創作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日第二節齊次馬爾可夫鏈之吉白夕凡創作創作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日一、齊次馬爾可夫鏈的觀點一個隨機過程｛Xn，n＝0，1，2，｝就是一族隨機變量，而Xn能取的各個分歧的值，則稱為狀態。假如一個隨機過程｛Xn，n＝0，1，2，｝，由一種狀態轉移到另一種狀態的轉移概率只與此刻處于什么狀態相關，而與在這時刻以前所處的狀態完整沒關，即假如過程｛Xn，n＝0，1，2，｝中，Xn+1的條件概率散布只依靠于Xn的值，而與所有更前面的值互相獨立，則該過程就是所謂馬爾可夫(Markov)過程．馬爾可夫鏈是指時間隔散，狀態也失散的馬爾可夫過程。一個馬爾可夫鏈，若從u時刻處于狀態i，轉移到t＋u時刻處于狀態j的轉移概率與轉移的開端時間u沒關，則稱之為齊次馬爾可夫鏈，簡稱齊次馬氏鏈。假如把從狀態i到狀態j的一步轉移概率記為pij，則pij＝PXn+1＝j｜Xn＝i｝，i，j＝0，1，2，，且有轉移概率矩陣P，創作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日這樣，一個齊次馬氏鏈，能夠由一個轉移概率矩陣P以及在時刻零時狀態x＝0，1，2，的概率散布列向量Q＝(q(0)，q(1)，)完整確立。由齊次馬氏鏈性質知道，第i狀態的行向量Ai與第i＋1狀態的行向量Ai+1之間存在著關系式：Ai+1＝AiP。二、齊次馬氏鏈在評估教課質量中的應用教課過程是一個隨機過程，也就是說，關于擁有相同基礎知識布景的學生(個體)，在同時接受新知識時是隨機的。我們能夠把一個班(集體)的學生區分為分歧的等級(比如：優、良、中、及格、不及格五個等級)，近似地以為處于同一等級的學生擁有相同的基礎知識，用齊次馬氏鏈，經過學生學習狀態的轉移概率矩陣，最后能夠展望一個班學生學習成績的穩固狀態。對教師而言，也便可用來評估、展望一個班的教課質量。在教課成效指標的量化過程中，齊次馬氏鏈評估法是將一個集體(如一個班或一個年級)的學生在某次考試中獲取優(90分以上)、良(80～89分)、中(70～79分)、及格(60～69分)和不及格(59分以下)各等級學生人數占總人數之比，作為狀態變量，并用向量示意之。即創作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日R(t)＝(X1(t)，X2(t)，X3(t)，X4(t)，X5(t))，因為齊次馬氏鏈與t時刻前的狀態沒關(呈無后效性)，能夠研究當t更改時，狀態向量R(t)的更改規律，進而對教課成效進行評估。設經第一次考試，一個班n個學生中，優、良、中、及格、不及格的學生數分別為ni(i＝1，2，3，4，5)，則狀態向量稱作初始向量。為觀察教課成效，持續剖析下一次考試時，上述學生的等級更改。若經第二次考試后，本來獲優等成績的n1名學生中，仍堅持優等的是n11人，轉變為“良”，“中”，“及格”，“不及格”的學生疏別有n12，n13，n14，n15人，于是，第一次考試成績優等的學生考試成績轉移狀況是相同，其他各個等級的學生的考試成績轉移狀況是向量中nij(i，j＝1，2，3，4，5)示意從狀態i釀成狀態j的人數。這一轉移狀況用矩陣示意為為轉移概率矩陣，簡稱轉概陣。創作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日切合齊次馬氏鏈學習狀態轉移概率矩陣的學生學習成績最后必然趨于安穩狀態X＝(x1，x2，x3，x4，x5)，即X＝X·P，也即X(E－P)＝0，解此線性方程組，可得狀態R(t)時學生學習成績的安穩分布X。下邊，我們仍以第一節表5－1中的15名學生的成績為例，剖析這一集體在兩次考試中學生等級的更改。按優、良、中、及格、不及格五等區分，分別是2人、4人、4人、5人和0人，所以，各個等級學生轉移狀況分別是第二次考試成績散布狀態依據這個更改規律，第三次考試成績散布狀態即在第三次考試后，學生中優等、良等的人數減少了，而中等的人數和及格的人數卻在增添。這樣，就能夠剖析這組學生集體的更改狀態。設該過程的安穩狀態散布列為X，因為(E－P)TX＝0，創作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日進而能夠判定，最后只有中等和及格兩等級的學生，其人數分別占總數的56％和44％。三、齊次馬氏鏈在評估解題狀態中的應用解決問題是數學教育的一項主要任務。假如能夠把一個題目，按學生解題的認知過程的發展，分解成幾個分歧條理的狀態，那么就能夠用齊次馬氏鏈去測量一個集體(如一個班或一個年級的學生)解決問題的能力與狀況。第一，我們以為解決一個問題的過程是由剖析S1、設計S2、研究S3、實行S4和考證S5這樣五個狀態構成的，并且這五個狀態存在如圖5－2的關系。分紅了上邊五個狀態，我們能夠以為解決問題的后一狀態只與它的前一個狀態相關，而與它的更前面的狀態沒關。這就完整切合齊次馬氏鏈所要求的條件。圖5－2的關系流程圖，存在一個狀態轉移概率矩陣此中p23＋p24＝1，p31＋p32＝1。假如圖5－2的關系流程圖第i階段的行向量為Ai＝(a1，a2，a3，a4，a5)，因為創作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日A0＝(1，0，0，0，0)，進而A1＝(0，1，0，0，0)，A2＝A1P＝(0，0，p23，p24，0)，A3＝A2P＝(p31p23，p23p32，0，0，p24)，p24(P23P32＋1)。應用齊次馬氏鏈的重點在于找到一個轉移概率矩陣中的pij，這就要從兩個方面去控制，一是經過詳細題目的解題過程區分幾個分歧狀態(這一點相對來說是比較困難的)，二是經過解題時間來控制解題過程，以剖析整個集體a的解題狀態。比如，要求40名學生在10分鐘內達成一個題目：求證：P1(2，3)，P2(4，6)，P3(6，9)三點共線。自然，關于這個題目，怎樣比較客觀去剖析解題狀態，即究竟做到哪一步才是從剖析S1到設計S2，哪一步才算是從設計S2到實行S4，這是比較困難的。可是，假如運用時間去控制解題狀態，仍是確實可行的。設8分鐘此后，有30名學生圓滿地證了然這個題目，剩下的10名學生中，經過老師的適合提示，又有6名學生達成了該題。這樣比較關系流創作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日創作時間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日A0＝(1，0，0，0，0)，A1＝(0，1，0，0，0)，由A1可見，這40名學生所有從剖析狀態S1轉移到設計狀態S2；由A2齊次馬氏鏈，針對在規定的時間里，有相當一部分的學生完成解答，即處于圖5－2關系流程圖中考證狀態S5，是比較有效的。可是，假如在規定的時間里，沒有學生或許有極