概率與統(tǒng)計考內(nèi)：考要：§12.概率與統(tǒng)計

知識點一隨變.隨試驗的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定試驗如果滿足下述條件：①試驗可以在相同的情形下重復進行驗所有可能結(jié)果是明確可知的不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個一試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.它就被稱為一個隨機試驗.離型隨機變量：如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變.是個隨機變量是常數(shù)則也一個隨機變量一般地是機變量，f(x)

是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)也隨機變.也就是說，隨機變量的某些函數(shù)也是隨機變設(shè)離散型隨機變量可取的值為：x,,iξ取一個值x(i1,2,的率P()，則表為隨機變量的率分布，簡稱ξ的ii分布列

x

x

…

x

i

…p…pi有性質(zhì)①0,i；②i

…注意：若隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機變量

例如：

即以05之的一切數(shù)，括整數(shù)、小數(shù)、無理.⑴二項分布如果在一次試中某事件發(fā)生的概率是那在次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k的概率是：P(k

[其中k,n,q]于是得到隨機變量的率分布如下：我們稱這樣的隨機變量ξ服二項分布，記作B（n·p中n，參數(shù)，并記

k

pkq

⑵二項分布的判斷與應(yīng)用.①二項分布，實際是對次立復試.關(guān)鍵是看某一事件是否是進行n次立重復，且每次試驗只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分②當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小次抽取時又只有兩種試驗結(jié)果，此時可以把它看作獨立重復試驗，利用二項分布求其分布幾分布“

”表在第k次獨立重試驗時，事件第一次發(fā)生，如果把k次試驗時事件A發(fā)生記為A，A不生記為A,P(A)

，那么

P(AA

k

A)k

根據(jù)

相互獨立事件的概率乘法分式：

P(k)P(A)P(A)

k

)P(A)k

q(

1,2,3,

于是得到隨機變量ξ的率分布列.2qqp

q

……

k

……我們稱ξ服幾何分布，并記g(k,p)kp，中qp.k⑴超幾何分布：一批產(chǎn)品共N件其中有M＜）件次品，今抽取(1nN)

件，則其中的次品數(shù)

ξ

是一離散型隨機變量，分布列為P(ξ

C

kM

CN

M)

〔分子是從M次品中取k件從件品中取n-k件取法數(shù)如果規(guī)定m＜r時C

r

，k的圍可以寫為k=0，，n.⑵超幾何分布的另一種形式批產(chǎn)品由次品正品組成抽?。ā躰≤a+b則次品數(shù)ξ的布列為

ξk)

k

k

0,1,

,

⑶超幾何分布與二項分布的關(guān)設(shè)一批產(chǎn)品由a件品件正品組成，不放回抽取時，其中次品數(shù)ξ服從超幾何分布若放回式抽取則中次品數(shù)分布列可如下求得把a

個產(chǎn)品編號則抽取次共有()

個可能結(jié)果，等可能：(η

含

k

akb

個結(jié)果，故Pηk)

kak(a

k

(

)k(1)ka

,

即

aa

)

.[們先為個次品選定位置，共種法；然后每個次品位置有種法，每個正品位置有種法]可以證明：當產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個數(shù)不多時，P(ξηk)分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽二數(shù)期與差期的含義：一般地，若離散型隨機變量ξ的率分布為

，因此二項分布可作為超幾何

x

x

…x

i

…

p

p

…p

i

…則稱E

pp為ξ的數(shù)期望或平均數(shù).數(shù)期望又簡稱期望.學期望反映了離散型隨機變量取值的平均水⑴隨機變量的學期望：E

aE①當時，E(b，常數(shù)的數(shù)學期望就是這個常數(shù)本身②當a時)E，即隨機變量ξ與常數(shù)之和的期望等于的望與這個常數(shù)的和③當b時(乘積

，即常數(shù)與隨機變量積的期望等于這個常數(shù)與隨機變量期望的⑵單點分布：E其布列為：(⑶兩點分布分布列為+q=1

ξ

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．▲⑷二項分布：

E

k

!k!()!

p

其分布列為B(n)

（為發(fā)生概）⑸幾何分布：E

1p

其分布列為q(,p

（為生概率）3.方、標準差的定義：當知隨機變量ξ的布列為

P(

)(k)

時，則稱D

(x

Ep

E

(

Ep

為

ξ的差顯然

，故D

ξ的根方差或標準差.機變量的方差與標準差都反映了隨機變量取的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程.

D越小，穩(wěn)定性越高，波動越.方差的⑴隨機變量的差(D(D（、b均常數(shù)）⑵單點分布：D0其分布列為(⑶兩點分布：Dpq其布列為+=1⑷二項分布：Dnpq⑸幾何分布：

ξ

期與方差的關(guān)系.⑴如果都存在則E⑵設(shè)和是互相獨立的兩個隨機變量，則E(⑶期望與方差的轉(zhuǎn)化：

D

⑷

E((

（因為E為常數(shù)）E.三正分（本列考范）密度曲與密度函數(shù)：對于連續(xù)型隨機變量ξ，位于軸上方ξ落在任一區(qū)間[a,b)概率等于它與x直線與直線所圍成的曲邊梯的積

內(nèi)的（如圖陰影部分）的曲線叫的度曲線，以其作為

y=f()圖像的函數(shù)f(

叫做的度函數(shù)，由“

(

”是必然事件，故密度曲線與x所夾部分面積等于

⑴正態(tài)分布與正態(tài)曲線隨機變量的率密度為(x)

1

(

R,

為常數(shù)且ξ服參數(shù)為

正分布用(

表示

f(x

的表達式可簡記為(

，它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲⑵正態(tài)分布的期望與方差：若(

，則ξ期望與方差分別為：⑶正態(tài)曲線的性.①曲線在軸上方，與x軸相交.②曲線關(guān)于直線③當線處于最高點，當x左、向右遠離時，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)中間高、兩邊低的鐘形曲線.

陰陰④當

＜時曲上升當x

＞時曲下降并當曲線左向右兩邊無限延伸時，以x軸漸近線，向x軸限的靠⑤當一時線的形狀由確越曲矮胖表示總體的分布越分散越小，曲線越瘦高，表示總體分布越集.⑴標準正態(tài)分布：如果隨機變量ξ的率函數(shù)為x

1

(

，則稱服從標準正態(tài)分布.即N(0,1)

有x))

，x)

求出，而（＜ξ

≤b）計算則是P()))

注意：當標準正態(tài)分布的(x)

的X取時有)0.5

當x)

的X取于的數(shù)時，有()0.5

比如

0.5

)0.5

則

0.5

必然小于0如圖

▲⑵正態(tài)分布與標準正態(tài)分布間的關(guān)系：若N

則的分布函數(shù)通常用Fx)

表示，且有P(x)F(x)

)

⑴”原則.

標準正態(tài)分布曲線=0.5S=0.5+S假設(shè)檢驗是就正態(tài)總體而言的行假設(shè)檢驗可歸結(jié)為如下三步①提出統(tǒng)計假設(shè)統(tǒng)計假設(shè)里的變量服從正態(tài)分布

N(

②確定一次試驗中的取值a是