2021年高二上學期期末考試數學試卷Word版含答案

一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，將答案填在答題紙上）

1.若直線經過兩點，，則的傾斜角為.

2.拋物線的焦點到其準線的距離為.

3.已知兩條直線，，則與的距離是.

4.函數的圖象在點處的切線方程為.

5.一質點的運動方程為（位移單位：；時間單位：），則該質點在時的瞬時速度為

6,若函數在區間上的最大值是，則實數的值為.

7,將一個圓錐沿母線剪開，其側面展開圖是半徑為的半圓，則原來圓錐的高

為.

8,設是等腰三角形，，則以，為焦點且過點的雙曲線的離心率是.

9,關于異面直線，，有下列四個命題：

①過直線有且只有一個平面，使得；②過直線有且只有一個平面，使得；

③在空間存在平面，使得，；④在空間不存在平面，使得，

其中，正確命題的序號是（把所有正確命題的序號都填上）.

10,在平面直角坐標系中，已知點，直線.點是圓上的動點，，，垂足分別為，，則線段的最大值是

11,已知三棱錐的各個頂點都在一個半徑為的球面上，球心在上，底面，，則球的體積與

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三棱錐體積之比是.

12.如圖，在平面直角坐標系中，，分別是橢圓()的左、右焦點，，分別為橢圓的上、

下頂點，直線與橢圓的另一個交點為，若，則直線的斜率為.

13.如圖，一根長為

米的竹竿斜靠在直角墻壁上，假設竹竿在同一平面內移動，當竹竿的下端點從距離墻角點米的地

方移動到米的地方，則的中點經過的路程米.

14.已知函數(),若對于任意，不等式(其中是自然對數的底)恒成立，則實數的取值范圍

是__________

二、解答題(本大題共6小題，滿分90分.解答應寫出文字說明、證明過程或

演算步驟?)

15.(本題滿分14分)

已知的頂點，邊上的中線所在直線的方程為，邊上的高所在直線的方程為.

(1)求頂點的坐標；

(2)求直線的方程.

16.(本題滿分14分)

如圖，在三棱錐中，，，分別是棱，，的中點.已知，，，.

(1)求證：直線平面；

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（2）求證：平面平面.

B

17.（本題滿分14分）

某景點為了提高門票收入，需要進一步改造升級，經過市場調查，門票新增額（萬元）與改造投

入資金（萬元）之間滿足：（）.當時，景點新增毛收入（萬元）為門票新增額扣除改造投入資

金.

（1）求的解析式；

（2）若將定義為投入改造資金的收益率，試確定投入資金（萬元）的大小，使得改造資金的收

益率最高，并求出最高收益率.（參考數據：）

18.（本小題滿分16分）

如圖，圓內有一點，是過點且傾斜角為的弦.

（1）求弦的長；

（2）若圓與圓內切且與弦相切于點，求圓的方程.

19.（本小題滿分16分）

已知，是橢圓的左、右頂點，是其右焦點，是橢圓上異于，的動點，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）直線與過點關于軸的垂直交于點，當直線繞點轉動時，試判斷以為直徑的圓與直線的位置

關系，并加以證明.

20.（本小題滿分16分）

已知函數，，其中為常數.

（1）當時，試判斷的單調性；

（2）若在其定義域內為增函數，求實數的取值范圍；

（3）設函數，當時、若存在，對任意的，總有成立，求實數的取值范圍.

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蘇州市XX學年第一學期期末考試

高二數學（附加題）

21.（本小題滿分10分）

求函數的最小值.

22.（本小題滿分10分）

求與圓外切，且與軸相切的動圓圓心的軌跡方程.

23.（本小題滿分10分）

如圖，四棱錐的底面為正方形，側棱底面，且，，，分別是線段,，的中點.

（1）求直線與平面所成角的大小；

（2）求二面角的大小.

24.（本小題滿分10分）

已知拋物線（）的準線方程為.

（1）求拋物線的方程；

（2）設是拋物線的焦點，直線（）與拋物線相交于，兩點，記，的斜率之和為.求常數，使得對

于任意的實數（），直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

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蘇州市XX學年第一學期期末考試

高二數學答案

填空題：本大題共14小題'每小題5知共了。分.請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.

1.若直。經過兩點狀1次NEG4）,UIR的傾斜帝為..

答案；/

也設解法：直發/的斜率止二二［，其傾騰棄M滿足場（T二】，且。丘^聽，所以CI二烏

2-拋物線尸一的焦點到其準線的距離為,

答案：J.

建設解法；拋物攜的標槌方程是營=之叭焦點到椎線的距離斤I,

3-L2知兩條直線匕Fx+I3=0,侵：既I6y-9=0.貝U勺［姐的距離涯

答案：｝

建設解法,直線。的方程即為服十敏+&=J_兩平行直線［島間的距離"=理。樂

另解：點玳"一】）在直線h上'點P到上的距離d_L三三=

4.函＞j）=sirx的陽象在點S0J處的切戲方程為

建以釁法：，二&?三JT時，切金菱的制率*=；：明汗=—L所求的切線方程為｝*—0=——r）＞?即x+

y-a=0.

5一—質J.t的運動方程為3=/+10（偷.移血位：E；時間單.位：s）.劃該質，點在，=3時的境時速度為_ni/s.

答案3.

建說解法；因為廿俳=$'（「）=NL所以u（3）=&,

若函數丁口）=/-3/十奩在區間［-LL］上的最大值是2,劃變敝《的便為

答騷2.

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建議解法：f(x)=--6x=3?(7-2,易得F⑴在[-1.Q]L通增，^[D.1LisSM,所以「&inm=/P)三亞=2.

7.將一個圓錐沿母^啊開’其例面1展開圖是半役為2的華圓，則原來圓鐐的高為

建議解法：設圓鉗的圖為人底面華徑為人母線氏為/=2.則2xr=Jt/=2n.即r=1.

所以h=7口-廠=

8.設2BC是等腰三角豚ZABC=120?.則以A.B為焦點且過點C的雙曲線的離心率是

答案：、一.

建議解法；不妨設A8=ec=l.則AC=百，離心率e=與=-^―=空L

2a12

關于異面直線“，石有下列P-I個命題；

①過直倍有」L只有一個平面爪使得"氏彳勤過宜線H有II只有一個平面爪使得&_LP3

③在空間存在平面研使得勃此城們函在空間不存在平面#,使帚IL^ALfi.

其中，/E碰命題的序號是（把所有iE〈-的序號都質上）1

答案：①③④一

建議解法：

M.在平面直角坐標系上口了中，已知點A（0“2>.百.踐仆x4-y-4=0.點6應力是圓匚：『+f-2

I?.的動以〃±,近乂,垂足分別為少E,則既段PE的鼠大值是

答案；注

業誤解法：圓匚；（X->=2,圓心為匚（LU、半徑1-MI

AC-（i「2）在直線r的方向向fir=（J,-l）上的it澎長為d

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1L已知上校篥S-胸的答個頂點都住?個半徑為『的球面上，球心.在上，SO_L底面4陽4C=則球的體枳

上J詢i排體枳之比是.

答案:4re.

地議解法3底面△漳且仁內接于球的大圓，所以|》C=￡C=：蜂T曲w§△細1阮=擴一

2.1

]么如圖.在平面直角坐標系匚（為中，舄,當分別是柿圓r5〉。）

的左一右焦點.艮c分別為捅罔的匕卜頂點，直線房與幗周的另一個

交點為心若皿方8。=%則直投〃的辯率為

也議解法：由如□?&瞧二一￡得虹凸?（1\11\-虹肺認業二“'，砰c4T

本題4」r>.6X=5：4：3、

J3-如圖.一根長為2米的竹竿AJ?斜靠在直角埼壁I、假設竹竿在同?平面內移動.當y

竹竿的卜端」."A從距離崩帝6點】米的地方移動到由米的地方,

則四的中點〃經過的胳程為.

AA，*

答案：,?-

地區解法：點。的路經是：以。為圓心，1為爭徑的圓瓠，圓心角為§頻長為￡米一fltl

Li知函數/（.XI=a-rlufl（tl<￡T<1）”若對于任意re[-L1J,不等式/（J）c-1（其中仁是自然文寸散

的底）恒借立■,則笑數時取值范闈是_

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二.解答題；本大題共占小題，共計90分.靖在答題卡指定整域內作答「解答時應寫出文字說明、證明過程或

演算步騷，

15.（本小題滿分14分）

已知的頂點jfiABI：的中線匚財所在歐J線的方程為兇一甘-5=0.liACL的高EH所在F渦￡的方程

為耳一芬一S=吐

⑴戒頂以匚的坐標；

⑵求直線優1的方程一

解：

（I）因方丸匚與垂直，所以直^孔匚的一個法向覽為（NIL直稅AC的

方程為2K工?5）*3?1）二（L即如中y-H=0.

分

點c是1T線〃1與CM的交點一

由',得口4玖..............................T分

（Zx+y-II二0.

C2）由點B在宜堤EH：J-2y-5=0.11,討設頂站十5JL）,

用JA百的中點M①+5.導）在H線匚AL2r-v-5=01一

即羽*]0-史fl-5=0,解得/?=-知所以B(-1-￡.1I分

因為我=1所以屯戢占仁的方程為尸+3=?”+1）,即&*一力一9=。14分

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臨，（本小題淌宗14）

如圖.在匚桂雉P—避療仁中，/XEF分別是棣PGM,部的中點,

已知PAA.AC,尸次=￡BC=1：PF=1

⑴求證；直平面DEF；

解；

⑴在AE4匚中，囚為口M分劃是2c4。的中舟,，所..................................…3分

又因為PAZ平面DEF、/'仁平面OEF,所以PA#平面DEF................................6

分

（2）因為OEF分別是PC,AC4?的中點，

所以DE==S,EF=；序。=4...................................................................................................8分

在中.DE?+Df2-=42-k32=25=斷以睥_EF.10分

由（1｝知心E//M,乂丹14c所以占EJJG

因ACnEf-E,力C跖匚平面所成f）E一平面4%.........................12分

因為DE口平面被5；所以平面8DE,平而乂￡E匚...................................14分

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J7.(長小題一滿分14介)

某時為r提高門票收入，需矍進一步改造升級.經過市場調查.門票新增額」(廳兀)“故造投入俺金XI

萬元)之間滿足：J=蹤/一A-x一xIn(ax)(.1x60J當式-1。時，g=102.景

點新增?毛收大為門票新增頗扣除改及“貧金

(｝求.=的解析式：

因若將乎定義為役人改造資金的收益率，試確定^人資金*!萬元｝的大小，使得改造資金的收益率金高，并

求出最高收益率」零考數據：ln5=L.6J)

解:

⑴把Jt=10時*s=102代入n=_Jt:x'+JC-J：

50100

102=102-10-M0-10KIDirt),即力=土......................................3分

所以廠爵-島‘十…咔"5財，

所職/(A〉=5-A=希F-點#-2C111(IXftfl).............................&苛

令=此停上二I成工二50.

列表如下！

ft1(頃50(30*?0>60

(14-0—

/梃大值X1

由上表可憫一￡(50)是報大他I，也是最大值.

點心麗'-g(5tl)=51—25—IF5=....................—1.61Z：24.3".......13

分

答」當投入資金5。萬兄時，改造資金的收益率最高，最高收益率24.39.....14分

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J8.（本心題淌分15命）

如圖.圓0：/十丁=8內有一點「（一」，鞏他是過點尸且使斜角為135,的弦.

⑴求蚣AF的長；

⑵若圓C與圓0內切且與炒4/相切于點巴求胸＜7的方程，

解：

（1）弦＞8所在的翎率為皿涉三T.

直綬方程為y—2一—（X+I）iN|IA：+y—1=0...................................................................2分

弦心距「==美....................................................................4分

所以弦長八8=2寸￡-小二\A30...........................................................................................................—..&

分

⑵日為阮C。曾腿相切于點〃所以圓心C在直線y=n3E.Vf

設圓心為e*玖廣又）一、、

蛔半徑F=b=衙+I）吉心4一邛=皿|5]|-?分A^N'

由兩C、與隔I。內切，得9。=2仍?小................-Io分-4_——A-\-------『J

fill\[（?+（?+3）-=2Vi-Vz\a-F11,*\''、j

用如一T心一一3匚''…I................................5'、-r

所'頃I苗c的方程為C+A+C-二,

或Z命+3-俞■峭..........................................比分

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J9（本小題滴分話奪）

已知4（-2,0）,是橢圓C的左、右頂點，F是同；右焦戌.〃是橢同“毋于九8

的如LI|△洛尸臼面段的最大便為2v3.

⑴求me的方程及高心率：

⑵直線AP與過點夕美頊Jt軸的整線交于點口與直線1.〃繞點力轉幼

M.試判斷以fiD為直徑的^與tt綬仔?的位置關系，并加以證明一

解：

（I匕由題意.得I隊的最大值為尚.所以以a二四展而H,1.................................2?分

fflfj圓C,的方’程為守為■二1.其離心率#=!.....................................4分

⑵由⑴如屋皿?設以月口為直糅的圓的圈心為州已嘰則半役r=刑I.DQW.&分

P（\y0）,14P.O共金戔，得切1刪財卜勤.......................................8砰

宜稅FF的方程為＞o（A-1）--l）y=0..........................................I.分

圓心,獷到宜戲期的距高j-幅*一叫.二牛5〃叫

|/而貝-羅―茨+W知-

皿=阿一命=阿一州=同"J12_3蚌十4（刊一TP.............................V〈'~"尸

所以以fij）為宜徑的圓與住姓PF總相切............................................16分

說明實際」、「1線口召的法向kM一（歹成一（Jr。-I）,的模In|=卜釗?=a--ex'=2

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20.（本小題滿分\6鉗

匕知函數/上=lnx-~,fir—61nA.其中舟EF為常數.

X

⑴當也二I時.試判斷了⑴的恨調性：

（2）若就砂在M提義域內為增函數.求實數，的取值范圍：

（3）設函數血（洋）-X2-?HX+4,當皿=,時！I若存存口仁（QIL文寸任意的xae11,21,總有&內）￥人（3））成立，求

實數“仙取值范圍，

（1）*口=I時，＜（x＞』in*-?的定義域為皿4-M）.

因為tAU在是乂設'上恒成立.

所以而犬一！在定義域0+8）1?.是單圈逆增函數.....................................3分

(z)g(j)=J.v-----5InJt的定義域為皿,

因為、（x＞在皿4gj阿是增函數,

所以多3=占+分一{=竺三二引材-。0恒成"?....................................5分

I且H：P~z_L：/t＞{[ti'i.........................................../—

\x+i-

|山基本不等式."i工=1網.蘭L=/+J的:坡小值如一所以疽」.的坡人但為=Kx~X~=1

I所以二；,即實裁11的取值范闈是1；.+8）一.........................................9分|

3。-2|=j上"x）=2i-i-51nx.*。）一徑工——?-

易得U又砂在（。.；II'.遞增，I；nL：速敞所以此點校9=5]心-3......................12分

由二次雨數/）（鶴的圖象如」松少瞄={mi靜⑵}g...................-...................14分

形￥8—5吊211*.一

所以」y.

51n2—38—為訴m4-Ln2,

右Xa-■I

T■-16|

而(8—5ln2)■(￥ETIn2)=(I=In2)>0,所以得wi#8■'

綜1?.所述，實數加的取值范市是18-5hi2.+皿.........

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2].（本小題滿分10分）求函數/（x）=h—2—+x的最小值.

1X4-L

1（1;.）———■e

解：函數，（力==-Jnf2.\+114的廷義■域為十世）■r.,-

，%

-十［=—

2xt2xf1

令，E被fX■=*.....................4分

列表如下；

才J1L?（扣g）

°+.....■■-，.&分

梃小值/

由上表可如'In=；時，，⑴取槌小值，也是最小慎，

所以/{"）麗—/（；）二-

22.（曼小題滿余10窩）

求與圓C：外切’且與p軸相切的動is圓心M的軌跡方程.

，、腓：F卜護一帖三o的標準方程為Qc-衛滬+護三

圈心為匚0Q>,半徑為1...............2分

I設動圓的圓心為MO,PI,平被為己則」一、十七......................史5分

H|x|=r>0,

■叩v'（x~2）2十/=w+；閔（jc尹o）...........

”.....................&分

化簡.得/=4*+41jcL（A0}...........R分

HP>=O（.v<ojnfeJ!=8jt（i>ck

所以動同圓心的時通方程為JJ=O（2C<□）或y2=（X>a）................................10

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23.（協小題滿分分）

如圖.四-力威力的底面為正方形.僅4樓PM_L底面ABCD.

I[PAR）=2.EF,，分別是^段27%力￡的中點”

⑴求I擻AH忖平面以//所成角的大小i

⑵求二而角H-EF-A的大小

解；以酷舌.而I天戶｝為正交基底向量建立空同1”；常嫖標系A-#加

則&D.ILOL<1(2,0.0)入C(Zp2pO)t0皿40),F(0H01.2)T￡(0.0FI),F(0.LTD#I分

(|>A77=(1.0.0),FF=(O,ko),'Ti=(],oT-i),

設平面ETH的一個法向量為Frt=0￥、疝

由m/成FN1EH.■（晶手妨取.........................3分

一卜一二=（1