河南省信陽市實驗中學2023年高三數學文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知都是銳角,且滿足,若,則A.

B.

C.

D.1參考答案：A2.已知為實數，若復數為純虛數，則復數在復平面內對應的點位于（

）A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限參考答案：D試題分析：由純虛數的定義可得,解之得,則復數在復平面內對應的點在第四象限,故應選D.考點：復數的有關概念與幾何意義.3.已知函數和，其中且，則它們的反函數的圖像關于（）

A.軸對稱

B.軸對稱

C.直線對稱

D.原點對稱參考答案：A4.已知函數f（x）的定義域為R且f（x）=，f（x+1）=f（x﹣1），則方程f（x）=在區間[﹣3，3]的所有實根之和為（）A．﹣8 B．﹣2 C．0 D．1參考答案：D【考點】分段函數的應用；根的存在性及根的個數判斷．【分析】由題意作出函數y=f（x）與函數y=在區間[﹣3，3]上的圖象，結合圖象求解即可．【解答】解：∵f（x+1）=f（x﹣1），即有f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期為2的周期函數，又∵f（x）=，作函數f（x）與函數y=2+在區間[﹣3，3]上的圖象如右：結合圖象可知，圖象共有3個交點，即共有3個實根，其中有兩個關于原點對稱，第三個為1；故其實根之和為1；故選D．5.已知函數f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．若函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處切線的傾斜角為，對于任意t∈[1，2]函數g（x）=x3+x2[f′（x）+]在區間（t，3）上總不是單調函數，則實數m的取值范圍是（）A．?（﹣∞，﹣5）? B．?（﹣，﹣5）? C．（﹣9，+∞）?? D．（﹣，﹣9）?參考答案：D【考點】直線的方向向量；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】求出函數的導數，利用切線的斜率求出a，利用函數的單調性，任意t∈[1，2]函數g（x）=x3+x2[f′（x）+]在區間（t，3）上總不是單調函數，轉化為函數由極值，然后求解函數的值域即可得到結果．【解答】解：由函數f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．可得f′（x）=﹣a，得a=﹣2，對于任意t∈[1，2]函數=x3+x2（﹣+2+）在區間（t，3）上總不是單調函數，只需2在（2，3）上不是單調函數，故g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2在（2，3）上有零點，即方程在（2，3）上有解，而在（2，3）上單調遞減，故其值域為．故選：D．【點評】本題考查函數的導數的應用，函數的極值以及函數的單調性的判斷，考查轉化思想以及計算能力．6.已知A={x|x≥k}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則k的取值范圍是（）A．k＜﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞2 D．k≥2參考答案：C【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】對應思想；轉化法；簡易邏輯．【分析】解不等式可得x＜﹣1，或x＞2，由充要條件的定義可得{x|x≥k}是集合{x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，結合數軸可得答案．【解答】解：解不等式x2﹣x﹣2＞0可得x＜﹣1，或x＞2，要使“x≥k”是“x2﹣x﹣2＞0”的充分不必要條件，則需集合A={x|x≥k}是集合B={x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，故只需k＞2即可，故實數k的取值范圍是（2，+∞），故選：C．【點評】本題考查充要條件的判斷，涉及不等式的解集，屬基礎題．7.正整數n除以m后的余數為r，記為，如.執行如圖的程序框圖，則輸出的數n是(

)A.19 B.22 C.27 D.47參考答案：C【分析】由已知的程序框圖可知，該程序的功能是利用循環結構的計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，分析循環中各變量的變化情況，即可得到答案.【詳解】依題意，進入內循環時為10，出內循環時被4除余數是3，即此時，外循環當除以5余數是2時結束循環，綜合兩個循環，輸出的比11大，且被4除余3，被5除余2，所以該數，所以，所以，所以當時符合條件，即，故選C.8.設i是虛數單位，復數是純虛數，則實數A. B.2 C. D.參考答案：D略9.如圖，在平面直角坐標系中，AC平行于x軸，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，記四邊形位于直線左側圖形的面積為f（t），則f（t）的大致圖象是參考答案：C10.設集合,那么下面中的4個圖形中,

①

②

③

④

能表示集合到集合的函數關系的有

(A)①②③④

(B)①②③

(C)②③

(D)②

參考答案：答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數，則=

.參考答案：112.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美．圖2是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個面，其棱長為_________．（本題第一空2分，第二空3分．）參考答案：26

由圖2結合空間想象即可得到該正多面體有26個面；將該半正多面體補成正方體后，根據對稱性列方程求解.

13.在中，，，則

．參考答案：由余弦定理得,所以.14.我國唐代詩人王維詩云：“明月松間照，清泉石上流”，這里明月和清泉，都是自然景物，沒有變，形容詞“明”對“清”，名詞“月”對“泉”，詞性不變，其余各詞均如此．變化中的不變性質，在文學和數學中都廣泛存在．比如我們利用幾何畫板軟件作出拋物線C：x2=y的圖象（如圖），過交點F作直線l交C于A、B兩點，過A、B分別作C的切線，兩切線交于點P，過點P作x軸的垂線交C于點N，拖動點B在C上運動，會發現是一個定值，該定值是

．參考答案：1【考點】直線與拋物線的位置關系．【分析】線段AB是過拋物線x2=y焦點F的弦，過A，B兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于N點．N點在拋物線的準線上．根據拋物線的定義知：NF=NP，∴現是一個定值1．【解答】解：線段AB是過拋物線x2=y焦點F的弦，過A，B兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于N點．N點在拋物線的準線上．下面證明證明：由拋物線x2=y，得其焦點坐標為F（0，）．設A（x1，x12），B（x2，x22），直線l：y=kx+代入拋物線x2=y得：x2﹣kx﹣=0．∴x1x2=﹣…①．又拋物線方程為：y=x2，求導得y′=2x，∴拋物線過點A的切線的斜率為2x1，切線方程為y﹣x12=2x1（x﹣x1）…②拋物線過點B的切線的斜率為2x2，切線方程為yx22﹣=2x2（x﹣x2）…③由①②③得：y=﹣．∴P的軌跡方程是y=﹣，即N在拋物線的準線上；根據拋物線的定義知：NF=NP，∴是一個定值1．故答案為：115.⊙O1的極坐標方程為ρ＝4cosθ，⊙O2的參數方程為，則⊙O1與⊙O2公共弦的長度為__________．參考答案：解析：⊙O1極坐標方程為ρ＝4cosθ，直角坐標方程為（x－2）2＋y2＝4；⊙O2參數方程為，直角坐標方程為x2＋（y＋2）2＝4，兩式相減，得到x＋y＝0，O1到此直線的距離為，公共弦長為．16.已知2a=3b=6c，k∈Z，不等式＞k恒成立，則整數k的最大值為

．參考答案：4【考點】函數恒成立問題．【專題】函數的性質及應用．【分析】根據指數冪和對數的運算性質，結合基本不等式即可得到結論．【解答】解：設2a=3b=6c=t，（t＞0），則a=log2t，b=log3t，c=log6t，法1：∴=====2+，∵lg2≈0.310，lg3≈0.477，∴，，則2+≈2+1.54+0.65=4.19∵不等式＞k恒成立，∴k≤4，整數k的最大值為4，法2：=====2+＞2，∵不等式＞k恒成立，∴k≤4，故答案為：4．【點評】本題主要考查與對數有關的恒成立問題，利用對數的運算法則結合基本不等式的性質是解決本題的關鍵．17.已知sin+cos=,求的值.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在直角梯形中，，且分別為線段的中點，沿把折起，使，得到如下的立體圖形.（1）證明：平面平面；（2）若，求點到平面的距離.參考答案：（1）證明：由題可得，則，又，且，所以平面.因為平面，所以平面平面；（2）解：過點作交于點，連結，則平面，，又，所以平面，易得，則，得，設點到平面的距離為，因為，又因為于，所以平面，故，又因為，所以，故點到平面的距離為2.19.(本小題滿分12分)已知函數在上的最大值為,當把的圖象上的所有點向右平移個單位后,得到圖象對應的函數的圖象關于直線對稱.(Ⅰ)求函數的解析式;(Ⅱ)在中,三個內角所對的邊分別是,已知在軸右側的第一個零點為,若,求的面積的最大值.參考答案：（Ⅰ）由題意知，函數在區間上單調遞增，所以，…2分,得，…………3分經驗證當時滿足題意，故求得，所以，…………4分故，又，所以=.故.…………6分（Ⅱ）根據題意，，又,…………8分得：，…………10分,∴S=,∴S的最大值為.…………12分20.（15分）（2015?嘉興一模）已知直線l：y=kx+1（k≠0）與橢圓3x2+y2=a相交于A、B兩個不同的點，記l與y軸的交點為C．（Ⅰ）若k=1，且|AB|=，求實數a的值；（Ⅱ）若=2，求△AOB面積的最大值，及此時橢圓的方程．參考答案：【考點】：橢圓的簡單性質．【專題】：圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】：（Ⅰ）若k=1，聯立直線和橢圓方程，結合相交弦的弦長公式以及|AB|=，即可求實數a的值；（Ⅱ）根據=2關系，結合一元二次方程根與系數之間的關系，以及基本不等式進行求解即可．解：設A（x1，y1），B（x2，y2），（Ⅰ）由得4x2+2x+1﹣a=0，則x1+x2=，x1x2=，則|AB|==，解得a=2．（Ⅱ）由，得（3+k2）x2+2kx+1﹣a=0，則x1+x2=﹣，x1x2=，由=2得（﹣x1，1﹣y1）=2（x2，y2﹣1），解得x1=﹣2x2，代入上式得：x1+x2=﹣x2=﹣，則x2=，==，當且僅當k2=3時取等號，此時x2=，x1x2=﹣2x22=﹣2×，又x1x2==，則=，解得a=5．所以，△AOB面積的最大值為，此時橢圓的方程為3x2+y2=5．【點評】：本題主要考查橢圓方程的求解，利用直線方程和橢圓方程構造方程組，轉化為根與系數之間的關系是解決本題的關鍵．21.(本小題滿分12分)如圖，在幾何體ABCDE中，DA平面EAB,EA⊥AB，CB∥DA，F為DA上的點，EA=DA=AB=2CB，M是EC的中點，N為BE的中點．(1)若AF=3FD，求證：FN∥平面MBD；(2)若EA=2，求三棱錐M—ABC的體積．參考答案：解:（I）證明：連接,因分別是，的中點，且,又,,又，即,，四邊形為平行四邊形，…3分又平面，平面所以平面.

……6分(Ⅱ)連接AN，MN，則,所以，又在中，,

……8分

，所以三棱錐的體積為.

……12分

22.（本小題滿分12分）已知函數f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2.（Ⅰ）求函數f(x)在[t，t＋2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若函數y＝f(x)與y＝g(x)的圖象恰有一個公共點，求實數a的值.參考答案：（Ⅰ）令f′(x)＝lnx＋1＝0得x＝，①當0＜t＜時