第2課時離散型隨機變量的方差1.離散型隨機變量的方差、標準差(1)定義:如果離散型隨機變量X的分布列如表所示必備知識·素養奠基Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn因為X的均值為E(X),所以D(X)=____________________________________=_________________稱為離散型隨機變量X的方差,一般地,稱為離散型隨機變量X的標準差.(2)意義:離散型隨機變量的方差和標準差都刻畫離散型隨機變量相對于均值的_________(或_________).(3)性質:D(aX+b)=______.離散程度波動大小a2D(X)【思考】離散型隨機變量的方差和樣本方差之間有何關系?提示:(1)離散型隨機變量的方差即為總體的方差,它是一個常數,不隨樣本的變化而變化;(2)樣本方差則是隨機變量,它是隨樣本不同而變化的.2.兩點分布與二項分布的方差XX服從兩點分布X～B(n,p)D(X)_______(其中p為成功概率)________p(1-p)np(1-p)【基礎小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)離散型隨機變量的方差越大,隨機變量越穩定.()(2)離散型隨機變量的方差與標準差的單位是相同的.()(3)若a是常數,則D(a)=0.()提示:(1)×.離散型隨機變量的方差越小,隨機變量越穩定.(2)×.單位不同,方差的單位是隨機變量單位的平方;標準差與隨機變量本身有相同的單位.(3)√.離散型隨機變量的方差刻畫離散型隨機變量相對于均值的波動大小.2.已知X的分布列為X-101P0.50.30.2則D(X)等于 ()【解析】選B.E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,D(X)=0.5×(-1+0.3)2+0.3×(0+0.3)2+0.2×(1+0.3)2=0.61.3.已知隨機變量X,D(X)=,則X的標準差為________.

【解析】X的標準差答案:

關鍵能力·素養形成類型一隨機變量的方差及其性質【典例】已知X的分布列如表:(1)計算X的方差;(2)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.【思維·引】利用分布列的性質求出a值,再利用方差公式及性質求解.【解析】由分布列的性質,知++a=1,故a=.所以X的均值E(X)=(-1)×+0×+1×=-.(1)X的方差D(X)=(2)因為Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.【內化·悟】本例(2)計算隨機變量Y的均值與方差時,除了應用均值與方差的性質公式外,還有其他方法嗎?提示:有,還可以根據隨機變量X的分布列,求出隨機變量Y的分布列,再利用均值與方差公式求解.【類題·通】方差性質應用的關注點(1)公式:D(aX+b)=a2D(X);(2)優勢:既避免了求隨機變量Y=aX+b的分布列,又避免了涉及大數的計算,從而簡化了計算過程.【習練·破】已知隨機變量X的分布列為:若E(X)=.(1)求D(X)的值;(2)若Y=3X-2,求的值.【解析】由分布列的性質,得+p=1,解得p=,因為E(X)=0×+1×+x=,所以x=2.(1)D(X)=(2)因為Y=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5,所以【加練·固】已知η的分布列為(1)求方差及標準差;(2)設Y=2η-E(η),求D(Y).【解析】(1)因為E(η)=0×+10×+20×+50×+60×=16,所以D(η)=(0-16)2×+(10-16)2×+(20-16)2×+(50-16)2×+(60-16)2×=384,所以(2)因為Y=2η-E(η),所以D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4×384=1536.類型二求實際問題中隨機變量的方差角度1定義法求方差【典例】從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽,設隨機變量X表示所選3人中女生的人數,求X的方差.【思維·引】先列出隨機變量X的分布列,再用定義求出方差即可.【解析】由題意,X的可能取值為0,1,2,的分布列為:所以X的均值為E(X)=0×+1×+2×=1.所以X的方差為D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.【素養·探】★本例考查求隨機變量的方差,同時考查數學建模與數學運算的核心素養.本例條件不變,若設隨機變量Y表示所選3人中男生的人數,求Y的方差.【解析】由題意知,Y的可能取值為1,2,3,P(Y=k)=,k=1,2,3,Y的分布列為:所以Y的均值為:E(Y)=1×+2×+3×=2.所以Y的方差為:D(Y)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=.角度2兩點分布與二項分布的方差【典例】1.某運動員投籃命中率p=0.8,則該運動員在一次投籃中命中次數X的方差為________.

2.為防止風沙危害,某地政府決定建設防護綠化帶,種植楊樹、沙柳等植物.某人一次種植了n株沙柳,已知各株沙柳成活與否是相互獨立的,成活率為p,設X為成活沙柳的株數,已知E(X)=3,D(X)=,則n=________,p=________.

【思維·引】根據題意,確定分布類型,再利用公式求解.【解析】1.依題意知:X服從兩點分布,所以D(X)=0.8×(1-0.8)=0.16.答案:2.由題意知,X服從二項分布B(n,p),由E(X)=np=3,D(X)=np(1-p)=,得1-p=,所以p=,n=6.答案:6

【類題·通】1.求離散型隨機變量X的方差的步驟(1)理解X的意義,寫出X可能取的全部值;(2)求X取各個值的概率,寫出分布列;(3)根據分布列,由期望的定義求出E(X);(4)根據公式計算方差.2.如果能判斷隨機變量服從什么分布,則直接代入相應的公式求解方差.【習練·破】一出租車司機從某飯店到火車站途中有6個交通崗,假設他在各交通崗遇到紅燈這一事件是相互獨立的,并且概率是.(1)求這位司機遇到紅燈數X的期望與方差;(2)若遇上紅燈,則需等待30秒,求司機總共等待時間Y的期望與方差.【解析】(1)易知司機遇上紅燈次數X服從二項分布,且X～B,所以E(X)=6×=2,D(X)=6×(2)由已知得Y=30X,所以E(Y)=30E(X)=60,D(Y)=900D(X)=1200.【加練·固】某廠一批產品的合格率是98%.(1)計算從中抽取一件產品為正品的數量的方差;(2)從中有放回地隨機抽取10件產品,計算抽出的10件產品中正品數的方差及標準差.【解析】(1)用ξ表示抽得的正品數,則ξ=0,1.ξ服從兩點分布,且P(ξ=0)=0.02,P(ξ=1)=0.98,所以D(ξ)=p(1-p)=0.98×(1-0.98)=0.0196.(2)用X表示抽得的正品數,則X～B(10,0.98),所以D(X)=10×0.98×0.02=0.196,標準差為≈0.44.類型三方差的實際應用問題【典例】以往的統計資料表明,甲、乙兩運動員在比賽中的得分情況為:X1(甲得分)012P(X1=xi)0.20.50.3X2(乙得分)012P(X2=xi)0.30.30.4欲從甲、乙兩運動員中選一人參加2021年東京夏季奧運會,你認為選派哪位運動員參加較好?【思維·引】可以先比較兩運動員的平均得分(即均值),再比較兩運動員的穩定性,即方差,由此決定派誰.【解析】由題意,E(X1)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1,E(X2)=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1.所以E(X1)=E(X2).D(X1)=(0-1.1)2×0.2+(1-1.1)2×0.5+(2-1.1)2×0.3=0.49,D(X2)=(0-1.1)2×0.3+(1-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.4=0.69,所以D(X1)<D(X2),所以甲運動員的技術好一些,應選派甲參加.【內化·悟】解答方差的實際應用問題時常采用比較的方法,是對哪些量進行比較的?提示:比較兩個隨機變量的均值和方差.【類題·通】利用均值和方差的意義分析解決實際問題的步驟(1)比較均值.離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平,因此,在實際決策問題中,需先計算均值,看一下誰的平均水平高.(2)在均值相等的情況下計算方差.方差反映了離散型隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度.通過計算方差,分析一下誰的水平發揮相對穩定.(3)下結論.依據方差的意義做出結論.【習練·破】有甲、乙兩個建材廠,都想投標參加某重點建設項目,為了對重點建設項目負責,政府到兩建材廠抽樣檢查,他們從中各取等量的樣本檢查它們的抗拉強度指數如表:ξ110120125130135P0.10.20.40.10.2η100115125130145P0.10.20.40.10.2其中ξ和η分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強度,比較甲、乙兩廠材料哪一種穩定性好.【解析】E(ξ)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,E(η)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,D(ξ)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50,D(η)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165,由于E(ξ)=E(η),D(ξ)<D(η),故甲廠的材料穩定性較好.課堂檢測·素養達標1.已知隨機變量X的分布列為P(X=k)=,k=3,6,9,則D(X)等于 ()【解析】選A.E(X)=3×+6×+9×=6.D(X)=(3-6)2×+(6-6)2×+(9-6)2×=6.2.設一隨機試驗的結果只有A和且P(A)=m,令隨機變量ξ=則ξ的方差D(ξ)等于 () B.2m(1-m)C.m(m-1) D.m(1-m)【解析】選D.隨機變量ξ服從兩點分布,所以D(ξ)=m(1-m).3.有甲、乙兩種水稻,測得每種水稻各10株的分蘗數據,計算出樣本均值E(X甲)=E(X乙),方差分別為D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估計 ()A.甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B.乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較【解析】選B.因為D(X甲)>D(X乙),所以乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊.4.設隨機變量X～B,則D(X)=________.

【解析】因為X～B,所以D(X)=4×答案:

【新情境·新思維】設10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105,隨機變量ξ1取值x1,x2,x3,x4,x5的