2021-2022學年北京市石景山區高二(下)期末數學試卷

I.已知等差數列｛aj的通項公式冊=-2n+5,則它的公差為()

A.2B.-2C.5D.-5

2.如果一個物體的運動方程為s(t)=t3(t>。)，其中s的單位是千米，?的單位是小

時，那么物體在4小時末的瞬時速度是()

A.12千米/小時B.24千米〃卜時C.48千米/小時D.64千米/小時

3.一名老師和四名學生站成一排照相，則老師站在正中間的不同站法有()

A.4種B.12種C.24種D.120種

4.在(x—展開式中，含了項的系數為()

A.-35B.-21C.21D.35

5.已知曲線y=f(K)在(5)(5))處的切線方程是y=-％+5,則/'(5)與/'(5)的值分別

為()

A.51—1B.-1,5C.—110D.0,—1

6.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數，事件A：“取到的2個數之和為偶數”，

事件8：“取到的2個數均為偶數”，則P(BM)等于()

A.-B.-C.-D.-

8452

7.下列命題錯誤的是()

A.隨機變量《?B(nj),若E(f)=30,則n=90

B.線性回歸直線y=bx+a一定經過樣本點的中心(x,y)

C.兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于1

D.設f?N(l82),且P(f<0)=0.2,則P(1<f<2)=0.2

8.已知數列｛%｝的前〃項和為%,若a.=]+2+；++,」則55=()

A.2B.-C.-D.-

235

9.已知函數f(x)=x+l-de-有兩個零點，則實數a的取值范圍為()

A.(-B.(一白,+8)C.(一0)D.(—,4-oo)

10.等差數列｛aj的前〃項和為無，前〃項積為〃，已知。2=-11，&4=一7,貝ij()

A.Sn有最小值，%有最小值B.S”有最大值，及有最大值

C.Sn有最小值，有最大值D.Sn有最大值，”有最小值

11.離散型隨機變量f的分布列如表：

012

11

pa

24

則E(f)=;D(f)=.

12.在(1+3x)4的展開式中，二項式系數之和為；各項系數之和為.(用數

字作答)

13.已知函數/(為=一/+(1/一%一1在/?上是單調函數，則實數。的取值范圍是

aa

14.在數列｛tin｝中，%=｝nn+l+1=an,nGN*,則42022=-

15.若存在常數上和兒使得函數f(x)和g(x)對其公共定義域上的任意實數X都滿足：

/(x)>kx+b和g(x)<kx+b恒成立或(f(x)<kx+b和g(x)>kx+b恒成立)，

則稱此直線y=kx+b為f(x)和g(x)的“隔離直線”.已知函數f(x)=x2,g。)=

1(%<0),有下列命題：

①直線y=0為/(%)和g(x)的“隔離直線”.

②若y=-％+b為/(x)和g(x)的“隔離直線”，則人的范圍為［—4,一》

③存在實數匕使得f(x)和g(x)有且僅有唯一的“隔離直線”.

④/'(x)和9。)之間一定存在“隔離直線”，且b的最小值為-4.

其中所有正確命題的序號是.

16.已知數列｛aj是公比為2的等比數列，且a2,a3+l,a,成等差數列.

(/)求數列｛斯｝的通項公式；

(〃)記“=an+log2azi+i，求數列｛砥｝的前〃項和

17.某射手每次射擊擊中目標的概率是|,且各次射擊的結果互不影響，假設這名射手

射擊3次.

(團)求恰有2次擊中目標的概率；

(團)現在對射手的3次射擊進行計分：每擊中目標1次得1分，未擊中目標得0分；

若僅有2次連續擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分.記f為射手

射擊3次后的總得分，求f的分布列與數學期望.

18.已知函數f(x)=ax3+bx2,當％=1時，f(x)取得極值-3.

(回)求a,〃的值；

(團)若對于任意x>0,不等式f(x)+2m2-巾2o恒成立，求實數〃?的取值范圍.

19.某單位共有員工45人，其中男員工27人，女員工18人.上級部門為了對該單位

員工的工作業績進行評估，采用按性別分層抽樣的方法抽取5名員工進行考核.

(團)求抽取的5人中男、女員工的人數分別是多少；

(回)考核前，評估小組從抽取的5名員工中，隨機選出3人進行訪談.設選出的3

人中男員工人數為X,求隨機變量X的分布列和數學期望；

(團)考核分筆試和答辯兩項.5名員工的筆試成績分別為78,85,89,92,96；結

合答辯情況，他們的考核成績分別為95,88,102,106,99.這5名員工筆試成績

與考核成績的方差分別記為*,sl，試比較式與，的大小.(只需寫出結論)

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20.已知函數"x)=lnx—W.

(團)求曲線y=f(x)在點(1,7(1))處的切線方程；

(@)若存在殉>1,當xe(l,xo)時，恒有f(x)>k(x—l),求實數4的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：等差數列的通項公式怎=-2n+5,

則%=-2+5=3,a2=—2x2+5=1,

則它的公差為。2—%=1-3=-2.

故選：B.

等差數列｛a“｝的通項公式a。=-2n+5,求出％,a2＞它的公差為&2-%.

本題考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

2.【答案】C

【解析】解:根據題意，s(t)=t3(t＞。)，則s，(t)=3t2,

則s'(4)=3x16=48,

所以物體在4小時末的瞬時速度是48千米/小時.

故選：C.

根據題意，求出s(t)的導數，由導數的定義計算物體在4小時末的瞬時速度s'(4)即可.

本題考查導數的計算，涉及導數的幾何意義，屬于基礎題.

3.【答案】C

【解析】解：根據題意，分2步進行分析：

①、老師站在正中間，有1種情況，

②、將四名學生全排列，安排在兩邊的4個位置，有4：=24種排法，

則5人不同的站法有1x24=24種.

故選：C.

根據題意，分2步進行分析：①、由于老師站在正中間，易得其站法數目，②、將四名

學生全排列，安排在兩邊的4個位置，由排列數公式可得學生的站法數目，由分步計數

原理計算可得答案.

本題考查了排列、組合的應用，屬于基礎題.

4.【答案】A

【解析】解：展開式中含x的項為C次然―＞3=一35%,

所以x的系數為—35,

故選：A.

根據二項式定理求出展開式中含x的項，由此即可求解.

本題考查了二項式定理的應用，考查了學生的運算能力，屬于基礎題.

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5.【答案】D

【解析】解:???曲線y=/(x)在(5/(5))處的切線方程是y=—x+5,

??-/(5)=-5+5=0；且/(5)=-1.

故選：D.

由切點處的函數值相等求解f(5),再由導數的幾何意義可得/'(5).

本題考查導數的幾何意義及應用，是基礎題.

6.【答案】B

【解析】解：PQ4)=等=：,PQ4B)=^=3由條件概率的計算公式得P(BM)=

Cg5Cg10

PQ4B)_1

P(4)-4-

故選：B.

根據條件概率的公式計算即可.

本題考查了條件概率，屬于基礎題.

7.【答案】D

【解析】解：對于A,隨機變量f?B(n*),E(f)=30,

則［n=30,解得n=90,故A正確，

對于B,由線性回歸方程的性質可知，線性回歸直線丫=bx+a一定經過樣本點的中心

(x,y),故B正確，

對于C,兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近于1,故C正確，

對于。，若f?N(1Q2),且P(f<0)=0.2,

則P(0<f<1)=<1)一尸(f<0)=0.5-0.2=0.3,

所以P(l<f<2)=03故。錯誤.

故選：D.

對于A,結合二項分布的期望公式，即可求解，

對于3,結合線性回歸方程的性質，即可求解，

對于C,結合相關系數的定義，即可求解，

對于Q,結合正態分布的對稱性，即可求解.

本題主要考查命題真假判斷與應用，需要學生較強的綜合能力，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：由于

anl+2+3+...+n-,5+1)-n(n+l)-n+r

2

所以％=2(1…；-擊)=2(1-^)=含

5

故55=當

3

故選：c.

首先利用關系式的變換整理得即=2(；-W)，進一步利用裂項相消法的應用求出數列

的和.

本題考查的知識要點：數列的通項公式的變換，裂項相消法在數列求和中的應用，主要

考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于中檔題.

9【答案】A

【解析】解：由題意，函數f(x)=x+l—ae-x的定義域為R,

x

令f(%)=0，即％+1-m一”=0,即Q=(%4-1)-e,

設gQ)=(x4-1)-ex,可得g'(%)=e*+(%+1)?e*=(%+2)?ex,

當x<一2時，g'Q)<0,

當%>—2時，g'(%)>0,

所以g(x)在(-8,-2)上單調遞減，在(-2,+8)上單調遞增.

又。(-2)=-2，作出簡圖，如圖所示，

只需y=a與g(x)=(x+1).蠟的圖像有兩個交點，所以一套<a<0,

即實數a的取值范圍是一為<a<0.

e2

故選：4

令/'(%)=。，轉化為a=(x+1)-ex,設g(x)=(x+1)-ex,利用導數求得函數g(x)單

調性和最值，把函數的零點，轉化為y=a與9。)=(%+1)?短的圖像有兩個交點，結

合圖像，即可求解.

本題主要考查利用導數研究函數的零點，已知零點個數求參數的取值范圍的方法等知識,

屬于中等題.

10.【答案】C

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【解析】解：?.,等差數列｛冊｝的前〃項和為土，前〃項積為"，a2=-11，a4=-7-

I：11gdJ)，解得的=一13，d=2,

:.a?=-13+(n-1)x2=2n—15,

由anWO,解得nW孩，n€N*,

??.等差數列｛aj的前”項和又滿足S7最小，無最大值，

=—13,a2=-11,CZg=^9,=7,~-5,&6=—3,Cly—^1,CLQ=1,***

Tt=-13,T2=143,T3=-1287,7；=9009,心=—45045,T6=135135,T7=

-135135,-

當n28時，Tn<0,且為遞減數列，

???〃有最大值135135,沒有最小值.

故選：C.

根據已知條件求得的,d,進而是求得a”，結合數列的有關性質確定正確選項.

本題考查等差數列的運算，考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基

礎題.

11.【答案】好

【解析】解：由分布列可知：a+；+；=l,得a=；：

244

所以E(《)=0xi+lxi+2xi=lt

1111

D(f)=(0-l)2x-4-(1-l)2x-+(2-l)2x-=-.

4L4-L

故答案為：1;右

根據分布列的性質求出參數m再計算期望和方差.

本題考查離散型隨機變量的期望與方差，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

12.【答案】16256

【解析】解：展開式的二項式系數和為24=16,

令x=l,則各項系數和為(1+3)4=256,

故答案為：16；256.

根據二項式系數和公式即可求解，再令x=l,即可求出各項系數和.

本題考查了二項式定理的應用，考查了學生的運算能力，屬于基礎題.

13.【答案】［-但向

【解析】

【分析】

本題考查利用導數研究函數單調性，導數的運算，考查轉化思想，是基礎題.

由求導公式和法則求出r(x),由題意和導數與函數單調性的關系可得：((乃式0在/?

上恒成立，利用二次函數的圖象和△列出不等式，求出實數。的取值范圍.

【解答】

解：由題意知，/(%)=—X3+ax2—%—1,

則尸(x)=-3x2+2ax—1,

???/(x)=-x3+ax2-x-1在R上是單調函數，

??f'(x)——3x2+2ax-1<0在R上恒成立,

則^=(2a)2-4x(-3)x(-1)<0,解得一次<a<V3,

.??實數a的取值范圍是［一

故答案為：［—B,b］.

14.【答案】2

_

【解析】解：由的=anan+1+1=an,nG.N*可依次求得a?=0-3=2,a4=

…，可知數列似“｝各項值以3為周期進行周期性變化，所以。2022=。3=2.

故答案為：2.

由的=：,anan+1+1=an,neN*可依次求得a2,a3,a4,■■■,然后根據周期性可得

。2022值?

本題考查數列遞推公式應用，考查數學運算能力及推理能力，屬于中檔題.

15.【答案】①④

【解析】解：①因為當x<。時，/(x)=/>o,g(x)=1<0,所以直線y=0為f(x)和

g(x)的“隔離直線"，所以①正確，

②，因為y=—x+b為/(x)和g(x)的“隔離直線”，所以/z—x+b恒成立，所以bW

x2+x=(x+|)2—即bS

同時:〈一x+b(x<0)恒成立，所以b2x+：(%<0)恒成立，因為％+1=-(-%+

<-2J(-x)-=-2,當且僅當一工=一；，即x=—l時，取等號，則匕2-2.綜上

—2<b<-J,所以②錯誤，

對于③④，設f(x)=/，。(工)=i(x<0)之間的隔離直線為y=kx+b,B|k2>kx+b,

x2-kx-b>0恒成立，所以4=fc2+46<0,所以匕<0,

因為：0依+V0),所以依2+以一i工oQvo)恒成立，當人>0時，不合題意，

當k=0,b=0時，符合題意，

當々V0時，令y=/c%2+bx—i,對稱軸為％=一嘏工0,所以只需滿足/72+軟式0.所

以<一4"且/<-4fc,所以d<16b2<-64k,所以一4<k<0.,同理可得一4<b<

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0,

所以f(x)和g(x)之間一定存在“隔離直線“，且b的最小值為-4,f(x)和g(x)之間有

無數條“隔離直線”，且實數k不唯一，所以③錯誤，④正確，

故答案為：①④.

根據“隔離直線”的定義，建立不等式關系，根據不等式恒成立分別進行判斷即可.

本題主要考查不等式恒成立問題，根據“隔離直線”的定義轉化為不等式恒成立是解決

本題的關鍵，是中檔題.

16.【答案】解：(/)由題意可得2(。3+1)=+。4，

即2(4%+1)=2%+8%,

解得：臼=1,

???數列｛即｝的通項公式為an=2-1；

n

(〃泡=an+log2an+1=2t+n,

Tn=br+b2+b3A------+-bn

=(1+2+3+…+n)+(2。+2】+2?+…+2n-1)

_n(n+l)1-22_n(n+l),2?_t

―21-2-2'

【解析】本題考查等差數列的性質和等比數列的通項公式，考查了等比數列的前"項和,

屬于較易題.

(/)由題意可得2(d3+1)=+&4，由公比為2,把&2、。3、口4用為表示，求得心，可

得數列的通項公式；

(〃)利用已知條件轉化求出數列的通項公式，然后用分組求和法求解數列的和即可.

17.【答案】解：(/)記“射手射擊3次，伶有2次擊中目標”為事件A,

因為射手每次射擊擊中目標的概率是|,

所以P(4)=廢x?2x(l—|)=g；

(〃)由題意可得，X的可能取值為0,1,2,3,6,

P(X=0)=(1一|)3=/；p(x=l)=cix|x(l-|)2=|；

P(X=2')=-x-x-=-lP(X=3)=-x-x-+-x-x-=-,

P(X=6)=(|)3=*

所以X的分布列如下：

X01236

12488

P

279272727

因止匕，E(X)=0x±+1x|+2x±+3xA+6x±=g.

【解析】(/)先記''射手射擊3次，恰有2次擊中目標”為事件A,根據題中條件，即可

得出結果；

(〃)先由題意確定X的可能取值，求出對應概率，進而可得出分布列，再由分布列求出

期望即可.

本題主要考查獨立重復試驗，以及離散型隨機變量的分布列與期望，熟記概率計算公式,

以及分布列與期望的概念即可，屬于中檔題.

18.【答案】解：(團)由((%)=3ax2+2bx,

當x=l時，的極值為-3,

-{/(??=-3'解得{'I

(助由(圈)可得f(x)=6x3-9x2,

不等式/(%)+2m2—m>0對任意%>0恒成立，

等價于/(%)>m-2/對任意%>0恒成立，即f(x)min2m2.

/'(%)=18x2—18%,

由/(%)>0得％<0或%>1,由/'(x)<0得0V%V1,

???函數/(%)的單調遞增區間是(一8,0)和(1,+8),單調遞減區間是(0,1),

.?.當x=1,y(x)min=/(1)=-3,

—3>m—2m2,BP2m2—m—3>0,

:.m<-1或zn>I，

即實數m的取值范圍是(-8,-l]U[|,+8).

【解析】(團)求出函數的導數，解關于導函數的不等式組，即可求出”，匕的值；

(團)問題轉化為f(x)>m-27n2對任意久>0恒成立，利用導數求出/(x)的最小值，從而

求出，〃的范圍即可.

本題考查了函數的極值與最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，屬于中檔題.

19.【答案】解：(回)抽取的5人中男員工的人數為於x27=3,

女員工的人數為5x18=2.…(4分)

(日)由(回)可知，抽取的5名員工中，有男員工3人，女員工2人.

所以，隨機變量X的所有可能取值為1,2,3.

根據題意，P(X=1)=萼=*P(X=2)=萼=1,P(X=3)=等=)

GcXUGeXUUgXU

隨機變量x的分布列是：

X123

361

P

101010

數學期望EX=1X^+2XA+3X±=12==凱.（10分）

（團）sg=S/L（13分）

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【解析】(團)利用抽取的比例即可得出.

(圖)由(團)可知，抽取