專題1.28《特殊平行四邊形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（鞏固篇）

（專項(xiàng)練習(xí)）

一、單選題

1.在一組對(duì)邊平行的四邊形中，增加一個(gè)條件，使得這個(gè)四邊形是菱形，那么增加的

條件可以是（）

A.另一組對(duì)邊相等，對(duì)角線相等B.另一組對(duì)邊相等，對(duì)角線互相垂直

C.另一組對(duì)邊平行，對(duì)角線相等D.另一組對(duì)邊平行，對(duì)角線相互垂直

2.若菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8,則它的周長(zhǎng)為（）

A.14B.16C.20D.24

3.如圖，菱形A8CD中，AC=6,BD=8,則CH=（）

A.24B.10C.—D.—

55

4.如圖，在菱形A3CO中，ZB=60°,E是的中點(diǎn)，連接AE,DE,與AC交

于點(diǎn)G、以O(shè)E為邊作等邊三角形。EF,連接A尸交DE于點(diǎn)N,交。C于點(diǎn)下列結(jié)論：

@DE=—AB^②/E4N=45。；③AE=2拒CM;④點(diǎn)”為A尸的中點(diǎn).其中結(jié)論正確的

2

序號(hào)有（）

A.①?@B.①②④C.②③④D.①?@

5.如圖，在矩形A8CO中，對(duì)角線AC,BO相交于點(diǎn)O,BC=2AB=8,點(diǎn)P是8c上

一點(diǎn)，PEL4c于點(diǎn)E,于點(diǎn)F,若m=PE+PF,則，”的值為（).

AD

B.子4/D,巡

~5~5

6.如圖，點(diǎn)E,F,G,H分別為四邊形ABC。的邊AB,BC,CD,QA的中點(diǎn).下列

三種說(shuō)法:

①.四邊形EFGH一定是平行四邊形；

②.若AC=B￡>,則四邊形EFG”是菱形；

③.若ACJ_BO,則四邊形EFGH是矩形.

其中正確的是（）

A.①B.①②C.①③D.①②③

7.如圖，菱形A3。的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)0,點(diǎn)尸為A8邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,

B重合），/石，。4于點(diǎn)￡「尸_1_03于點(diǎn)尸.若47=20,80=10,則EF的最小值為（）

A.2A/2B.273C.4D.2#）

8.如圖，點(diǎn)。是菱形A8C￡>對(duì)角線的交點(diǎn)，DE//AC,CE//BD,連接0E,設(shè)AC=

12,80=16,則0E的長(zhǎng)為（）

9.如圖，在正方形ABC。中，AB=4,E為對(duì)角線AC上與A,C不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)E作與點(diǎn)F,EGLBC與點(diǎn)、G,連接DE,FG,下列結(jié)論:①DE=FG，②DELFG,

③④尸G的最小值為3,其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

10.如圖，正方形A8CD的頂點(diǎn)A,。的坐標(biāo)分別是（2,0）,(0,1),則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是

)

A.(-3,2)B.(3,-2)C.(3,2)D.(2,3)

11.如圖，四邊形A8CE>,A￡FG都是正方形，點(diǎn)E,G分別在邊AB,上，連接FC,

過(guò)點(diǎn)E作E”〃尸C交BC于點(diǎn)H.若AB=4,AE=\,則FC的長(zhǎng)為（)

C.3D.34

12.我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為6的正

方形ABCD的邊AB在X軸上，的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)0,固定點(diǎn)AB,把正方形沿箭頭方

向推，使點(diǎn)。落在y軸正半軸上點(diǎn)”處，則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（）

A.（3>/3,3）B.（3,373）C.（6,3月）D.（6,3）

二、填空題

4

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，一次函數(shù)y=-§x+4的圖像與x軸、y軸分別交

于點(diǎn)A、B,以AB為邊作菱形ABC。，8C〃x軸，則菱形ABCC的周長(zhǎng)是.

14.如圖，在菱形ABCO中，M,N分別在A8,上，且AM=CN,MN與AC交

于點(diǎn)。，連接B0.若如C=35。，則NOBC的大小為度.

15.如圖，菱形ABCQ中，對(duì)角線AC=6,BD=8,M,N分別是BC,CO上的動(dòng)點(diǎn),

尸是線段BO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA/+PN的最小值是.

16.如圖，A。是△ABC的高，在4B上取一點(diǎn)E,在AC上取一點(diǎn)F,將△ABC沿過(guò)E、

產(chǎn)的直線折疊，使點(diǎn)4與點(diǎn)。重合，給出以下判斷：①E尸是△ABC的中位線；②ADE尸的

周長(zhǎng)等于△ABC周長(zhǎng)的一半；③若AB=AC,則四邊形AEDF是菱形；④若NBAC是直角，

則四邊形AEDF是矩形；其中正確的是.

17.如圖a,A8C。是長(zhǎng)方形紙帶（A￡>〃BC）,ZDEF=20。，將紙帶沿EF折疊成圖6,

再沿B尸折疊成圖c,則圖c中的NCFE的度數(shù)是.

18.如圖，在矩形ABC。中，連接AC,以點(diǎn)A為圓心，小于A3

的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交A。，AC于點(diǎn)E,F,分別以點(diǎn)E,尸為圓心，大于;E尸的長(zhǎng)

為半徑畫(huà)弧，兩弧在ND4C內(nèi)交于點(diǎn)G,作射線4G,交。C于點(diǎn)H.若A￡>=6,AB=8,

則△A”C的面積為

19.如圖，連接四邊形A8CD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFG”,還要添加一個(gè)條件

A8=6,8C=10,點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，將AABK沿8E折疊后

△ADE沿AE

對(duì)折至△AFE,延長(zhǎng)E尸交邊BC于點(diǎn)G,連接AG、CF,則下列結(jié)論：①AAfiG2"FG；

②N4GB+ZAE￡)=135。③G尸=3；④AGHCF；其中正確的有.（填序號(hào)）.

22.如圖，直線L經(jīng)過(guò)正方形A6co的頂點(diǎn)A,分別過(guò)點(diǎn)8、。作。EJL/于點(diǎn)E,

BFLI于點(diǎn)、F,若￡>E=4,BF=5,則EF的長(zhǎng)為

23.如圖，在四邊形A8C￡>中，AC_L8。，點(diǎn)、E,F,G,，分別是AB,BC,CD,

D4的中點(diǎn)，若AC=6,80=8,則四邊形EEG”的面積是

24.如圖，點(diǎn)E是正方形A8C。邊8c上一點(diǎn)，連接4E,將△48E繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)到△AFG的位置（點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi)部），連接0G.若4B=10,BE=6,DG//AF,

則CH=—.

三、解答題

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABC0是菱形，點(diǎn)A的坐標(biāo)

為（-3,4）,點(diǎn)C在x軸的正半軸上，直線AC交）軸于點(diǎn)M,A8邊交）軸于點(diǎn)“，連接

(1)填空：菱形ABC。的邊長(zhǎng)=；

(2)求直線AC的解析式；

(3)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A-3-C方向以3個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),

設(shè)MMB的面積為S(SH0),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，

①當(dāng)0<f<g時(shí)，求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

②在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)S=2,請(qǐng)直接寫(xiě)出/的值.

26.如圖，在矩形A5CO中，AB=8,8C=20,點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，

點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)都停止.連接PQ、AQ、CP,設(shè)

點(diǎn)尸、。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，秒.

(1)若「、。的速度都為每秒1個(gè)單位.當(dāng)，=時(shí)，四邊形4QCP為菱形;

(2)若尸的速度為每秒3個(gè)單位，。的速度為每秒1個(gè)單位.

①當(dāng)崢時(shí)，四邊形ABQP是矩形；

②當(dāng)，為何值時(shí)，線段PQ長(zhǎng)為12,請(qǐng)說(shuō)明理由.

27.綜合與實(shí)踐

如圖1,正方形ABCO的對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)O,NMON=9()。，兩邊分別與A8,

8c交于點(diǎn)E,F.

(1)OE與。尸的數(shù)量關(guān)系為；(直接寫(xiě)出答案)

(2)如圖2,點(diǎn)。是正方形對(duì)角線8。上一點(diǎn)，ZMON=90°,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,ON交BC干

點(diǎn)E,連接OC.猜想線段0C與OE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)如圖3,在圖2的基礎(chǔ)上，連接4E,點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，分別連接OG,BG.判斷

△8OG的形狀，并說(shuō)明理由.

28.閱讀下列材料并完成相應(yīng)的任務(wù)

等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法.它是利用“同一個(gè)圖形的面積相等"、”分

割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相

等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題.在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問(wèn)題，可以使解題思

路清晰，解題過(guò)程簡(jiǎn)便快捷.

如圖，矩形A8CD的邊A8上有一動(dòng)點(diǎn)E,以EC為邊作dt/G,且邊尸G過(guò)矩形的頂

點(diǎn)。，在點(diǎn)E從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)8的過(guò)程中，oECPG的面積如何變化？

小亮的觀點(diǎn):過(guò)點(diǎn)。作DH1CE于點(diǎn)H,連接DE.CE與DH的乘積始終等于CDAD,

所以奴尸G的面積不變.

小明的觀點(diǎn)：在點(diǎn)￡的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，CE的長(zhǎng)度在變化，而CE與FG兩條平行線間的距

離不變，所以oECFG的面積變化.

任務(wù)：你認(rèn)為小亮和小明誰(shuí)的觀點(diǎn)正確？正確的寫(xiě)出完整的證明過(guò)程.

參考答案

1.D

【分析】

根據(jù)菱形的判定、矩形的判定、等腰梯形的判定逐項(xiàng)判斷即可得.

解：A.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，對(duì)角線相等的四邊形可以是等腰梯形，則此

項(xiàng)不符題意；

B.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，對(duì)角線互相垂直的四邊形可以是等腰梯形，

則此項(xiàng)不符題意；

C.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊平行，時(shí)角線相等的四邊形可以是矩形，不一定是

菱形，則此項(xiàng)不符題意；

D.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊平行，對(duì)角線相互垂直的四邊形是菱形，則此項(xiàng)符

合題意；

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的判定、矩形的判定、等腰梯形的判定，熟練掌握菱形的判定

是解題關(guān)鍵.

2.C

【分析】

根據(jù)菱形的對(duì)?角線互相垂直平分的性質(zhì)，利用對(duì)角線的一半，根據(jù)勾股定理求出菱形的

邊長(zhǎng)，再根據(jù)菱形的四條邊相等求出周長(zhǎng)即可.

解：如下圖所示，

根據(jù)題意得A0=gx8=4,3O=gx6=3,

???四邊形A8CD是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,ACLBD,

...△AOB是直角三角形，

AB=y/AO2+BOr=742+32=5，

二菱形的周長(zhǎng)為：5x4=20,

故選：C.

【點(diǎn)撥】

本題考查「菱形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出菱形的邊長(zhǎng)，同時(shí)

也要熟練掌握菱形的性質(zhì)：①菱形的四條邊都相等；②菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每

一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

3.D

【分析】

利用菱形的性質(zhì)先求解菱形的邊長(zhǎng)，再利用等面積法求解A"，再利用勾股定理可得答

案.

解：如圖，AC,8。交于點(diǎn)0,

菱形AC=6,80=8,

\OA=OC=3,OB=OD=A,AB=BC=CD=AD,

\BC=^OB'+OC2=5,

QAHLBC,

由；ACg/iD=BC舂H可得:

、c小而B(niǎo)寸2一贛=T

故選D

【點(diǎn)撥】本題考查的是菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練的運(yùn)用菱形的對(duì)角線互相垂

直平分是解本題的關(guān)鍵.

4.D

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)即可判定①；證明△DAETz^DCF,故可判斷②;

連接CF,過(guò)點(diǎn)A作A4LOC于點(diǎn)“，證明AAMH絲△FMC,故可判斷③④.

解：,??四邊形A8CD是菱形，

：.AB=AD=BC,

XVZB=60°,

.?.△ABC是等邊三角形,

點(diǎn)是8c中點(diǎn)，

：.AE±BC,AB=2BE,

：.AE2=AB2-BE2=AB2-2=-AB2,

24

DE=y/AE2+AD2=J-AB2+AB2=—AB.

V42

故①錯(cuò)誤；

?四邊形A8C。是菱形，Z5=60°,AB=BC,

.'.△ABC、△ACO是等邊三角形，AD//BC,/8AE=NCAE=30。,

設(shè)BE=CE=af則AB=BC=AC=2a,

?ME二yjAB2-BE2=y/3a，

VADEF.△ACO是等邊三角形，

：.AD=CD9ED=FE,ZADC=ZEDF=60°f

:./ADC-/EDC=/EDF-/EDC,

:.AADE-ACDF,

又AD=CD,ED=FD,

/.△DAE^ADCF(SAS),

???AE=CF,ZDAE=NDCF=/DAC+ZC4E=60°+30o=90°,

ZDCF=90°,

/.ZACF=ZACD+ZDCF=150°,

■:AC處E,AE=CFf

:.NC*CF,

AZCAF^ZCM=15°,

Q

???ZEAN=ZEAC+ZCAF^45f

故②錯(cuò)誤；

連接CR過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)兒

?：AHLCD,AC=ADf

：.ZA/7A/=ZFCM=9O°,CH=DH=a,AH=AE,

VCF=AE,AH=AEf

:?AH=FC,

又NAMH=NFMC,

(AAS),

：.AM=FM,CM=HM,

.?.點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，

故④正確；

AE-yfia<CM--CH=-CE=-a,

222

???AE=2&M,

故③正確；

故選：D.

【點(diǎn)撥】此題主要考查菱形、等邊三角形及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟

知等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理.

5.D

【分析】

連接P0,由矩形的性質(zhì)和勾股定理得求得OB=OC=2后，再由S^BOC=S&B。"+S&COP求

得PE+PF的值即嘰

解：如圖，連接P0,

；8C=2A8=8,

：.AB=4,

:四邊形ABC。是矩形，

.../A8C=90°,S^ABCD=AB-BC=4x8=32,OA=OC,OB=OD,AC=BD,

2222

：.AC=BD=-JAB+BC=A/4+8=4#),S^AOl)=；Sik^ABCD=8,OB=OC=^AC=

2A/5,

"：PELAC,PFLBD,

S^BOC=S&BOR+S^C（）P=；0BPF+；0C?PE=；0B（PE+PF）=；x2&（PE+P尸）=8,

8g亞

:.PB+PF=—=壬,

V55

nn8近

即m------,

5

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)，熟記矩形的性質(zhì)及三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

6.D

【分析】

根據(jù)三角形中位線定理得到E"〃瓦）,GF〃瓦/〃AC,GF=；BD,EF=

^AC,根據(jù)平行四邊形、菱形、矩形的判定定理判斷即可.

解：?.?點(diǎn)E,F,G,H分別為四邊形ABC。的邊AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)，

/.EH//BD,GF//BD,EF//AC,EH=-BD,GF=-BD,EF=-AC,

222

\EH//GF,EH=GF,

???四邊形EbGF是平行四邊形，故①符合題意；

若AC=BD,則EF=EH,

???平行四邊形EHG尸是菱形，故②符合題意；

若AC_L8￡>,則EFJ_E/7,

二平行四邊形尸是矩形，故③符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查的是中點(diǎn)四邊形，掌握三角形中位線定理、平行四邊形、菱形、矩形

的判定定理是解題的關(guān)鍵.

7.D

【分析】

連接0尸，證明四邊形OEPF是矩形，得到：EF=OP,當(dāng)OP_LM時(shí)，0P

的值最小，利用:?OA.OBn?.。尸.A3,求出。尸的最小值即可,

22

解：連接OP,

是菱形，AAC±HD,UPZAOB=90°,

VPEVOA,PFYOB,

二四邊形OEP尸是矩形，

，EF=OP,

當(dāng)OP_LAB時(shí)，OP的值最小，

VAC=20,80=10,

AO=10,OB=5,AB=5^/5?

,?-.OA.OB=-.OP?AB,

22

OP=2y/5,即EF的最小值為：2妍，

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查菱形的性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，勾股定理，等面積法，解題的關(guān)鍵

是證明所=0尸，當(dāng)O尸時(shí)，O尸的值最小，利用等面積法求出。尸的長(zhǎng).

8.C

【分析】

先證明四邊形OCED為平行四邊形，再利用菱形的性質(zhì)證明ZDOC=90。，求解

CD=10,再證明平行四邊形。CEO為矩形，再利用矩形的性質(zhì)可得答案.

解：'：DE//AC,CE//BD,

四邊形OCEO為平行四邊形，

:四邊形ABC。是菱形，AC=\2,BD=\6,

：.ACA.BD,OA=OC=-AC^6,OB=OD=-BD=S,

22

AZD(?C=90°,CD=yjo^+OD2=762+82=10,

二平行四邊形OCEO為矩形，

：.OE=CD=\0,

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查的是菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知

識(shí)是解題的關(guān)鍵.

9.C

【分析】

連接8E交尸G于，，延長(zhǎng)OE交A8于/,交FG于J.根據(jù)正方形的性質(zhì)，全等三角形

的判定定理和性質(zhì)確定BE=OE,根據(jù)正方形的性質(zhì)，矩形的判定定理和性質(zhì)，等量代換思

想即可判斷①符合題意；根據(jù)矩形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，全等三角形的性質(zhì)和等價(jià)代換思想

即可判斷③符合題意；根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余，等量代換思想和三角形內(nèi)角和定理即

可判斷②符合題意；根據(jù)垂線段最短確定當(dāng)DELAC時(shí)，F(xiàn)G取得最小值為OE,根據(jù)正方

形的性質(zhì)和三角形面積公式即可判斷④不符合題意.

解：如下圖所示，連接8E交FG于”，延長(zhǎng)OE交A8于/,交尸G于J.

:四邊形A8CO是正方形，

：.AB=AD,NBAE=NDAE,N尸8G=90°.

ABEFUAAOE的公共邊，

AABE^/XADE(SAS).

：.BE=DE.

'：EFLAB,EGIBC,

四邊形尸8GE是矩形.

：.BE=FG.

：.DE=FG.

故①符合題意.

矩形FBGE的對(duì)角線相交于點(diǎn)H,

：.HF=HB.

：.ZABE=ZBFG.

:AABE以ADE，

，NABE=NADE.

：.ZBFG=ZADE.

故③符合題意.

???四邊形A8co是正方形，

，ZDA/=90°.

，ZA/D+ZADE=90°.

ZAID+ZBFG=90°.

.?./E//=180°-QNAIDMBFG)=90°.

：.DELFG.

故②符合題意.

"：DE=FG,

二當(dāng)DE取得最小值時(shí)，F(xiàn)G取得最小值.

；點(diǎn)E是對(duì)角線AC上與A,C不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

,當(dāng)。ELAC時(shí)，DE取得最小值,即FG取得最小值為￡>￡

:正方形A8C。中，AB=4,

：.AD^CD=AB^4,ZADC=90°.

?,-5AACD=|ADCD=8,AC=Jm+S=40

：.DE=^^=2g.

AC

."G的最小值為20.

故④不符合題意.

故①②③，共3個(gè)符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)撥】

本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理和性質(zhì)，矩形的判定定理和性質(zhì)，等邊

對(duì)等角，直角三角形兩個(gè)銳角互余，三角形內(nèi)角和定理，垂線段最短，綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)

是解題關(guān)鍵.

10.C

【分析】

過(guò)點(diǎn)8作冗軸的垂線交于E,證明以△。4。二心△E8A(A4S),得OD=AE,OA=BE,根

據(jù)A(2,0),￡>(0,l),得出8=AE=1Q=BE=2,即可求解.

:.ZOAD+ZODA=90°,

ZOAD+ZBAE=90°,

:.ZODA=ZBAE9

???DA=AB,ZDOA=ZAEB=90°,

/.Rt^OAD=Rt^EBA(AAS),

OD=AE,OA=BE,

???A(2,0),0(0,1),

.\OD=AE=tOA=BE=2,

:.OE=3,BE=2,

「?5(3,2),

故選：C.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)、圖形于坐標(biāo)，解題

的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì).

11.D

【分析】

求出BE的長(zhǎng)，再根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形求出四邊形EFCH平行

四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得EF=C，，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC,

AE=EF,然后求出即可得解.

解：'：AB=4,AE=\,

：.BE=AB-AE=4-1=3,

?.?四邊形ABC。，4EFG都是正方形，

.,.AD//EF//BC,

又,：EH〃FC,

四邊形EFC”平行四邊形，

：.FC=EH,

???四邊形A8CD,AEFG都是正方形，

：.AB=BC,AE^EF,

：.AB-AE=BC-CH,

；.BE=BH=3.

由勾股定理得：EH=\lBE2+BN2=372.

FC=3>/2

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出四邊形

EPC”平行四邊形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

12.C

【分析】

由已知條件得到A〃=AD=6,AO=gA8=3,根據(jù)勾股定理得到8'=JADH=38，

于是得到結(jié)論.

解：：AZy=AO=6,且A3的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)。，

：.A0=^AB=3,

ob=^AET-OJ^=3后，

'：CD'=6,CD'//AB,

AC（6,373）,

故選：c.

【點(diǎn)撥】

本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)

鍵.

13.20

【分析】

先求出一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A、8的坐標(biāo)，再利用勾股定理或兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)

算出線段的長(zhǎng)，最后利用菱形的性質(zhì)計(jì)算周長(zhǎng)即可.

解：令>=0,得一gx+4=0,解得x=3,A（3,0）,OA=3.

令x=0,得y=4,3（0,4）,08=4.

在RsAOB中，AB=JOT+OB?=^32+42=5.

:四邊形ABCO是菱形，

：.AB=BC=CD=DA.

C箜舷ABCO=4AB=4x5=20.

故答案為：20.

【點(diǎn)撥】本題是一道函數(shù)與幾何的綜合題.重點(diǎn)考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求

法，兩點(diǎn)間的距離公式（或勾股定理），菱形的性質(zhì).如果是使用兩點(diǎn)間距離公式，注意公

式的正確使用：設(shè)點(diǎn)A&,*），8（毛,%），則A、8兩點(diǎn)間的距離為48="川-xj.

14.55

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)以及AA/=CN,利用AS4可得AAMgACNO,可得49=CO,然后

可得5。，AC,繼而可求得NO8C的度數(shù).

解：：四邊形A3CD為菱形，

AB//CD,AB=BC,BC//AD,

：.ZMAO=ZNCO,ZAMO^ZCNO,

在△AMO和ACNO中，

/MAO=NNCO

<AM=CN,

ZAMO=ZCNO

???△AMOGACNO(ASA),

AO=CO,

"：AB=BC,

：.BOIAC,

NBOC=90°,

TND4c=35。，BC//AD

ABCA=ADAC=35°,

ZOBC=90°-35°=55°.

故答案為：55.

【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì).靈活

運(yùn)用菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.—##4.8

5

【分析】

作點(diǎn)M關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)AT，連接M',P,連接AT,N,根據(jù)垂線段最短原理，

當(dāng)，8時(shí)，PM+PN的值最小，根據(jù)菱形的性質(zhì)表示菱形的面枳,然后計(jì)算求解即可.

解：如圖，作點(diǎn)M關(guān)于直線8D的對(duì)稱點(diǎn)AT,連接AT,P,連接MN,

則PM+PN=PM'+PN,

根據(jù)垂線段最短原理，當(dāng)MNLCD時(shí)，PM+PN的值最小，

,??菱形ABCO中，對(duì)角線AC=6,BD=8,對(duì)角線的交點(diǎn)為O,

；.OA=3,。8=4,AOA.OB,

山勾股定理得AB=JaV+OB?=5,

:.CDxMN=>xACxBD,Bp5M?V=-x6x8,

22

24

解得M7V=W，

故答案為：—.

【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱，垂線段最短原理，熟練掌握菱形

的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂線段最短原理是解題的關(guān)鍵.

16.③

【分析】

由折疊的性質(zhì)及垂直的條件可得點(diǎn)E、尸分別是48、AC的中點(diǎn)，從而可判定①正

確；由中位線定理即可判定②正確；由A8=4C及瓜F分別為中點(diǎn)可得AE=AF,由

折疊的性質(zhì)即可判定③正確；當(dāng)A8與4c不相等時(shí)，點(diǎn)。不是8c的中點(diǎn)，則。E與4。不

平行，從而四邊形AEQF不是平行四邊形，故不是矩形，從而可判定④錯(cuò)誤.

解：由折疊性質(zhì)得：AE=DE,且

ZEAD=ZEDA

'：ADLBC

；.NEDA+NEDB=90°,ZEAD+ZB=90°

：.NEDB=NB

：.DE=BE

：.DE=AE

即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)

同理：點(diǎn)廠是AC的中點(diǎn)

二￡廠是4ABC的中位線

故①正確

???EF是AABC的中位線

EF=-BC

2

VAE=-AB,AF=-AC

22

△4EF的周長(zhǎng)為AE+EF+AF=g(AB+8C+AC)

而4ABC的周長(zhǎng)為AB+BC+AC

.?.△AE尸的周長(zhǎng)等于△42C周長(zhǎng)的一半

故②正確v

\'AB=AC,E、尸分別是AB、AC的中點(diǎn)

：.AE=AF

"：AE=DE,AF^DF

:.AE=DE=DF=AF

即四邊形是菱形

故③正確

當(dāng)A8與4c不相等時(shí)，點(diǎn)。不是8c的中點(diǎn)，則QE與AC不平行，從而四邊形

AE。廠不是平行四邊形，故不是矩形

故④錯(cuò)誤

故答案為：①②③

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形中位線定理，菱形的判定，折疊的性質(zhì)等知識(shí)，由題意得到

E、尸分別是中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

17.120°##120?

【分析】

由平行線的性質(zhì)知NOEF=NEF8=20。，進(jìn)而得到圖b中NGFC=140。，依據(jù)圖。中的

NCFE=ZGFC-NEFG進(jìn)行計(jì)算.

解：VAD//BC,

：.NDEF=NEFB=20。,

在圖b中NGFC=180。-2ZEFG=140°,

在圖c中NCFE=AGFC-NEFG=120。.

故答案為：120。.

【點(diǎn)撥】此題考查平行線的性質(zhì)，圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱

變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變.

18.15

【分析】

由作圖過(guò)程可得4〃平分/D4C,過(guò)點(diǎn)〃作HQJ_AC于點(diǎn)。，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可

得DH=QH,然后證明RdA。”（Hi,）,可得A￡>=AQ=6,所以CQ=AC-AQ

=10-6=4,再根據(jù)勾股定理可得“。，進(jìn)而可以解決問(wèn)題.

解：由作圖過(guò)程可知：平分/D4C,

D

AB

如圖，過(guò)點(diǎn)“作HQLAC于點(diǎn)Q,

???四邊形A3c。是矩形，

.*.ZD=90°,

：.DH=QH,

,.?AD=6,DC=AB=8,

?"C=^AD2+DC2=V62+82=10,

：.HC=DC-DH=8-HQt

在RtAADH和/?/△AQH中，

jAH=AH

[DH=QH'

：.Rt/^ADH^RtLAQH(HL),

：.AD=AQ=69

：.CQ=AC-AQ=10-6=4,

在即△C〃Q中，根據(jù)勾股定理得：

CH2^CQ2+HQ2,

...(8-HQ)2=41+HQ2,

解得HQ=3,

...△4，。的面積=；*40”。=5、10x3=15,

故答案為：15.

【點(diǎn)撥】本題考查了作圖一基本作圖、角平分線的性質(zhì),矩形的性質(zhì)、全等三角形的判

定與性質(zhì)及勾股定理，掌握基本作圖方法是解決本題的關(guān)鍵.

19.ACA-BD

【分析】

根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊，〃G〃82現(xiàn)〃AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：

NEHG=N1,Nl=/2,再證明四邊形EFGH是平行四邊形，當(dāng)/EFG=90。，四邊形

EFGH是矩形，所以N2=90°,因此4CJ_8/).

VG,H、E分別是BC、CD、AO的中點(diǎn),

HG//BD,EH//AC,

:.NEHG=N1,ZI=Z2,

.\Z2=Z￡/7G,

同理：EF//BD,FG//AC,

\EF//HG,EH//FG,

四邊形EFG”是平行四邊形，

當(dāng)ZEHG=90°,四邊形EFGH是矩形，

：.Z2=90°,

：.AC±BD.

故還要添加AC±HD,才能保證四邊形EFGH是矩形.

【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形的中位線定理和矩形的四個(gè)角都是直角的性質(zhì)，熟練掌握

定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

251

20.—##4-

66

【分析】

連接所，根據(jù)已知條件，利用"HL”證明RtAEOF絲Rt^EGF,得出。尸=G尸，設(shè)

OF=FG=x,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可.

解：連接EF,如圖所示:

???四邊形A8c。為矩形，

AAD=BC=10,DC=AB=6,ZA=Z￡）=ZC=90°,

?.?E?是A。的中點(diǎn)，

AE=DE=-AD=5,

2

l△ABE沿跖折疊后得到&GBE,

；.AE=EG=5,AB=BG=6,ZBGE=ZA=90°,

ZEGF=180°-ZBGE=90°,EG=ED=5,

[ED=EG

???在Rt^EDF和RtEGF中〈，

A[EF=EF

RjEDF絲RtAfGF（HL）,

:.DF=FG,

^DF=FG=x,則3尸=6+x,CF=6—x,

在RS8C/中，BC2+CF2=BF2,

.-.102+（6-X）2=（6+X）2

解得x=2§5.

6

故答案為：鄉(xiāng)25.

6

【點(diǎn)撥】本題主要考查了了矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定和性質(zhì)，作出輔

助線，構(gòu)造全等三角形，證明。尸=GF,是解題的關(guān)鍵.

21.③④

【分析】

根據(jù)折疊，得至IJA￡>=AF,ZD=ZAF￡=90°,推出A8=AF,NAFG=NB=90。，可證明

RtAABG^RtAAFG,即可判斷①正確；根據(jù)ZDAE=NE4￡N8AG=NE4G,進(jìn)而可得

/GAE=45。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得N4EF+/4Q尸=135。，得到/AG8+/AEO=

135°,進(jìn)而判斷②正確；設(shè)BG=Gb=x,貝lJCG=6-x,EG=x+2,CE=4,在RsEGC

中，根據(jù)勾股定理建立方程(x+2)2=(6-x)2+42,解方程可得G歹=3,即可判斷③正確；

根據(jù)BG=FG=3,得至UCG=BC-BG=6-3=3,得到CG=FG,推出NGCF=/GFC,根據(jù)

ZAGB=ZAGF,得至Ij/BGF=2NAGF=2NGFC,得至l1/4GF=NGFC,推出4G〃CF,即可

判斷④正確

解：???四邊形438是正方形，

,ZD=ZABC=ZDAB=ZBCD=90°,AB=BC=CD=AD=6,

"：CD=3DE,

：.DE=2,

：.CE=4,

,/將AAOE沿AE對(duì)折至AAFE,

：.ZAFE^ZADE=90°,AF=AD,EF=DE=2,

：.ZAFG=ZABG=90°,AF=AB,

在RSA8G和Rt^AFG中，

JAB=AF

[AG=AG'

：.Rt^ABG^Rl^AFG(HL),

，①正確；

,/將AAOE沿AE對(duì)折至A4FE,

:.ZDAE=ZEAF,

Rt^ABG^R^AFG,

：.ZBAG=ZFAG,

,:ADAE+ZEAF+ZBAG+ZFAG=ZDAB=90°,

ZEAG=ZEAF+ZFAG=-/DAB=45°,

2

???ZAEF+ZADF=\35\

：.ZAGB+ZAED=135°,

?..②正確；

設(shè)BG=GF=x,則CG=6-x,EG=x+2,

,:CE=4,

，(x+2)2=(6-x)2+42,

解得％=3,

:.BG=GF=3,

???③正確；

?：BG=FG=3,

:.CG=BC-BG=6-3=3,

:?CG=FG,

：.ZGCF=ZGFCf

???ZAGB=ZAGF9

???NBGF=2NAGF=2NGFC,

:./AGF=/GFC,

：.AG//CF

...④正確；

故答案為：①②③④.

【點(diǎn)撥】本題考查了正方形性質(zhì)，折疊圖形全等的性質(zhì)，三角形全等的判斷和性質(zhì)，三

角形內(nèi)角和定理，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

22.9

【分析】

利用同角的余角相等，證得NS4尸=根據(jù)垂直定義，得NAM=NA￡D=90。，

結(jié)合已知，證得AZME也,進(jìn)而證得4/=。￡=4,AE=BF=5,據(jù)此可求出

Eb=A尸+4石=4+5=9,問(wèn)題得解.

解：??,四邊形A8CO是正方形,

AAD=ABfZZMB=90%

：.ZBAF+Z.DAE=90°

VDEll

?,.ZDAE+ZADE=90°

JZBAF=ZADE

VDE1Z,BFll

：.ZAFB=ZAED=9G0

在△以￡和AABF中

'NAED=NAFB

'：，ZBAF=ZADE

AD=AB

^DAE^ABF

：.AF=DE=4,AE=BF=5

，EF=AF+AE=4+5=9

故答案為：9

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，正確尋找全等三

角形，學(xué)會(huì)利用同角的余角相等是解本題的關(guān)鍵.

23.12

【分析】

根據(jù)三角形中位線定理、矩形的判定定理得到四邊形EFG”為矩形，根據(jù)矩形的血積

公式計(jì)算，得到答案.

解：：點(diǎn)E，F(xiàn),G,H分別是48,BC,CD,ZM的中點(diǎn)，

/.EF=—AC=3,EF//AC,GH=gAC=3,GH//AC,EH=鼻BD=4,EH//BD,

222

AEF=GH,EF//GH,

四邊形EFGH為平行四邊形，

vACABD,

:.EFLEH,

二平行四邊形EFGH為矩形，

S四邊形EFGH=3x4=12,

故答案為：12.

【點(diǎn)撥】此題考查了中點(diǎn)四邊形，解題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理、矩形的判定定

理.

~20

24.—

3

【分析】

由“HL”可證RfAA/H三,可得FH=DH,由“AA夕可證AZ5HG三AF/W,可得

HG=HN,可得PF=￡W=6,再由勾股定理可求AP、FN、DH,即可求解.

如圖，連接過(guò)點(diǎn)b作/W1_CO于點(diǎn)N,FPLAD于點(diǎn)P,

???將^ABE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AFG的位置，

AB=AF,ZABE=ZAFG=90°,BE=FG=6f

.\AF=AD,

???四邊形ABC。是正方形，

/.ZADH=90°.AB=ADt

ZADH=ZAFH=90°,AD=AF9

又?.?47=A//,

Rt\AFH=Rt\ADH(HL),

:.FH=DH,

-.DG//AF,

:.ZAFG=ZDGF=90°,

:"DGH=NFNH=90。,

???4DHG=/FHN,

\DHG=\FHN(AAS),

:.HG=HN,

:.DN=DH+HN=FH+HG=FG=6,

?；FN工CD,FPA.AD,ZADC=90°.

???四邊形PEW尸是矩形，

:.PD=FN,PF=DN=6,

：.AP=>JAF2-PF2=8^

:.PD=2=FN,

FH-=HN2+FN2,

DW2=(6-DH)2+4,

：.CH=DC-DH=—

3

20

故答案為：y

【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、矩形的判定廿性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

25.(l)5(2)y=x+；(3)①S=+；②/或?

乙乙'X,。J

【分析】

(1)在RAAOH中利用勾股定理即可求得菱形的邊長(zhǎng)；

(2)根據(jù)(1)即可求的OC的長(zhǎng)，則C的坐標(biāo)即可求得，利用待定系數(shù)法即可求得直

線AC的解析式；

(3)①根據(jù)求得M到直線8c的距離為/?,然后分成P在48

上和在BC上兩種情況討論，利用三角形的面積公式求解.

②將S=2代入①中的函數(shù)解析式求得相應(yīng)的r的值.

(1)解：：點(diǎn)人的坐標(biāo)為(—3,4),

A〃=3,4O=4

在RmAOH中

AO=y/AH2+OH2=V32+42=5，

故答案為：5；

(2)；四邊形48co是菱形，

/.OC=OA=AB=5,即C(5,0).

設(shè)直線AC的解析式產(chǎn)區(qū)+從函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)A、C,

得15-3kA++b6==04

解得s

b=-

2

直線AC的解析式為y=一白+|,

⑶由y=-1x+1，令x=0,y=,則貝!JOM=1",

NN乙乙）N

①當(dāng)（xr<|tft,

BP=BA-AP=5-3t,HM=OH-OM=4--=-,

22

Iiaa15

??.S=-BPHM=-x-x（5-3t}=——f+—,

222'744

44

備用圖

②設(shè)歷到直線BC的距離為h,

SABC=S?AMB+SBMC=-ABQH=-AB-HM+-BC?h

A222

—x5x4=—x5x—+—x5/z

2222

解得〃=|,

'與§<f<—時(shí)，BP=3r-5,/t=—>

915

當(dāng)S=2時(shí)，代入S=