2.5.2

橢圓的幾何性質(zhì)核心素養(yǎng)

1.掌握橢圓的幾何性質(zhì),掌握a,b,c,e的幾何意義及a,b,c,e之間的相互關(guān)系.(直觀想象)2.嘗試?yán)脵E圓的方程研究橢圓的幾何性質(zhì).(直觀想象)3.嘗試?yán)脵E圓的知識解決簡單的實(shí)際問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)思維脈絡(luò)激趣誘思知識點(diǎn)撥根據(jù)開普勒三大定律,地球圍繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道是一個橢圓,太陽處在這個橢圓的一個焦點(diǎn)上.在橢圓軌道上有一個近日點(diǎn)和一個遠(yuǎn)日點(diǎn),在近日點(diǎn)時距離太陽14710萬千米.在遠(yuǎn)日點(diǎn)時距離太陽15210萬千米.事實(shí)上,很多天體或飛行器的運(yùn)行軌道都是橢圓.如神舟九號飛船,于2012年6月16日搭載3名航天員發(fā)射升空,之后進(jìn)入近地點(diǎn)高度200千米.遠(yuǎn)地點(diǎn)高度329.8千米的橢圓形軌道,然后進(jìn)行了5次變軌,兩天后與天宮一號交會對接成功,這是中國實(shí)施的首次載人空間交會對接.激趣誘思知識點(diǎn)撥橢圓的幾何性質(zhì)

激趣誘思知識點(diǎn)撥焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上范圍-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長長軸長為2a,短軸長為2b焦點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距2c對稱性對稱軸:x軸、y軸,對稱中心:坐標(biāo)原點(diǎn)離心率激趣誘思知識點(diǎn)撥微練習(xí)

答案:C激趣誘思知識點(diǎn)撥微判斷

答案:(1)×

(2)×

(3)√激趣誘思知識點(diǎn)撥微思考離心率對橢圓扁圓程度的影響?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測橢圓的簡單幾何性質(zhì)例1求橢圓m2x2+4m2y2=1(m>0)的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

討論橢圓的幾何性質(zhì)時,一定要將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,標(biāo)準(zhǔn)方程能將參數(shù)的幾何意義凸顯出來,另外要抓住橢圓中a2-b2=c2這一核心關(guān)系式.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測長、短軸長分別相等,且橢圓C2的焦點(diǎn)在y軸上.(1)求橢圓C1的半長軸長、半短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率;(2)寫出橢圓C2的方程,并研究其性質(zhì).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測由幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)在x軸上的一個焦點(diǎn)與短軸兩個端點(diǎn)的連線互相垂直,且焦距為6.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

此類問題應(yīng)由所給的幾何性質(zhì)充分找出a,b,c所滿足的關(guān)系式,進(jìn)而求出a,b.在求解時,需注意橢圓的焦點(diǎn)位置,其次要注意平面幾何知識的應(yīng)用,將數(shù)形結(jié)合思想更多地滲透進(jìn)去.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2分別求出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)短軸的一個端點(diǎn)到一個焦點(diǎn)的距離為5,焦點(diǎn)到橢圓中心的距離為3;(2)離心率為,經(jīng)過點(diǎn)(2,0).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測橢圓的離心率問題例3橢圓(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1,F2,以F1F2為邊作正三角形,若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊,則橢圓的離心率為

.

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

求橢圓離心率的值或取值范圍的常用方法(3)方程法:若a,c的值不可求,則可根據(jù)條件建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式,借助于a2=b2+c2,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程(或不等式),再將方程(或不等式)兩邊同除以a的最高次冪,得到關(guān)于e的方程(或不等式),即可求得e的值(或取值范圍).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測橢圓幾何性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用案例

神舟五號飛船成功完成了第一次載人航天飛行,實(shí)現(xiàn)了中國人民的航天夢想.某段時間飛船在太空中運(yùn)行的軌道是一個橢圓,地心為橢圓的一個焦點(diǎn),如右圖所示.假設(shè)航天員到地球表面的最近距離為d1,最遠(yuǎn)距離為d2,地球的半徑為R,我們想象存在一個鏡像地球,其中心在神舟飛船運(yùn)行軌道的另外一個焦點(diǎn)上,上面發(fā)射某種神秘信號,需要飛行中的航天員中轉(zhuǎn)后地球上的人才能接收到,則傳送神秘信號的最短距離為(

)A.d1+d2+R B.d2-d1+2RC.d2+d1-2R D.d1+d2探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:D反思感悟

將太空中的軌跡與學(xué)過的橢圓建立起對應(yīng)關(guān)系.利用橢圓的幾何性質(zhì)來解決航空航天問題,考查了學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測A.點(diǎn)(-3,-2)不在橢圓上B.點(diǎn)(3,-2)不在橢圓上C.點(diǎn)(-3,2)在橢圓上D.無法判斷點(diǎn)(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在橢圓上解析:由橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸,以原點(diǎn)為對稱中心可知,點(diǎn)(-3,2)在橢圓上,故選C.答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.設(shè)AB是橢圓(a>b>0)的長軸,若把線段AB分為100等份,過每個分點(diǎn)作AB的垂線,分別交橢圓的上半部分于點(diǎn)P1,P2,…,P99,F1為橢圓的左焦點(diǎn),則|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是(

)A.98a B.99a C.100a D.101a解析:由橢圓的定義及其對稱性可知|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a,|F1P50|=a,故結(jié)果應(yīng)為50×2a+|F1P50|=101a.答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.若橢圓的兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成一個正三角形,則該橢圓的離心率為(

)解析:不妨設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,B為橢圓的上頂點(diǎn).依題意可知,△BF1F2是正三角形.∵在Rt△OBF2中,|OF2|=c,|BF2|=a,∠OF2B=60°,答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.萬眾矚目的北京冬奧會將于2022年2月4日正式開幕,繼2008年北京奧運(yùn)會之后,國家體育場(又名