專題52幾何概型〔1〕了解隨機數的意義，能運用模擬方法估計概率.〔2〕了解幾何概型的意義.一、幾何概型1．幾何概型的概念如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度(面積或體積)成比例,那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.2．幾何概型的特點〔1〕試驗中所有可能出現的結果〔根本領件〕有無限多個.〔2〕每個根本領件發生的可能性相等.3．幾何概型的概率計算公式.4．必記結論〔1〕與長度有關的幾何概型，其根本領件只與一個連續的變量有關；〔2〕與面積有關的幾何概型，其根本領件與兩個連續的變量有關，假設圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣根本領件就構成了平面上的一個區域，即可借助平面區域解決問題；〔3〕與體積有關的幾何概型.二、隨機模擬用計算器或計算機模擬試驗的方法為隨機模擬方法或蒙特卡羅方法.這個方法的根本步驟是：〔1〕用計算器或計算機產生某個范圍內的隨機數，并賦予每個隨機數一定的意義；〔2〕統計代表某意義的隨機數的個數M和總的隨機數個數N；〔3〕計算頻率作為所求概率的近似值.注意，用隨機模擬方法得到的結果只能是概率的近似值或估計值，每次試驗得到的結果可能不同，而所求事件的概率是一個確定的數值.考向一與長度有關的幾何概型求解與長度有關的幾何概型的問題的關鍵是將所有根本領件及事件包含的根本領件轉化為相應長度，進而求解．此處的“長度〞可以是線段的長短，也可以是時間的長短等.注意：在尋找事件發生對應的區域時，確定邊界點是問題的關鍵，但邊界點能否取到不會影響事件的概率.典例1某學校星期一至星期五每天上午都安排五節課,每節課的時間為40分鐘．第一節課上課的時間為7:50~8:30,課間休息10分鐘．某同學請假后返校,假設他在8:50~9:30之間到達教室,那么他聽第二節課的時間不少于10分鐘的概率是A． B．C． D．【答案】A故所求概率為,選A．典例2在區間上隨機抽取一個數,那么事件“〞發生的概率為A．B．C．D．【答案】A【解析】區間的長度為2,由可得,所以所求事件的概率為P=.1．公共汽車在7:00到7:20內隨機到達某站,李老師從家里趕往學校上班,7:15到達該站,那么她能等到公共汽車的概率為A．B．C．D．2．在長度為10的線段AB上任取一點C(不同于A,B),那么以AC,BC為半徑的圓的面積之和小于58π的概率為A．B．C．D．考向二與面積有關的幾何概型求解與面積有關的幾何概型的問題的關鍵是構造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何特征找出兩個“面積〞，套用幾何概型的概率計算公式，從而求得隨機事件的概率.必要時可根據題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結果構成的平面圖形，以便求解．“面積比〞是求幾何概型的一種重要的方法.典例3在如下圖的扇形AOB中,∠AOB=,半圓C切AO于點D,與圓弧AB切于點B,假設隨機向扇形AOB內投一點,那么該點落在半圓C外的概率為A．B．C．D．【答案】A那么所求概率P=1-=1-,應選A．典例4如圖,A(a,0)(a>0),B是函數f(x)=2x2圖象上的一點,C(0,2),假設在矩形OABC內任取一點P,那么點P落在陰影局部的概率為________.【答案】3．圓O內有一內接正三角形,向圓O內隨機投一點,那么該點落在正三角形內的概率為A．B．C．D．4．是集合所表示的區域，是集合所表示的區域，向區域內隨機地投一個點，那么該點落在區域內的概率為________.考向三與體積有關的幾何概型的求法用體積計算概率時，要注意所求概率與所求事件構成的區域的體積的關系，準確計算出所求事件構成的區域的體積，確定出根本領件構成的區域的體積，求體積比即可.一般當所給隨機事件是用三個連續變量進行描述或當概率問題涉及體積時，可以考慮用此方法求解.典例5一只小蜜蜂在一個棱長為30的正方體玻璃容器內隨機飛行,假設蜜蜂在飛行過程中與正方體玻璃容器六個外表中至少有一個的距離不大于10,那么就有可能撞到玻璃上而不平安,即始終保持與正方體玻璃容器六個外表的距離均大于10,飛行才是平安的.假設蜜蜂在正方體玻璃容器內飛行到任意位置的可能性相等,那么蜜蜂飛行平安的概率是A．B．C．D．【答案】C5．如圖,在一個棱長為2的正方體魚缸內放入一個倒置的無底圓錐形容器,圓錐的上底圓周與魚缸的底面正方形相切,圓錐的頂點在魚缸的缸底上,現在向魚缸內隨機地投入一粒魚食,那么“魚食落在圓錐外面〞的概率是A．B．C．D．考向四隨機模擬的應用利用隨機模擬試驗可以近似計算不規那么圖形A的面積,解題的依據是根據隨機模擬估計概率，然后根據列等式求解.典例6?周髀算經?中給出了勾股定理的絕妙證明,如圖是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形,分別涂成朱(紅)色及黃色,其面積分別稱朱實、黃實,利用2×勾×股+(股-勾)2=4×朱實+黃實=弦實,化簡得勾2+股2=弦2.設勾股形中勾股比為1∶,假設向弦圖內隨機拋擲3000顆圖釘,那么落在黃色圖形內的圖釘數約為(≈1.732)A．134 B．268C．402 D．536【答案】C6．如圖,在一不規那么區域內,有一邊長為1m的正方形,向區域內隨機地撒1000顆黃豆,數得落在正方形區域內(含邊界)的黃豆數為375,以此試驗數據為依據可以估計出該不規那么圖形的面積為A．

m2B．2m2C．

m2D．3m21．在內任取一個實數，那么的概率為A．B．C．D．2．假設任取,那么點滿足的概率為A．B．C．D．3．在區間上隨機地選擇一個數那么方程有兩個正根的概率為A．B．C．D．4．在直角坐標系中,任取n個滿足x2+y2≤1的點(x,y),其中滿足|x|+|y|≤1的點有m個,那么用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為A．B．C．D．5．某校航模小組在一個棱長為6米的正方體房間內試飛一種新型模型飛機,為保證模型飛機平安,模型飛機在飛行過程中要始終保持與天花板、地面和四周墻壁的距離均大于1米,那么模型飛機“平安飛行〞的概率為A．B．C．D．6．如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,以A為圓心、1為半徑作圓弧DE,點E在線段AB上,在圓弧DE上任取一點P,那么直線AP與線段BC有公共點的概率是A．B．C．D．7．函數為自然對數的底數)的圖象與直線軸圍成的區域為,直線與軸、軸圍成的區域為,在區域內任取一點,那么該點落在區域內的概率為A．B．C．D．8．?九章算術?中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？〞其大意：“直角三角形兩直角邊長分別為步和步，問其內切圓的直徑為多少步？〞現假設向此三角形內隨機投一粒豆子，那么豆子落在其內切圓外的概率是A．B．C．D．9．有一根長為1米的細繩,將細繩隨機剪斷,那么兩截的長度都大于

米的概率為__________.10．一個正方體的外接球的外表積為48π,從這個正方體內任取一點,那么該點取自正方體的內切球內的概率為__________.11．甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位停靠6小時,假定它們在一天內隨機到達,假設兩船同時到達那么有一艘必須等待,試求這兩艘輪船中有一艘在停靠泊位時必須等待的概率.12．某班早晨7：30開始上早讀課，該班學生小陳和小李在早上7：10至7：30之間到班，且兩人在此時間段的任何時刻到班是等可能的.(1)在平面直角坐標系中畫出兩人到班的所有可能結果表示的區域；(2)求小陳比小李至少晚5分鐘到班的概率.13．函數

).(1)假設從集合中任取一個元素從集合中任取一個元素,求方程有實根的概率;(2)假設從區間中任取一個數從區間中任取一個數,求方程沒有實根的概率.1．〔2023新課標全國Ⅰ理科〕如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色局部和白色局部關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，那么此點取自黑色局部的概率是A． B．C．D．2．〔2023新課標全國Ⅰ理科〕某公司的班車在7:30，8:00，8:30發車，小明在7:50至8:30之間到達發車站乘坐班車，且到達發車站的時刻是隨機的，那么他等車時間不超過10分鐘的概率是A．B．C．D．3．〔2023江蘇〕記函數的定義域為．在區間上隨機取一個數，那么的概率是▲．4．〔2023山東理科〕在上隨機地取一個數k，那么事件“直線y=kx與圓相交〞發生的概率為.變式拓展變式拓展1．【答案】C2．【答案】C【解析】設AC=x,那么BC=10-x,0<x<10,由題意πx2+π(10-x)2<58π,得x2-10x+21<0,得3<x<7,故所求的概率為.3．【答案】C4．【答案】【解析】易知的面積,的面積,根據幾何概型可得所求事件的概率為P=5．【答案】D【解析】由題意可知,正方體的體積V=8,圓錐的體積V1=,所以“魚食落在圓錐外面〞的概率是P=.6．【答案】A【解析】由幾何概型的概率計算公式及題意可近似得到=,所以該不規那么圖形的面積大約為=(m2).考點沖關考點沖關1．【答案】C【解析】假設,那么在內，所以所求概率為.選C．2．【答案】C【解析】根據幾何概型的概率計算公式可知=.應選C．3．【答案】A【解析】因為方程有兩個正根,所以所以或又因為所以所求概率為.4．【答案】D5．【答案】D【解析】依題意得,模型飛機“平安飛行〞的概率為()3=,應選D.6．【答案】B【解析】連接AC,交圓弧DE于點M.在中,AB=,BC=1,所以tan∠BAC=,即∠BAC=.要使直線AP與線段BC有公共點,那么點P必須在圓弧EM上,于是所求概率為P=.應選B．7．【答案】A【解析】由題意，區域F的面積為e;區域E的面積S==,所以在區域內任取一點,那么該點落在區域內的概率為.8．【答案】D【解析】由題意，直角三角形內切圓的半徑r=，所以現假設向此三角形內隨機投一粒豆子，那么豆子落在其內切圓外的概率P=.9．【答案】10．【答案】【解析】因為一個正方體的外接球的外表積為48π,所以這個正方體的棱長為4,而棱長為4的正方體的體積為43,該正方體的內切球的半徑為2,體積為×23,所以所求概率P=.11．【解析】設甲船到達的時間為x,乙船到達的時間為y,那么0≤x<24,0≤y<24.假設有一艘在停靠泊位時必須等待,那么|y-x|<6,如圖中陰影局部所示,所以所求概率為1-=1-=.12．【解析】〔1〕用分別表示小陳、小李到班的時間，那么，所有可能結果對應坐標平面內一個正方形區域ABCD，如下圖．〔2〕小陳比小李至少晚到5分鐘，即，對應區域為，那么所求概率為．“或〞.于是此時的取值情況為即包含的根本領件數為10．故

“方程有實根〞的概率為．〔2〕從區間中任取一個數從區間中任取一個數那么試驗的全部結果構成區域,這是一個長方形區域,其面積為,設“方程沒有實根〞為事件，那么事件所構成的區域為，其面積為．由幾何概型的概率計算公式可得“方程沒有實根〞的概率為．直通高考直通高考1．【答案】B秒殺解析：由題意可知，此點取自黑色局部的概率即為黑色局部面積占整個面積的比例，由圖可知其概率滿足，應選B．【名師點睛】對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區域〔長度、面積、體積或時間〕，其次計算根本領件區域的幾何度量和事件A區域的幾何度量，最后計算.2．【答案】B【解析】由題意，這是一個幾何概型問題，班車每30分鐘發出一輛，到達發車站的時間總長度為40，等車不超過10分鐘的時間長度為20，故所求概率為，選B．【名師點睛】這是全國卷首次考查幾何概型,求解幾何概型問題的關鍵是確定“測度〞,常見的測度有長度、面積、體積等.3．【答案】【解析】由，即，得，根據幾何概