD，∴，，∴，∴，∵AD＝DE＋AE，∴，∴2AE＝DE＋AE，即AE＝DE，∴{分值}{章節:[1-27-3]圖形的相似}{難度:4-較高難度}{類別:易錯題}{類別:新定義}{考點:平行線分線段成比例}{考點:相似三角形的判定(兩邊夾角)}{考點:相似三角形的性質}{考點:相似三角形的應用}{考點:相似多邊形的性質}{題目}25．(2022年長沙T25)已知拋物線y＝﹣2x2＋(b－2)x＋(c－2022)(b，c為常數)．(1)若拋物線的頂點坐標為(1，1)，求b，c的值；(2)若拋物線上始終存在不重合的兩點關于原點對稱，求c的取值范圍；(3)在(1)的條件下，存在正實數m，n(m<n)，當m≤x≤n時，恰好有，求m，n的值．{解析}本題考查了拋物線與一元二次方程的關系、解一元二次方程．{答案}解：(1)由題可設：y＝﹣2(x－1)2＋1去括號得：y＝﹣2x2＋4x－1∴，解得(2)設拋物線上關于原點對稱且不重合的兩點坐標分別為(x0，y0)，(﹣x0，﹣y0)，代入解析式可得：，∴兩式相加可得：﹣4x02＋2(c－2022)＝0，∴c＝2x02＋2022，∴c≥2022(3)由(1)可知拋物線y＝﹣2x2＋4x－1＝﹣2(x－1)2＋1，∴y≤1，∵0＜m＜n，當m≤x≤n時，恰好有，∴，∴即m≥1，∴1≤m≤n，∵拋物線對稱軸x＝1，開口向下，∴當m≤x≤n時，y隨x增大而減小，∴當x＝m時，ymax＝﹣2m2＋4m－1，當x＝n時，ymax＝﹣2n2＋4n－1，又∵∴，將①整理得：2n3－4n2