2.1 圓的方程【知識點梳理】知識點一：圓的標準方程(xa)2(yb)2r2，其中Ca,b為圓心，r為半徑．知識點詮釋：a0，圓的方程就是x2

y2

r2．有關圖形特征與方程的轉xby|arx|br|a|br；a2b2r2圓的標準方程(xa)2

(yb)2

r

圓心為a，b，半徑為r，它顯現了圓的幾何特點．標準方程的優點在于明確指出了圓心和半徑．由圓的標準方程可知，確定一個圓的方程，只需要a、b、r這三個獨立參數，因此，求圓的標準方程常用定義法和待定系數法．知識點二：點和圓的位置關系如果圓的標準方程為(xa)2yb)2r2，圓心為Ca,b，半徑為r，則有若點Mx,y0 0若點Mx,y0 0若點Mx,y0 0

在圓上CMrx0在圓外CMrx0在圓內CMrx0

a2y0a2y0a2y0

bbb

r2r2r2知識點三：圓的一般方程D2E24F0時，方程x2y2DxEyF0叫做圓的一般方程．DE為圓心， 1D2E1D2E24F22為半徑．2知識點詮釋： D2 E2

D2E24Fx2y2DxEyF0得x2y

2 4 D E (D,E)D2E24F0x

,y2 2

．它表示一個點

2 2 ．當D2E24F0（當D2E24F012D212D2E24F以看出方程表示以

2,2為圓心，

為半徑的圓．知識點四：用待定系數法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系數法”．用“待定系數法”求圓的方程的大致步驟是：根據題意，選擇標準方程或一般方程．根據已知條件，建立關于rF的方程組．rF知識點五：軌跡方程y之間的方程．當動點滿足的幾何條件易于“坐標化”時，常采用直接法；當動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時，常采用定義法；當動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法（點法．求軌跡方程的步驟：建立適當的直角坐標系，用(xy表示軌跡（曲線）上任一點M的坐標；y的方程；把方程化為最簡形式；除去方程中的瑕點（即不符合題意的點；作答．【題型歸納目錄】題型一：圓的標準方程題型二：圓的一般方程題型四：軌跡問題題型六：圓過定點題型七：與圓有關的對稱問題【典型例題】題型一：圓的標準方程例1（202·貴州·高二學業考試）圓心在坐標原點，半徑為2的圓的標準方程是（ ）A．x2y21C．x2y23

B．x2y24D．x2y26例（202·重慶南開中學高一期末）與直線y 3x切于點A( 3,3)，且經過點B(3 3,1)的圓的方程為（ ）A．(x3)2(y 3)224

B．(x 3)2(y1)216C．(x 3)2(y1)216

D．(x

2(y2)243)例（202·全國·高二專題練習）過點(1,1)B(3,5)，且圓心在直線2xy20上的圓的方程為3) ．例（202·河北唐ft·高二期中）圓心在直線2－310上的圓與x軸交于A（，0、（，）兩點，則圓的方程．例（202·江蘇·高二單元測試）求滿足下列條件的圓的標準方程．x5B6,1AB為直徑；y=2xy=1x相切于點2,1；（4）圓心在直線x2y3=0上，且過點A2,3，B2,5．例（202·全國·高二課時練習）求圓x2y22x2ay40(aR)的半徑的最小值．【方法技巧與總結】和半徑．確定圓的方程的主要方法是待定系數法，即列出關于r的方程組，求abra,和半徑，一般步驟為：（）(xa)2(yb)2r2（）b、r的方程組；（3）解方程組，求出b、r題型二：圓的一般方程例（202·安徽·南陵中學高二階段練習）已知圓M經過點A2,2，B4,6，C4,2．求圓M的方程；例（202·全國·高二課時練習）已知一個等腰三角形底邊上的高等于，底邊兩端點的坐標分別是4,0 (4,0)，求它的外接圓的方程．例（202·福建·廈門大學附屬科技中學高二期中）已知ABC的三個頂點分別為A4,0,B0,2,C2,2，求：AB邊中線所在的直線方程ABC的外接圓的方程ABC例1202·北京十五中高二期中）已知圓C：x2y24y0，則圓C的坐標 ，圓C的半徑為 ．例1（202·江蘇·高二）圓x2y22x4y60的圓心和半徑分別是（ ）1111A．1,2，11 B．1,2，11 C．1,2， D．1,2，1111例1202·全國·高考真題（文）過四點(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為 ．例1202·廣東·汕頭市潮陽區河溪中學高二期中（1）求過點A5l的方程．（2）已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey－6＝0，圓心在直線x＋y－2＝0上，且圓心在第二象限，半徑長為4，求圓的一般方程．【方法技巧與總結】題型三：點與圓的位置關系例1202·河南·溫縣第一高級中學高二階段練習（文）若坐標原點在圓x2y22ax2ay2a2a10內，則a的取值范圍．例1202·河南·油田一中高二階段練習（文）已知點(a,2)在圓x2y22ax3ya2a0的外部，則a的取值范圍是（ ）A．,9 B．9,

C．2,9 D．2,94444 4444 例1202·安徽省亳州市第一中學高二階段練習）已知點A2,1在圓：x2y22xmy20的外部，則實數m的取值范圍為（ 2,A．3,2,

3,B．3,C．2, D．3,例1（多選題202·河北·衡水市第十四中學高二階段練習過點F3,0可作兩條直線與圓C：x2y22x4ym0相切，則實數m可能取值為（ ）A．0 B．1 C．-3 D．4【方法技巧與總結】O，半徑為r，則點P在圓內PQr；點P在圓上PQrP在圓外PQr(xa)2yb)2r2，圓心為A(a,b)，半徑為r ，則點Mx,y0 0

在圓上x0

a2y0

b

r2；點Mx,y0 0

在圓外(x0

a)2(y0

b)2r2Mxy0 0

在圓內x0

a2y0

b

r2．題型四：軌跡問題例1202·ft東·德州市教育科學研究院三模）面內到兩定點距離之比為常數k(k0,k1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．在平面直xOyB(2,0)，點

滿足|MA|2，則點|MB|

的軌跡方程為（ ）A．(x4)2y216 B．(x4)2y216 C．x2(y4)216 D．x2(y4)216例1202·安徽滁州·二模（文）已知AB為圓C:x2y22x4y30P為弦AB的中點，若則點P的軌跡方程為（ ）1A．(x1)2(y2)2 B．(x1)2(y2)21141C．(x1)2(y2)24

D．(x1)2(y2)21例2（多選題202·江蘇·高二專題練習方程22x2y22y0（，不全為零，下列說法中正確的是（ ）當0時為圓當0時不可能為直線當方程為圓時，滿足0yx例2202·吉林·希望高中高二期末）若兩定點，B的距離為3，動點M滿足MA2MB，則M點的軌跡圍成區域的面積 例2202·四川·南部縣第二中學高二階段練習（文）已知圓C的圓心在直線l:2x7y80上，A6,0B1,5兩點．求圓C的標準方程；P0,1的直線l與圓CMNMN中點Q的軌跡方程．例2202·四川省資陽市雁江區伍隍中學高二開學考試（理）如圖所示，等腰梯形D的底邊6xABOABCD6和6

，高為3．（1）求等腰梯形ABCD的外接圓E的方程；（2）若點N的坐標為，2，點M在圓E上運動，求線段MN的中點P例2202·江蘇·高二）已知圓C過三個點M(1,0),N（1）求等腰梯形ABCD的外接圓E的方程；求圓C的方程；過原點O的動直線l與圓CBAB的中點M的軌跡．例2202·全國·高二課時練習）已知A2,,B(4,9)，動點P滿足APB9，求動點P的軌跡．例2202·全國·高二課時練習）已知圓C經過1，3，，）三點．C的方程；ACB8,15M

，求點M的軌跡方程．2 2 【方法技巧與總結】

AM2MB用直接法求曲線方程的步驟如下：建立適當的直角坐標系，用(xy表示軌跡（曲線）上任一點M的坐標；y的方程；把方程化為最簡形式；除去方程中的瑕點（即不符合題意的點；作答．題型五：二元二次曲線與圓的關系例2202·江蘇·高二單元測試）若方程x2y22kx4y3k80表示一個圓，則實數k的取值范圍是 ．例2202·廣東·高二期中）已知R，方程m22y2x4ym0表示圓，則圓心坐標．例2202·江蘇·高二單元測試）若曲線：x2y22ax4ay10a0表示圓，則實數a的取值范圍為（ A．2,0C．2,0

B．,20,0,D．0,例3202·全國·高三專題練習）設甲：實數a；乙：方程x2y2x3ya0是圓，則甲是乙的（ ）C．充要條件

必要不充分條件D例3（多選題202·江蘇無錫·模擬預測關于曲線：x

y

2x2y，下列說法正確的是（ ）曲線C圍成圖形的面積為8曲線所表示的圖形有且僅有條對稱軸曲線D．曲線是以為半徑的圓1y2例3202·全國·高一）畫出方程x1y2

表示的曲線．例3202·四川巴中·高二期中）已知方程x2y22cosx4siny4sin2sin1表示圓．求的取值范圍．求該圓半徑的最大值．【方法技巧與總結】方程x2y2DxEyF0表示圓的充要條件是D2E24F0，故在解決圓的一般式方程的有關12D212D2E24F問題時，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為

2,2，半徑r題型六：圓過定點例3202·全國·高三專題練習）判別方程x2y22kx(4k10)y10k200（k為參數，k?找出通過定點的坐標．例3202·全國·高三專題練習）求證：對任意實數a2，動圓(a2)x2(a2)y24x2a0恒過兩定點．例3202·全國·高二專題練習）已知點P2,3和以Q為圓心的圓xm2y24．求證：圓心Q在過點P的定直線上，當m為何值時，以、Q為直徑的圓過原點．例3202·浙江省東陽市第二高級中學高二期中）點Px,y是直線2xy50上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經過定點（ ）A．0,0和 B．0,0和2,2 C．0,0和 D．0,0和2,1合并參數題型七：與圓有關的對稱問題例3202·全國·高二專題練習）已知圓x2y2axby10關于直線xy1對稱的圓的方程為x2y21，則ab＝ ．例3202·江蘇·高二課時練習）已知圓：x2y2DxEy120關于直線＋2－40對稱，且yC的標準方程．例4202·上海市第三女子中學高二期末）圓x22y25關于直線xy0對稱的圓的方程為 ．例4202·河北唐ft·高二期中）點N是圓x2y2kx2y40上的不同兩點，且點N關于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑等于（ ）22A．2 B． C．3 D．922例4202·全國·高三專題練習）圓x2y22x4y40關于直線xy10對稱的圓的方程是（ ）A．(x3)2y216C．x2(y3)216

B．x2(y3)29D．(x3)2y29例4202·陜西渭南·高一期末）若圓x22xy20與圓C關于直線xy0對稱，則圓C的方程為（ ）A．x22xy20 B．x2y22y0 C．x2+y2+2y

D．x22xy20例4202·全國·高三專題練習）已知圓x2y24關于直線axby10（a，b0）對稱，則12的最小值為（ ）a bA．52

B．9 C．4 D．8例4202·北京·高考真題）若直線2xy10是圓(xa)2y21的一條對稱軸，則a（ ）12

12

D．1【方法技巧與總結】圓的軸對稱性：圓關于直徑所在的直線對稱圓關于點對稱：①求已知圓關于某點對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程②兩圓關于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點圓關于直線對稱：①求已知圓關于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程②兩圓關于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線【同步練習】一、單選題1（202·安徽省宣城中學高二期末）已知直線axby10(ab0)過圓(x12(y122022的圓心，則a2b2的最小值為（ ）A．12

B．1 C．222

D．22（202·北京十五中高二期中）經過三個點(0,B(2 30,C(2)的圓的方程為（ ）A．x 32y22 B．x 32y22C．x 32y24

D．

32y243（202·江蘇·高二單元測試）已知從點5,發出的一束光線，經x軸反射后，反射光線恰好平分圓：x2yA．2x3y10C3x2y10

5的圓周，則反射光線所在的直線方程為（ ）B．2x3y10D．3x2y14（202·全國·高二課時練習）由曲線yx與x2y24所圍成的較小區域的圖形面積是（ ）π4

π C．3π4

D．3π25（202·江蘇·高二單元測試）曲線x2y22x4y圍成的圖形的面積為（ ）．8+1πPAPBB．16+10π C．5π D．56（202·河北保定·高二期末）A，B的距離之比為定值（0，且1）PAPB尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系xOy中，A4,0，B2,0，點P滿足

2，則點P的軌跡的圓心坐標為（ ）A． B．

C．4,0

D．2,07（202·全國·高三專題練習）圓x2y+2

2關于直線l：xy20對稱的圓的方程為（ ）A．x42y22C．x42y22

B．x42y22D．x42y22bab558（202·浙江金華·模擬預測）實數，b滿足a2 4 10bab5555A． 2a 255

B．9

a943C．23

b2

D．9

b94355二、多選題3559（202·江蘇·高二單元測試）設圓的方程是xa2yb

a2b2，其中a0b0，下列說法中正確的是（ ）該圓的圓心為bCx

該圓過原點D．該圓的半徑為a2b210（202·全國·高二）設有一組圓Ck：(xk)2(yk)24(kR)，下列命題正確的是（ ）不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上所有圓Ck均不經過點(0)經過點(2)的圓Ck有且只有一個所有圓的面積均為41202·全國·高二課時練習［多選題］若原點O0,0在圓x2y22axa22a10外，則a的取值可以是（ ）A．1 B．2

C．1D．22 312（202·全國·高三專題練習）古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：平面內到兩定點，Bλ（λ≠1）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標系xOy0B（0，點P

＝1．設點P的軌跡為C，則下列結論正確的是（ ）PAPB2PAPBC的方程為（x＋4）2＋y2＝9PDPE在x軸上存在異于A，B的兩點D，E使得 ＝1PDPE2A，B，PPO是∠APB的平分線在C上存在點M，使得MO2MA三、填空題13（202·全國·高二專題練習）在圓x2y22上與點(0,5)距離最大的點的坐標是 ．14（202·甘肅·高臺縣第一中學高二階段練習（文）過三點0,0，4,0，1,的圓的方程是 ．15（202·江蘇·高二）已知半徑為3的圓的圓心到y軸的距離等于半徑，圓心在直線3＝0上，則圓的方程．16（202·江蘇·高二專題練習）曼哈頓距離是由19世紀著名的德國數學家赫爾曼閔可夫斯基所創的詞匯，用來標明兩個點在標準坐標系中的絕對軸距總和．例如在平面直角坐標系中，點B2,5的曼頓距離為12353．已知動點N在圓x2y29上，點M3,4，則M,N兩點的曼哈頓距離的最大值為 ．四、解答題17（202·湖北·黃石市有色第一中學高二階段練習）已知ABC的三個頂點分別為(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：BCAD所在直線的方程；BC邊的垂直平分線DE的方程；ABC的外接圓方程．18（202·湖南·株洲市五雅中學高二期中）已知圓C的半徑為1，圓心既在直線y2x4上又在直線yx1上．求圓C的標準方程；19（202·全國·高二）直線l過點A1,2且與直線2xy10平行．求直線l的方程；求圓心在直線l上且過點O0,0、B的圓的方程．20（202·全國·高三專題練習（文）已知點P2,2，圓C:x2y28y0，過點P的動直線l與圓CB兩點，線段AB的中點為MO為坐標原點．（2）當|OP（2）當|OP||OM|時，求l的方程及POM的面積22202·全國·高二單元測試）xOy中，已知BC為圓2＋＝4上兩點，點A（1，，且AA，求線段BC的長的取值范圍．2.1 圓的方程【知識點梳理】知識點一：圓的標準方程(xa)2(yb)2r2，其中Ca,b為圓心，r為半徑．知識點詮釋：a0，圓的方程就是x2

y2

r2．有關圖形特征與方程的轉xby|arx|br|a|br；a2b2r2圓的標準方程(xa)2

(yb)2

r

圓心為a，b，半徑為r，它顯現了圓的幾何特點．標準方程的優點在于明確指出了圓心和半徑．由圓的標準方程可知，確定一個圓的方程，只需要a、b、r這三個獨立參數，因此，求圓的標準方程常用定義法和待定系數法．知識點二：點和圓的位置關系如果圓的標準方程為(xa)2yb)2r2，圓心為Ca,b，半徑為r，則有若點Mx,y0 0若點Mx,y0 0若點Mx,y0 0

在圓上CMrx0在圓外CMrx0在圓內CMrx0

a2y0a2y0a2y0

bbb

r2r2r2知識點三：圓的一般方程D2E24F0時，方程x2y2DxEyF0叫做圓的一般方程．DE為圓心， 1D2E1D2E24F22為半徑．2知識點詮釋： D2 E2

D2E24Fx2y2DxEyF0得x2y

2 4 D E (D,E)D2E24F0x

,y2 2

．它表示一個點

2 2 ．當D2E24F0（當D2E24F012D212D2E24F以看出方程表示以

2,2為圓心，

為半徑的圓．知識點四：用待定系數法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系數法”．用“待定系數法”求圓的方程的大致步驟是：根據題意，選擇標準方程或一般方程．根據已知條件，建立關于rF的方程組．rF知識點五：軌跡方程y之間的方程．當動點滿足的幾何條件易于“坐標化”時，常采用直接法；當動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時，常采用定義法；當動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法（點法．求軌跡方程的步驟：建立適當的直角坐標系，用(xy表示軌跡（曲線）上任一點M的坐標；y的方程；把方程化為最簡形式；除去方程中的瑕點（即不符合題意的點；作答．【題型歸納目錄】題型一：圓的標準方程題型二：圓的一般方程題型四：軌跡問題題型六：圓過定點題型七：與圓有關的對稱問題【典型例題】題型一：圓的標準方程例1（202·貴州·高二學業考試）圓心在坐標原點，半徑為2的圓的標準方程是（ ）A．x2y21C．x2y23

B．x2y24D．x2y26【答案】B2的圓的標準方程為x2y24故選：B例（202·重慶南開中學高一期末）與直線y 3x切于點A( 3,3)，且經過點B(3 3,1)的圓的方程為（ ）A．(x3)2(y 3)224

3)B．(x 3)2(y1)2163)C．(x 3)2(y1)216【答案】D【解析】設圓的方程為(xa)2(yb)2r2，

D．(x

2(y2)24根據題意可得3

3a23b23a21b23

r2r2，3b3 13a 33a23解得b2 ，r24所以該圓的方程為(x2 3)2(y2)24故選：D．例（202·全國·高二專題練習）過點(1,1)B(3,5)，且圓心在直線2xy20上的圓的方程為 ．【答案】(x2)2(y2)210【解析】設圓的標準方程為(xa)2(yb)2r2，，且圓心在直線2xy20上，1a21b2r210則有3a25b2r2，解得a2,b2,r102ab20故答案為：(x2)2(y2)210．

，所以所求圓的方程為(x2)2(y2)210．例（202·河北唐ft·高二期中）圓心在直線2－310上的圓與x軸交于A（，0、（，）兩點，則圓的方程．【答案】(x2)2(y1)2＝2【解析】由題意得：圓心在直線x2上，又圓心在直線2x3y10x2y1M的坐標為(2,1)A(1,0)，(21)2(10)22半(21)2(10)22則圓的方程為x2)2y1)22故答案為：x2)2y1)22例（202·江蘇·高二單元測試）求滿足下列條件的圓的標準方程．x5B6,1AB為直徑；y=2xy=1x相切于點2,1；（4）圓心在直線x2y3=0上，且過點A2,3，B2,5．）設圓的標準方程為xa2y225．因為點2,在圓上，所以2222，解得2或a，所以所求圓的標準方程為x22y225或x2y225．設圓的標準方程為xa2yb2r2r，由題意得a又因為點6,1在圓上，所以r2621229．所以所求圓的標準方程為x2y22．設圓心為

461，b13；2 2a2a11212因為圓與直線y=1a2a11212122122212x222．

，aa222a122CCx2y30C的坐標為又該圓經過、B兩點，所以CACB．2a32a322a322a322a5210r所以圓心坐標為半徑 ．10r故所求圓的標準方程為x2y210．例（202·全國·高二課時練習）求圓x2y22x2ay40(aR)的半徑的最小值．x2y22x2ay40(aR)x1)2ya)2a25a255故圓的半徑ra255當且僅當a0時等號成立5故圓x2y22x2ay40(aR)的半徑的最小值為5【方法技巧與總結】和半徑．確定圓的方程的主要方法是待定系數法，即列出關于r的方程組，求abra,和半徑，一般步驟為：根據題意，設所求的圓的標準方程為(xa)2yb)2r2；、、r的方程組；解方程組，求出b、r題型二：圓的一般方程例（202·安徽·南陵中學高二階段練習）已知圓M經過點A2,2，B4,6，C4,2．求圓M的方程；【解析】設圓的一般方程為x2y2AxByC0，把三個點代入得 442A2BC0 A 16364A6BC0，得B4 44A2BC0 C 所以圓的方程為x2y22x4y200即(x1)2(y2)225例（202·全國·高二課時練習）已知一個等腰三角形底邊上的高等于5，底邊兩端點的坐標分別是4,0 (4,0)，求它的外接圓的方程．【解析】由題意得，等腰三角形頂點的坐標為(0,5)或(0,5)．當頂點坐標為(0,5)時，設三角形外接圓的方程為x2y2DxEyF0，255EF

D0, 9164D 0,則4D164D 0, F16.9所以圓的方程為x2y25

y160．9當頂點坐標是(0,5)時，同理可得圓的方程為x2y2

y160．59 綜上，它的外接圓的方程為x2y2 y160或x2y2 y160．9 5 5例（202·福建·廈門大學附屬科技中學高二期中）已知ABC的三個頂點分別為A4,0,B0,2,C2,2，求：AB邊中線所在的直線方程ABC的外接圓的方程ABC（1）ABD(2,1)，則CD所在直線的斜率為3，43則邊所在直線的方程為y1 (x2)，即4y20．34（2）設的外接圓的方程為x2y2DxEyF0，4DF160 D2由2EF40 ，解之可得E2 2D2EF80 F 故的外接圓的方程為x2y22x2y80．例1202·北京十五中高二期中）已知圓C：x2y24y0，則圓C的坐標 ，圓C的半徑為 ．【答案】 （0，2） 2【解析】因為圓Cx2y24y0，即圓Cx2y2)24，所以圓C的圓心為，2，半徑為2．（022例1（202·江蘇·高二）圓x2y22x4y60的圓心和半徑分別是（ ）A．1,2，11 B．1,2，11 C．1,2，

1111D．1,2，1111【答案】D11【解析】先化為標準方程可得x2y21，故圓心為,2，半徑為 ．11故選：D．例1202·全國·高考真題（文）過四點(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為 ．【答案】x22y213或x22y25或

42

72

65或x3y3 9 8

169

x y2 ； 5 25【解析】依題意設圓的方程為x2y2DxEyF0，F0 F0若過0,04,01,1，則

4DF0 ，解得D4， 11DEF0 E 所以圓的方程為x2y24x6y0，即x22y213；F0 F0若過0,04,04,2，則

4DF0 ，解得D4， 44D2EF0 E 所以圓的方程為x2y24x2y0，即x2y25；F0F0 8若過0,04,21,1，則

1DEF0 ，解得D ，144D2EF

14 314E3x2y28x14y0，即

42

72

65；3 3 x 3

y 3 9 F1611DEF0 5 16若過1,1，4,0，4,2，則4DF0 ，解得D ，所以圓的方程為 544D2EF

E216 16

8

169x2y2 x2y 0，即x

y2 ；5 5 5 25故答案為：x22y213或x22y25或x42y7

65或 3

3 9 8

169

x y2 ； 5 25例1202·廣東·汕頭市潮陽區河溪中學高二期中（1）求過點A5l的方程．（2）已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey－6＝0，圓心在直線x＋y－2＝0上，且圓心在第二象限，半徑長為4，求圓的一般方程．5（1）l0y＝2x5x－2y＝0；∠當直線l在坐標軸上的截距不為0時，可設方程為x y 1，即x－y＝a，a a又l過點A2，，－5＝，＝，l的方程為l5x－2y＝0x－y＋3＝0．解法：由題意知直線的斜率一定存在．設直線的點斜式方程為－5（－2，5當x＝0時，y＝5－2k，當y＝0時，x＝2－．k5 5根據題意得52＝－－，解方程得k 或．k 2當k

5 5時，直線方程為－5＝－，即5－2＝0；2 2當1時，直線方程為－5＝1（，即－＋3＝．l5x－2y＝0x－y＋3＝0．（2）圓心C(D,E)，因為圓心在直線x＋y－2＝0上，所以DE20，即D＋E＝－4．∠2 2 2 2又因為半徑長r

4，所以D2＋E2＝40．∠D2D2E224D2 D6由∠∠可得 或E6 E2又因為圓心在第二象限，所以D

D，即D>0．則 故圓的一般方程為x2＋y2＋2x－6y－6＝0．【方法技巧與總結】

2 E6題型三：點與圓的位置關系例1202·河南·溫縣第一高級中學高二階段練習（文）若坐標原點在圓x2y22ax2ay2a2a10內，則a的取值范圍．【答案】1,1 2 2 【解析】依題意可知4a10，即a10,a1．由于0,0x2y22ax2ay2a2a10內，所以2a2a10,2a1a10，解得1a1．2所以a的取值范圍是1,1 2 21,1 2 2例1202·河南·油田一中高二階段練習（文）已知點(a,2)在圓x2y22ax3ya2a0的外部，則a的取值范圍是（ ）A．,9 B．9,

C．2,9 D．2,94444 4444 【答案】D【解析】由點在圓外知a2222aa32a2a0，即a20，解得a2，又x2y22ax3ya2a0為圓，則a224a2a0，9 9解得a

，故2a ．4 4故選：D．例1202·安徽省亳州市第一中學高二階段練習）已知點A2,1在圓：x2y22xmy20的外部，則實數m的取值范圍為（ 2,A．3,2,C．2,

B．2,23,D．3,【答案】A

22m280【解析】由題意，得22222m2

，解得

3m2，或

m2．故選例17（多選題（202·河北·衡水市第十四中學高二階段練習過點F3,0可作兩條直線圓C：x2y22x4ym0相切，則實數m可能取值為（ ）A．0【答案】ABD

C．3 D．4【解析】由題意，過點F3,0可作兩條直線與圓F在圓又由圓C:x2y22x4ym0，則滿足2022340m0且x2y25m0，解得3m5．結合選項，可得ABD符合題意．故選：ABD．【方法技巧與總結】O，半徑為r，則點P在圓內PQr；點P在圓上PQrP在圓外PQr(xa)2yb)2r2，圓心為A(a,b)，半徑為r ，則點Mx,y0 0

在圓上x0

a2y0

b

r2；點Mx,y0 0

在圓外(x0

a)2(y0

b)2r2Mxy0 0

在圓內x0

a2y0

b

r2．題型四：軌跡問題例1202·ft東·德州市教育科學研究院三模）面內到兩定點距離之比為常數k(k0,k1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．在平面直xOyB(2,0)，點

滿足|MA|2，則點|MB|

的軌跡方程為（ ）A．(x4)2y216 B．(x4)2y216 C．x2(y4)216 D．x2(y4)216【答案】B【解析】∠|MA|2，即|MA|2|MB|xx22y2x42x42y2

2 ，整理得x4)2y

16故選：B．例1202·安徽滁州·二模（文）已知AB為圓C:x2y22x4y30P為弦的中點，若則點P的軌跡方程為（ ）1A．(x1)2(y2)2 B．(x1)2(y2)21141C．(x1)2(y2)24

D．(x1)2(y2)21【答案】B2【解析】圓C即x1)2y2)22，半徑r2因為CACB，所以AB 2r21又PAB的中點，所以CP2AB11所以點P的軌跡方程為(x1)2(y2)21例2例2（多選題（202·江蘇·高二專題練習方程22x222y0（，不全為零，下列說法中正確的是（）當0時為圓當0時不可能為直線當方程為圓時，滿足0yx【答案】ACD

0 0A，由題可得0或0x2y22y0x2y22x0AB，當1,1yxBC，原式可化為(+x2(+y22x2y0，要表示圓，則必有0CD，只有0時，方yxD對．故選：ACD．例2202·吉林·希望高中高二期末）若兩定點，B的距離為3，動點M滿足MA2MB，則M點的軌跡圍成區域的面積 【答案】4AABx軸的非負半軸建立直角坐標系，如圖，設點M(x,y)，x2y2(x2y2(x3)2y2則A0,0，B0,3，

，化簡并整理得：(x4)2y24，M的軌跡是以點(4,0)為圓心，2為半徑的圓，其面積為M點的軌跡圍成區域的面積為．故答案為：4例2202·四川·南部縣第二中學高二階段練習（文）已知圓C的圓心在直線l:2x7y80上，A6,0B1,5兩點．求圓C的標準方程；P0,1的直線l與圓CMNMN中點Q的軌跡方程．（1）

,8，則ACBCr，Ct 7 tt6 2249 2t1 2t1 827513r13

，又圓心C3,2，圓C的標準方程為x32y22

13；Q（2） MN中點，CQMN，即CQPQ，QPQx,設Qx,y，則CQx3,y2， yPQx,例2202·四川省資陽市雁江區伍隍中學高二開學考試（理）如圖所示，等腰梯形D的底邊在x軸上，頂點A與頂點B關于原點O對稱，且底邊AB和CD的長分別為6和2 6，高為3．CQPQxx3y1y2x2y2例2202·四川省資陽市雁江區伍隍中學高二開學考試（理）如圖所示，等腰梯形D的底邊在x軸上，頂點A與頂點B關于原點O對稱，且底邊AB和CD的長分別為6和2 6，高為3．ABCDE的方程；若點N的坐標為，2，點M在圓E上運動，求線段MN的中點P的軌跡方程．（1）E(0,b，由已知可得：A(3,0),B(3,0),C( 6,3),D( 6,3)，由|EB||EC|得：6(30)2(0b)2( 0)2(3b)2b1，610∠圓E的圓心為E(0,1)，半徑為r ，10∠Ex2y10．（2）P(xyM(xy0 0

)，5x∠P為線段MN的中點，∠

0x x2x50 ，2y y2y2 2代入點M所在圓的方程得：

0y 0(2x5)2(2y3)210(x5)2(y3)25，2 2 2∠P的軌跡方程為(x5)2y3)25．2 2 2例2202·江蘇·高二）已知圓C過三個點M(1,0),N(3,2),R(5,0)．求圓C的方程；過原點O的動直線l與圓CBAB的中點M的軌跡．（1）設圓Cx2y2DxEyF0(D2E24F0)，1DF0因為圓C過三個點M(1,0),N(3,2),R(5,0)，可得943D2EF0，解得D6,E0,F5，255DF0所以圓Cx2y26x50，即(x3)2y24．（2）MAB的中點，且CMOM，所以M在以OC以OC為直徑的圓的方程為(x3)2y29，2 4x32y2

x5

x5 3x y2

9，解得 3 32 52 5或，2 52 5或， 2

4 y y

3 3M的軌跡方程為(x3)2y295x3)．2 4 3例2202·全國·高二課時練習）已知A2,,B(4,9)，動點P滿足APB9，求動點P的軌跡．A2,1B(4,9)P滿足APB，12PAB為直徑的圓上，其中圓心坐標為(1,5)，半徑為r12

AB5，P的軌跡方程為(xy5)225x2x．P的軌跡為以(1,5)為圓心，半徑為5A2,1B(4,9)．例2202·全國·高二課時練習）已知圓C經過1，3，，）三點．C的方程；2 AMACB8,2 AM

，求點M的軌跡方程．（1）Cx2y2DxEyF022D3EF0 D4 則有52325D3EF0 ，解之得E622022DF0 F4Cx2y24x6y40（2）設M(xyA(xy，2A A2則有AM(xxA

,yyA

)MB(8x,15y2MB(162x,152y)AM2MB，可得xx

162x，解之得x

163xAyy 152AA

y 153yA由點A在圓C上，得163x2153y24163x6153y40x2y212x12y710Mx2y212x12y710．【方法技巧與總結】用直接法求曲線方程的步驟如下：建立適當的直角坐標系，用(xy表示軌跡（曲線）上任一點M的坐標；y的方程；把方程化為最簡形式；除去方程中的瑕點（即不符合題意的點；作答．題型五：二元二次曲線與圓的關系例2202·江蘇·高二單元測試）若方程x2y22kx4y3k80表示一個圓，則實數k的取值范圍是 ．【答案】14,【解析】因為方程x2y22kx4y3k80表示一個圓4k21643k80，即k240，解得k4或k1．所以，實數k的取值范圍是14,14,例2202·廣東·高二期中）已知R，方程m22y2x4ym0表示圓，則圓心坐標．【答案】2,1【解析】由題意得m213m1，解得m1或2．5 5當時，方程為x2y24x2y

0，即x22y2 ，圓心為2,1；2 2m2

42

22 6當 時，方程為5x25y28x4y100，即x5y5 5，不表示圓． 故答案為：2,1例2（202·江蘇·高二單元測試）若曲線C：x2y22ax4ay10a0表示圓，則實數a的取值范圍為（ ）A．2,0C．2,0Bx2y22ax4ay10a0得xa2ya2a21a，由該曲線表示圓，可知5a210a0，解得a0或a

B．,20,0,D．,0,故選：B．例3202·全國·高三專題練習）設甲：實數a；乙：方程x2y2x3ya0是圓，則甲是乙的（ ）C．充要條件

必要不充分條件D【答案】B5【解析】若方程x2y2x3ya0表示圓，則22a10a0，解得：a ；525 5∠a

a a a3甲是乙的必要不充分條件．2 2故選：B．例3（多選題202·江蘇無錫·模擬預測關于曲線：x

y

2x2y，下列說法正確的是（ ）曲線圍成圖形的面積為8曲線所表示的圖形有且僅有2條對稱軸曲線所表示的圖形是中心對稱圖形曲線是以2為半徑的圓【解析】曲線【解析】曲線x2y22x2y如圖所示：2對于A：圖形在各個象限的面積相等，在第一象限中的圖形，是以1,1為圓心，2

為半徑的圓的一半加一個直角三角形所得，S1

12

221222，所以曲線圍成圖形的面積為S4S 2

48，故A正確；B，由圖可知，曲線所表示的圖形對稱軸有xyxB錯誤；C，由圖可知，曲線所表示的圖形是關于原點對稱的中心對稱圖形，故C正確；D，曲線D故選：AC1y2例3202·全國·高一）畫出方程x1y2

表示的曲線．方程x1 1y2表示的曲線為以A為圓心，半徑為1的圓的右半部分．【解析】由題意得：x，1方程x1 1y2表示的曲線為以A為圓心，半徑為1的圓的右半部分．例3202·四川巴中·高二期中）已知方程x2y22cosx4siny4sin2sin1表示圓．（1）求）求該圓半徑的最大值．（1）x2y22cosx4siny4sin2sin10表示圓，則有(2cos)24sin24(4sin2sin1)0sin2sin0，解得，而[0,2，則有0或，2 2所以的取值范圍是0或．2 2（2）由知0或，圓的半徑r2 2

1，124(124(sin2sin)(sin1)2124當且僅當sin1，即或2 6 6所以圓半徑的最大值為1．2【方法技巧與總結】

時取“=”，x2y2DxEyF0D2E24F0，故在解決圓的一般式方程的有關12D2E12D2E24F問題時，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為

2,2，半徑r題型六：圓過定點例3202·全國·高三專題練習）判別方程x2y22kx(4k10)y10k200（k為參數，k【解析】將原方程整理得xk)2y(2k5)]25(k1)20，5(即(xk)2[y(2k5)]2[ k1)]2，5(5方程表示圓心在(k2k5)5

|k1|的圓，將原方程整理為關于kx2y210y20k(2x4y10)0，x2y210y200,由2x4y100解得x1,y3,即圓過定點M(1,3)．例3202·全國·高三專題練習）求證：對任意實數a2，動圓(a2)x2(a2)y24x2a0恒過兩定點． 【解析】證明：圓系方程可化為x2y22a2x22y24x fx2y22a2x22y24x．∠f(a)0對aR（a2）恒成立，x2y220 x1 x1∠ ，解得 或 ．2x22y24x

y1 y1因此，圓系過定點(1,1)和(1,1)．例3202·全國·高二專題練習）已知點P2,3和以Q為圓心的圓xm2y24．求證：圓心Q在過點P的定直線上，當m為何值時，以、Q為直徑的圓過原點．【解析】（1）由題可知圓心Q的坐標為m1,3m，令xm1消去my3x3．y3m∠y3x3過點P2,3．∠圓心Q在過點Py3x3上．（2）∠、Q為直徑的圓過原點，∠OPOQ．∠31，2m1∠m2．11即當m

、Q為直徑的圓過原點．11例3202·浙江省東陽市第二高級中學高二期中）點Px,y是直線2xy50上任意一點，是坐標原點，則以OP為直徑的圓經過定點（ ）A．0,0和 B．0,0和2,2 C．0,0和 D．0,0和2,1【答案】D【解析】設點Pt,52t，則線段的中點為

t,52t，M

t2t25t24225t220t255t220t252OP

t2

5

25所以，以

為直徑為圓的方程為x2y

2 4 ， x2

y

tx

2t5

y0，即

225yt2yx0

，由2yx0

，解得x0

x2或 ，或因此，以為直徑的圓經過定點坐標為0,0、2,1．故選：D．【方法技巧與總結】合并參數

x2y25y0 y0 y1題型七：與圓有關的對稱問題例3202·全國·高二專題練習）已知圓x2y2axby10關于直線xy1對稱的圓的方程為x2y21，則ab＝ ．【答案】4【解析】圓x2y21的圓心是坐標原點0，半徑為1設0關于直線xy1的對稱點為n，mn2 2

m1則 ，解得 ，m n1 1 n所以點0關于直線xy1對稱的點的坐標為,1，因為圓x2y2axby10關于直線xy1對稱的圓的方程為x2y21，所以圓x2y21關于直線xy1對稱的圓的方程為x2y2，即x2y22x2y10，所以ab2，即ab4．故答案為：4．例3202·江蘇·高二課時練習）已知圓：x2y2DxEy120關于直線＋2－40對稱，且yC的標準方程．【解析】由題意知：圓心C(D,E)在直線x＋2y－4＝0上，即－D－E－4＝0．2 2 2又圓心C在y軸上，所以－D＝0．2由以上兩式得：D＝0，E＝－4，則x2y24y120，C的標準方程為x2y2)216．例4202·上海市第三女子中學高二期末）圓x22y25關于直線xy0對稱的圓的方程為 【答案】x2y2255【解析】圓x22y25的圓心為2,1，半徑為 ；5圓心2,1xy0對稱的點為2，所以所求圓的方程為x2y25．故答案為：x2y25．例4202·河北唐ft·高二期中）點N是圓x2y2kx2y40上的不同兩點，且點N關于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑等于（ ）22A．2 B．22【答案】C

C．3 D．9k k2x2y2kx2y4＝0的標準方程為2）2＋（y＋1）2＝54，5k5k24則圓心坐標為（－，－2

，半徑為r因為點M，N在圓x2y2kx2y4＝0上，且點M，N關于直線l：x－y＋1＝0對稱，所以直線l：x－y＋1＝0經過圓心，k 1 1 0 k 4所以－＋＋55k24

＝，＝．x2y24x2y4＝0，圓的半徑r

＝3．故選：C．例4202·全國·高三專題練習）圓x2y22x4y40關于直線xy10對稱的圓的方程是（ ）A．(x3)2y216C．x2(y3)216【答案】D

B．x2(y3)29D．(x3)2y29x2y22x4y40的圓心坐標為3設點xy10的對稱點為(mn，n21則m1m1n21

，解之得m3n0 2 2則圓x2y22x4y40關于直線xy10對稱的圓的圓心坐標為(3,0)則該圓的方程為(x3)2y29，故選：D．例4202·陜西渭南·高一期末）若圓x22xy20與圓C關于直線xy0對稱，則圓C的方程為（ ）A．x22xy2

B．x2y22y0 C．x2+y2+2y0 D．x22xy20【答案】C【解析】圓x22xy20的標準方程為(x1)2y21，其圓心為(1,0)，半徑為r1因為(1,0)關于直線xy0對稱的點為(0,1)，所以圓C的方程為x2(y1)21x2+y2+2y0故選：C例4202·全國·高三專題練習）已知圓x2y224關于直線axby10（a，b0）對稱，則12的最小值為（ ）a bA．52【答案】B

B．9 C．4 D．8【解析】圓x2y24的圓心為,2，依題意，點,2在直線axby10上，因此2b10，即a2b1a0,b0，∠1

21

2a2b5

2b

2a52

9，a b a b a b 2b2aa b，即ab12b2aa ba b 3所以12的最小值為9．a b故選：B．例4202·北京·高考真題）若直線2xy10是圓(xa)2y21的一條對稱軸，則a（ ）12【答案】A

12

D．1【解析】由題可知圓心為a0，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即010，解得1a ．2A【方法技巧與總結】圓的軸對稱性：圓關于直徑所在的直線對稱圓關于點對稱：①求已知圓關于某點對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程②兩圓關于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點圓關于直線對稱：①求已知圓關于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程②兩圓關于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線【同步練習】一、單選題1（202·安徽省宣城中學高二期末）已知直線axby10(ab0)過圓(x12(y122022的圓心，則a2b2的最小值為（ ）A．12【答案】A

B．1 C．222

D．2【解析】由題意得圓心為1，，因為直線axby10(ab0)過圓心，所以ab1，即a1b， 12 1所以a2b2

(1b)2b2

2b22b12b22， 所以當b1時，a2b2的最小值為1．2 2故選：A2（202·北京十五中高二期中）經過三個點(0,B(2 30,C(2)的圓的方程為（ ）A．x 32y22 B．x 32y22C．x 32y24

D．

32y24【答案】C【解析】由已知得，2)分別在原點、x軸、y軸上，ABAC，經過三點圓的半徑為r2 30,02

BC121231212302022

2，圓心坐標為BC的中點 2 2 ，即 ， 圓的標準方程為x 32y

4．故選：C．3（202·江蘇·高二單元測試）已知從點5,發出的一束光線，經x軸反射后，反射光線恰好平分圓：x2yA．2x3y10C3x2y10

5的圓周，則反射光線所在的直線方程為（ ）B．2x3y10D．3x2y1【答案】A【解析】設點A的坐標為5,，圓x2y

5的圓心坐標為B(1,1)，設C(x,0)是x軸上一點，因為反射光線恰好平分圓x2y2

5的圓周，所以反射光線經過點B(1,1)，

30 10 1由反射的性質可知：k k 0AC BC10 2

5x1x

0x ，2于是k 于是BC

1 3，所以反射光線所在的直線方程為：11( 2 y (x )2x3y10，3 22 故選：A4（202·全國·高二課時練習）由曲線yx與x2y24所圍成的較小區域的圖形面積是（ ）π4【答案】B

π C．3π4

D．3π2yx

化為yx,x0 ，x,x在同一坐標系中作出曲線在同一坐標系中作出曲線yx與x2y24的圖象（如圖所示，兩者所圍成的較小區域（扇形）是圓的，4其面積為S1πr21π4=π．4 4故選：B．5（202·江蘇·高二單元測試）曲線x2y22x4y圍成的圖形的面積為（ ）A．8+10π B．16+10π C．5π D．5【答案】B【解析】當x0,y0時，曲線方程為x2y22x4y0，x2y22由于x,y,x,y,x,y,x,y在曲線上，所以曲線關于x軸、y軸、原點對稱，由此畫出曲線的圖象如下圖所示：故曲線圍成的圖形的面積為4124π51610π．

52．22 22 PAPB故選：B6（202·河北保定·高二期末）A，B的距離之比為定值（0，且1PAPB故選：B尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系xOy中，A4,0，B2,0，點P滿足軌跡的圓心坐標為（ ）

2，則點P的A． B． C．4,0 D．2,0【答案】Ax42x42y2圓心為，0．

2 ，兩邊平方并整理得：x42y

16，xx22y27（202·全國·高三專題練習）圓x2y+2

2關于直線l：xy20對稱的圓的方程為（ ）A．x42y22

B．x42y

2C．x42y222D．x42y222【答案】A【解析】圓x2y+2點的坐標為a,b，b211a1

2的圓心為2，半徑ra4

，設圓心1,2關于直線l:xy20對稱的則 ，解得 ，即圓x2y+2

2關于直線l:xy20對稱的圓的圓心為1ab220 1 2 22半徑r ，2所以對稱圓的方程為x42y

2；故選：Abab58（202·浙江金華·模擬預測）實數，b滿足a2 bab5

510，則下列說法正確的是（ ）555A． 2a 255

B．9

a943C．23

b2

D．9

b94355【答案】B355bababb【解析】由題知abababb

10，即ab

ab4bab

abb1abbbabb即( 2)2babb

1)24，則(

2)2

1)24x

，y

的坐標系下，圓心5坐標為(2,1)，半徑為2的圓，a( ab)2( b)2表示的幾何意義為圓上一點到原點的距離的平方，55所以a( ab)2( b)25

2)2

2)2

94 5,94 5， 同理b( b)2[0,9