2023年高考數學模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數的大致圖象為A． B．C． D．2．過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線的兩天漸近線于,兩點，若為線段的中點，且（為坐標原點），則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．設是虛數單位，則“復數為純虛數”是“”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分不必要條件4．我國著名數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就，哥德巴赫猜想內容是“每個大于的偶數可以表示為兩個素數的和”（注：如果一個大于的整數除了和自身外無其他正因數，則稱這個整數為素數），在不超過的素數中，隨機選取個不同的素數、，則的概率是（）A． B． C． D．5．在中，內角的平分線交邊于點，，，，則的面積是（）A． B． C． D．6．若函數在處有極值，則在區間上的最大值為（）A． B．2 C．1 D．37．已知函數，關于x的方程f（x）＝a存在四個不同實數根，則實數a的取值范圍是（）A．（0，1）∪（1，e） B．C． D．（0，1）8．如圖是甲、乙兩位同學在六次數學小測試（滿分100分）中得分情況的莖葉圖，則下列說法錯誤的是（）A．甲得分的平均數比乙大 B．甲得分的極差比乙大C．甲得分的方差比乙小 D．甲得分的中位數和乙相等9．已知數列中，，且當為奇數時，；當為偶數時，．則此數列的前項的和為（）A． B． C． D．10．已知，是雙曲線的兩個焦點，過點且垂直于軸的直線與相交于，兩點，若，則△的內切圓的半徑為（）A． B． C． D．11．斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點，則的最大值為A．2 B． C． D．12．已知函數的圖像上有且僅有四個不同的關于直線對稱的點在的圖像上，則的取值范圍是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若展開式中的常數項為240，則實數的值為________.14．變量滿足約束條件，則目標函數的最大值是____．15．已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2，點P是上底面16．已知，則的值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答相應的問題.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足________________，，求的面積.18．（12分）以直角坐標系的原點為極坐標系的極點，軸的正半軸為極軸．已知曲線的極坐標方程為，是上一動點，，點的軌跡為．（1）求曲線的極坐標方程，并化為直角坐標方程；（2）若點，直線的參數方程（為參數），直線與曲線的交點為，當取最小值時，求直線的普通方程．19．（12分）已知是遞增的等差數列，，是方程的根.（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和.20．（12分）已知多面體中，、均垂直于平面，，，，是的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）已知函數，將的圖象向左移個單位，得到函數的圖象.（1）若，求的單調區間；（2）若，的一條對稱軸是，求在的值域.22．（10分）如圖在四邊形中，，，為中點，.（1）求；（2）若，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

因為，所以函數是偶函數，排除B、D，又，排除C，故選A．2、C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.∵為線段的中點，∴，則為等腰三角形.∴由雙曲線的的漸近線的性質可得∴∴，即.∴雙曲線的離心率為故選C.點睛：本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質，考查了離心率的求解，同時涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關系應用，對于求解曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于的齊次式，轉化為的齊次式，然后轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．3、D【解析】

結合純虛數的概念，可得，再結合充分條件和必要條件的定義即可判定選項.【詳解】若復數為純虛數，則，所以，若，不妨設，此時復數，不是純虛數，所以“復數為純虛數”是“”的充分不必要條件.故選：D【點睛】本題考查充分條件和必要條件，考查了純虛數的概念，理解充分必要條件的邏輯關系是解題的關鍵，屬于基礎題.4、B【解析】

先列舉出不超過的素數，并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過的素數中，隨機選取個不同的素數、，滿足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】不超過的素數有：、、、、、，在不超過的素數中，隨機選取個不同的素數，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共種情況，其中，事件“在不超過的素數中，隨機選取個不同的素數、，且”包含的基本事件有：、、、，共種情況，因此，所求事件的概率為.故選：B.【點睛】本題考查古典概型概率的計算，一般利用列舉法列舉出基本事件，考查計算能力，屬于基礎題.5、B【解析】

利用正弦定理求出，可得出，然后利用余弦定理求出，進而求出，然后利用三角形的面積公式可計算出的面積.【詳解】為的角平分線，則.，則，，在中，由正弦定理得，即，①在中，由正弦定理得，即，②①②得，解得，，由余弦定理得，，因此，的面積為.故選：B.【點睛】本題考查三角形面積的計算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應用，考查計算能力，屬于中等題.6、B【解析】

根據極值點處的導數為零先求出的值，然后再按照求函數在連續的閉區間上最值的求法計算即可.【詳解】解：由已知得，，，經檢驗滿足題意.，.由得；由得或.所以函數在上遞增，在上遞減，在上遞增.則，，由于，所以在區間上的最大值為2.故選：B.【點睛】本題考查了導數極值的性質以及利用導數求函數在連續的閉區間上的最值問題的基本思路，屬于中檔題．7、D【解析】

原問題轉化為有四個不同的實根，換元處理令t，對g（t）進行零點個數討論.【詳解】由題意，a＞2，令t，則f（x）＝a????．記g（t）．當t＜2時，g（t）＝2ln（﹣t）（t）單調遞減，且g（﹣2）＝2，又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有兩個不等于2的不等根．則?，記h（t）（t＞2且t≠2），則h′（t）．令φ（t），則φ′（t）2．∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，則h（t）在（2，2）上單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減．由，可得，即a＜2．∴實數a的取值范圍是（2，2）．故選：D．【點睛】此題考查方程的根與函數零點問題，關鍵在于等價轉化，將問題轉化為通過導函數討論函數單調性解決問題.8、B【解析】

由平均數、方差公式和極差、中位數概念，可得所求結論．【詳解】對于甲，；對于乙，，故正確；甲的極差為，乙的極差為，故錯誤；對于甲，方差.5，對于乙，方差，故正確；甲得分的中位數為，乙得分的中位數為，故正確．故選：．【點睛】本題考查莖葉圖的應用，考查平均數和方差等概念，培養計算能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題．9、A【解析】

根據分組求和法，利用等差數列的前項和公式求出前項的奇數項的和，利用等比數列的前項和公式求出前項的偶數項的和，進而可求解.【詳解】當為奇數時，，則數列奇數項是以為首項，以為公差的等差數列，當為偶數時，，則數列中每個偶數項加是以為首項，以為公比的等比數列.所以.故選：A【點睛】本題考查了數列分組求和、等差數列的前項和公式、等比數列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎題.10、B【解析】

設左焦點的坐標，由AB的弦長可得a的值，進而可得雙曲線的方程，及左右焦點的坐標，進而求出三角形ABF2的面積，再由三角形被內切圓的圓心分割3個三角形的面積之和可得內切圓的半徑.【詳解】由雙曲線的方程可設左焦點，由題意可得，由，可得，所以雙曲線的方程為:所以，所以三角形ABF2的周長為設內切圓的半徑為r，所以三角形的面積，所以，解得，故選：B【點睛】本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質及三角形的面積的求法，內切圓的半徑與三角形長周長的一半之積等于三角形的面積可得半徑的應用，屬于中檔題.11、C【解析】

設出直線的方程，代入橢圓方程中消去y，根據判別式大于0求得t的范圍，進而利用弦長公式求得|AB|的表達式，利用t的范圍求得|AB|的最大值．【詳解】解：設直線l的方程為y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由題意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．弦長|AB|＝4．故選：C．【點睛】本題主要考查了橢圓的應用，直線與橢圓的關系．常需要把直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理，判別式找到解決問題的突破口．12、D【解析】

根據對稱關系可將問題轉化為與有且僅有四個不同的交點；利用導數研究的單調性從而得到的圖象；由直線恒過定點，通過數形結合的方式可確定；利用過某一點曲線切線斜率的求解方法可求得和，進而得到結果.【詳解】關于直線對稱的直線方程為：原題等價于與有且僅有四個不同的交點由可知，直線恒過點當時，在上單調遞減；在上單調遞增由此可得圖象如下圖所示：其中、為過點的曲線的兩條切線，切點分別為由圖象可知，當時，與有且僅有四個不同的交點設，，則，解得：設，，則，解得：，則本題正確選項：【點睛】本題考查根據直線與曲線交點個數確定參數范圍的問題；涉及到過某一點的曲線切線斜率的求解問題；解題關鍵是能夠通過對稱性將問題轉化為直線與曲線交點個數的問題，通過確定直線恒過的定點，采用數形結合的方式來進行求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、－3【解析】

依題意可得二項式展開式的常數項為即可得到方程，解得即可；【詳解】解：∵二項式的展開式中的常數項為，∴解得.故答案為：【點睛】本題考查二項式展開式中常數項的計算，屬于基礎題.14、5【解析】

分析：畫出可行域，平移直線，當直線經過時，可得有最大值.詳解：畫出束條件表示的可行性，如圖，由可得，可得，目標函數變形為，平移直線，當直線經過時，可得有最大值，故答案為.點睛：本題主要考查線性規劃中利用可行域求目標函數的最值，屬簡單題.求目標函數最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數對應的最優解對應點（在可行域內平移變形后的目標函數，最先通過或最后通過的定點就是最優解）；（3）將最優解坐標代入目標函數求出最值.15、π.【解析】

設三棱錐P-ABC的外接球為球O'，分別取AC、A1C1的中點O、O1，先確定球心O'在線段AC和A1C1中點的連線上，先求出球O【詳解】如圖所示，設三棱錐P-ABC的外接球為球O'分別取AC、A1C1的中點O、O1由于正方體ABCD-A則△ABC的外接圓的半徑為OA=2設球O的半徑為R，則4πR2=所以，OO則O而點P在上底面A1B1由于O'P=R=41因此，點P所構成的圖形的面積為π×O【點睛】本題考查三棱錐的外接球的相關問題，根據立體幾何中的線段關系求動點的軌跡，屬于中檔題.16、【解析】

先求，再根據的范圍求出即可.【詳解】由題可知，故.故答案為：.【點睛】本題考查分段函數函數值的求解，涉及對數的運算，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、橫線處任填一個都可以，面積為．【解析】

無論選哪一個，都先由正弦定理化邊為角后，由誘導公式，展開后，可求得角，再由余弦定理求得，從而易求得三角形面積．【詳解】在橫線上填寫“”.解：由正弦定理，得.由，得.由，得.所以.又（若，則這與矛盾），所以.又，得.由余弦定理及，得，即.將代入，解得.所以.在橫線上填寫“”.解：由及正弦定理，得.又，所以有.因為，所以.從而有.又，所以由余弦定理及，得即.將代入，解得.所以.在橫線上填寫“”解：由正弦定理，得.由，得，所以由二倍角公式，得.由，得，所以.所以，即.由余弦定理及，得.即.將代入，解得.所以.【點睛】本題考查三角形面積公式，考查正弦定理、余弦定理，兩角和的正弦公式等，正弦定理進行邊角轉換，求三角形面積時，①若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值)，結合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積；②若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，總之，結合圖形恰當選擇面積公式是解題的關鍵．18、（1），；（2）.【解析】

（1）設點極坐標分別為,，由可得,整理即可得到極坐標方程,進而求得直角坐標方程；（2）設點對應的參數分別為，則，，將直線的參數方程代入的直角坐標方程中,再利用韋達定理可得，，則，求得取最小值時符合的條件,進而求得直線的普通方程.【詳解】（1）設點極坐標分別為，，因為,則，所以曲線的極坐標方程為，兩邊同乘,得，所以的直角坐標方程為,即.（2）設點對應的參數分別為，則,，將直線的參數方程（參數），代入的直角坐標方程中，整理得.由韋達定理得，，所以，當且僅當時，等號成立，則，所以當取得最小值時，直線的普通方程為.【點睛】本題考查極坐標與直角坐標方程的轉化,考查利用直線的參數方程研究直線與圓的位置關系．19、（1）;（2）.【解析】

（1）方程的兩根為，由題意得，在利用等差數列的通項公式即可得出；（2）利用“錯位相減法”、等比數列的前項和公式即可求出．【詳解】方程x2－5x＋6＝0的兩根為2，3.由題意得a2＝2，a4＝3.設數列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，故d＝，從而得a1＝.所以{an}的通項公式為an＝n＋1.（2）設的前n項和為Sn，由（1）知＝，則Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，兩式相減得Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.考點：等差數列的性質；數列的求和．【方法點晴】本題主要考查了等差數列的通項公式、“錯位相減法”、等比數列的前項和公式、一元二次方程的解法等知識點的綜合應用，解答中方程的兩根為，由題意得，即可求解數列的通項公式，進而利用錯位相減法求和是解答的關鍵，著重考查了學生的推理能力與運算能力，屬于中檔試題．20、（1）見解析；（2）．【解析】

（1）取的中點，連接、，推導出四邊形為平行四邊形，可得出，由此能證明平面；（2）由，得平面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，在平面內過點作于點，就是到平面的距離，也就是點到平面的距離，由此能求出直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）取的中點，連接、，、分別為、的中點，則且，、均垂直于平面，且，則，且，