第五章相似矩陣及二次型向量的內積矩陣的特征值與特征向量的概念及計算實對稱矩陣的對角化二次型及其標準型正定二次型§5.1向量組的正交化一、向量內積三、正交矩陣二、正交向量組空間解析幾何向量運算回顧一、向量內積1.內積的定義

【定義】設a=(a1,a2,,an

)T及b=(b1,b2,,bn

)T是Rn中的兩個向量，則它們對應分量乘積之和稱為向量a和b的內積。記作

即

例如，設a=(-1,1,0,2)T，b=(2,0,-1,3)T。則a和b的內積為=(-1)2+10+0(-1)+23=4

設a，b，g為Rn中的任意向量，則(1)

[a，b]

=[b

，a

]

；(2)[ka，b]

=k[a，b]；(3)[a+b，

g]=[a，g]+[b

，g]；(4)

[a，a]0，當且僅當a=0時，有[a，a]=0。下頁2.內積的性質：3.向量的模：【定義】對Rn中的向量a=(a1,a2,,an

)T，數稱為向量a的模（長度），也稱為向量范數。

例如，a=(-3,4)T的長度為：

(1)||a||0，當且僅當a=0時，有||a||=0；(2)||ka||=|k|||a||(k為實數)；(3)||a+b||≤||a||＋||b||。(4)對任意向量a，b，有|（a，b）

|||a||||b||。下頁向量模的性質：

長度為1的向量稱為單位向量。記為：α0

4.單位向量：如果向量a與b的都不是零向量，它們的夾角θ定義為：5.兩個非零向量的夾角：二、正交向量組1.幾個概念對于n維向量α、β，若[a，b]

=0，則稱向量α與β是互相正交(垂直)的。如零向量與任意向量正交。又如正交向量：正交向量組：若Rn中，s個非零n維向量a1，a2，，as兩兩正交，即

(ai,aj)=0(ij)，則稱該向量組為正交向量組。

如：Rn中的單位坐標向量組e1，e2，，en，是兩兩正交，(ei,ej)=0(ij)，且均為單位向量。下頁正交規范向量組：

如果正交向量組a1，a2，，as的每一個向量都是單位向量，則稱該向量組為標準正交向量組。例1、已知兩向量解、例2(例1的一般化,也稱正交基的擴張定理)設是中的一個正交向量組,,證明必可找到個向量使構成的正交基.都正交.證只需證必可找到使與記必有非零解.其任一非零解即為所求的

證明：設a1，a2，，as為正交向量組，且有數k1，k2，，ks，使k1a1+k2a2+

+ksas=0?！径ɡ怼縍n中的正交向量組是線性無關的向量組。2.正交向量組與線性無關向量組Ki[ai,

ai]=0，上式兩邊與向量組中的任意向量ai作內積，[ai

,k1a1+k2a2+

+ksas]=0(1is)，可得于是a1，a2，，as是線性無關的向量組。但

ai0，有[ai,ai]>0。所以ki=0(1is)，正交向量組

線性無關向量組？

對任意一個線性無關向量組可以找到一個與它等價的正交向量組，即向量組的正交化。五、施密特正交化過程設是一組線性無關的向量,它就是它生成的向量空間的一個基(坐標系),如何在向量空間L中建立正交的基(坐標系)?這個問題就是…找與等價的正交向量組以三個向量為例,從幾何直觀上去求.上式兩邊與做內積,注意得從而我們已求得已正交,再求構造(1)式兩邊與內積,注意得(1)式兩邊再與內積,類似可得從而

對于Rn中的線性無關向量組a1，a2，，as，令

b1=a1，

……

向量組b1，b2，，bs是正交向量組，并且與向量組a1，a2，，as可以相互線性表示。并且這兩個向量組等價。下頁3.施密特正交化方法例2試用施密特方法化向量組為正交向量組解令

β1,β2,β3是正交向量組

β10,β20,β30是正交規范向量組三、正交矩陣1.定義如果n階實矩陣A滿足ATA=E，則稱A為正交矩陣。

例如，單位矩陣E為正交矩陣；

（4）.若A為正交矩陣，則AT（A–1，A*）也是正交矩陣．（2）．若A為正交矩陣，則A可逆，且A-1=AT（3）．若B、A都是正交矩陣，則BA也是正交矩陣．事實上(AT)TAT=A

AT=E(A*)TA*=(|A|A-1)T(

|A|A-1)=|A|2（A-1）T

A-1=E2.正交矩陣的性質（A-1）T

A-1

=（A-1）T

AT=（AA-1）T=E

（1）．若A為正交矩陣，則其行列式的值為1或-1；ATA=E，|AT||A|=|E|=1，|A|2=1證明定理

為正交