考點44利用二項定理求指定項知識儲藏匯總與命題規律展望1.知識儲藏匯總:〔1〕二項式定理：;注意：①展開式共有n+1項；②按降冪排列按升冪排列，冪指數之和為n；③系數依次為。④注意區分二項式系數與某一項的系數,二項式系數是，而系數既包括二項式系數也包括二項式中系數和符號展出局部二項展開式的通項公式：.二項式定理系數性質：①0≤k≤n時，．②當n為偶數時，中間一項的二項式系數最大；當n為奇數時，中間兩項的二項式系數最大，最大值.③各二項式系數和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝，Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝.2.命題規律展望：二項式定理是高考的熱點和重點，主要考查利用二項式定理或通項公式計算二項式展開式或三項式或兩個二項式乘積的特定項或特定項系數，難度為根底題，分值為5分.二、題型與相關高考題解讀1.求展開式中的特定項或特定系數1.1考題展示與解讀例1【2023山東，理11】的展開式中含有項的系數是，那么.【命題意圖探究】此題主要考查利用二項展開式通項公式計算指定項系數求二項式的指數問題，是根底題.【答案】【解析】由二項式定理的通項公式，令得：，解得．【解題能力要求】運算求解能力【方法技巧歸納】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步，根據給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且n≥r)；第二步，根據所求的指數求解所求的項．1.2【典型考題變式】【變式1：改編條件】二項式展開式中的常數項為〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】展開式的通項為，令得，所以展開式中的常數項為，應選B.【變式2：改編結論】假設的展開式中含有常數項，那么的最小值等于〔〕A.B.C.D.【答案】C【變式3：改編問法】假設，那么的展開式中常數項為〔〕A.8B.16C.24D.【答案】C【解析】∵=，∴的通項公式為，令，即，∴二項式展開式中常數項是，應選C求三項式展開式的指定項2.1考題展示與解讀例2【2023高考新課標1，理10】的展開式中，的系數為()〔A〕10〔B〕20〔C〕30〔D〕60【命題意圖探究】此題主要考查利用排列組合知識計算二項式展開式某一項的系數，是根底題【答案】C【解析】在的5個因式中，2個取因式中剩余的3個因式中1個取，其余因式取y,故的系數為=30，應選C.【解題能力要求】轉化思想，運算求解能力【方法技巧歸納】三項展開式中的特定項(系數)問題的處理方法：(1)通常將三項式轉化為二項式積的形式，然后利用多項式積的展開式中的特定項(系數)問題的處理方法求解；(2)將其中某兩項看成一個整體，直接利用二項式展開，然后再分類考慮特定項產生的所有可能情形．2.2【典型考題變式】【變式1：改編條件】的展開式中，的系數為〔〕A.B.C.D.【答案】B【變式2：改編結論】的展開式共〔〕項A.10B.15C.20D.【答案】B【解析】因為++,所以再運用二項式定理展開共有項，應選B.【變式3：改編問法】的展開式中各項系數的和為32，那么展開式中的系數為__________．〔用數字作答〕【答案】120兩個二項式乘積展開式的指定項3.1考題展示與解讀例3【2023課標1，理6】展開式中的系數為〔〕A．15 B．20 C．30 D．35【命題意圖探究】此題主要考查考查利用二項式定理展開式求指定項及分類整合思想，是根底題.【答案】C【解析】因為，那么展開式中含的項為，展開式中含的項為，故前系數為，選C.【解題能力要求】運算求解能力【方法技巧歸納】幾個多項式積的展開式中的特定項(系數)問題的處理方法：可先分別化簡或展開為多項式和的形式，再分類考慮特定項產生的每一種情形，求出相應的特定項，最后進行合并即可．3.2【典型考題變式】【變式1：改編條件】的展開式中的系數為〔〕A.4B.-4C.6D.【答案】B【解析】，所以的項為，故的系數為，應選B.【變式2：改編結論】的展開式的常數項是〔〕A.-3B.-2C.2D.3【答案】C【變式3：改編問法】：＝，那么＝〔〕A.－28B.－448C.112D.448【答案】A【解析】，當第一個因子取時，第二個因子取當第一個因子取1時，第二個因子取，故a6＝，應選A.二項式系數與各項的系數問題4.1考題展示與解讀例4【2023高考新課標2，理15】的展開式中x的奇數次冪項的系數之和為32，那么__________．【命題意圖探究】此題主要考查利用通項公式與二項定理展開式的系數性質，是根底題.【答案】【解析】因為的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，所以，解得，所以二項式中奇數項的二項式系數和為.【解題能力要求】運算求解能力【方法技巧歸納】(1)“賦值法〞普遍應用于恒等式，是一種處理與二項式相關問題的比擬常用的方法．對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項系數之和，只需令x＝1即可．(2)當n為偶數時，展開式中中間一項的二項式系數最大，；當n為奇數時，展開式中中間兩項項的二項式系數最大.4.2【典型考題變式】【變式1：改編條件】二項式的展開式中各項系數和為256，那么展開式中的常數項為____.〔用數字作答〕【答案】28【變式2：改編結論】，那么______.【答案】【解析】先令，得：，再令得：，即，所以，故填.【變式3：改編問法】，假設，那么的值為〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】令，得，而表示的系數，，應選D.課本試題探源選修修2-3P40頁復習參考題A第8〔2〕題：求展開式的常數項.【解析】=,那么，解得，所以展開式的常數項為=18564.四．典例高考試題演練1.【廣西賀州市桂梧高中2023屆第四次聯考】的展開式的第4項的系數為〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意可得的展開式的第4項為，選A.2.【2023屆云南師范大學附屬中學月考〔二〕】假設的展開式中常數項為，那么實數的值為〔〕A.B.C.-2D.【答案】D【解析】的展開式通項為，令，那么有，∴，即，解得，應選D．3.【廣東省深圳市南山區2023屆入學摸底考】()A.B.C.D.【答案】B【解析】=選B.4.【廣西南寧三中、柳鐵一中、玉林高中2023屆9月聯考】的展開式的常數項是〔〕A.15B.-15C.17D.-17【答案】C【解析】的展開式的通項公式：，分別令r?6=0，r?6=?2，解得r=6，r=4.∴的展開式的常數項是2×+1×=17,應選：C.5.【廣西桂林市柳州市2023年屆綜合模擬金卷〔1〕】的展開式中第4項的二項式系數為20，那么的展開式中的常數項為〔〕A.60B.C.80D.【答案】A6.【四川省雙流中學2023屆9月月考】在展開式中，二項式系數的最大值為，含項的系數為，那么〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】因為是偶數，所以展開式共有7項，其中中間一項的二項式系數最大，其二項式系數為時，含項的系數為，那么，應選D。7.【河南省鄭州市第一中學2023屆入學考】假設二項式展開式的二項式系數之和為8，那么該展開式的系數之和為〔〕A.B.1C.27D.【答案】A【解析】依題意二項式系數和為.故二項式為，令，可求得系數和為.8.【河南省師范大學附屬中學2023屆8月開學考】，那么的值為〔〕A.B.C.D.【答案】D9.【山西省2023屆第一次五校聯考】的展開式中常數項為()A.B.C.D.25【答案】C【解析】的通項為，，根據式子可知當或時有常數項，令;令;故所求常數項為，應選C.10.【江西省新余市第一中學2023屆二模】在二項式的展開式中，各項系數之和為，各項二項式系數之和為，且，那么展開式中常數項的值為〔〕A.6B.9C.12D.【答案】B【解析】在二項式的展開式中，令得各項系數之和為，二項展開式的二項式系數和為，，解得，的展開式的通項為，令得，故展開式的常數項為，應選B.11.【湖北省襄陽四中2023屆8月考】設，那么的值為__________.【答案】2【解析】所給的多項式中，令x=-1可得：，即：.12.【吉林省百校聯盟2023屆九月聯考】展開式中的系數為__________.【答案】210【解析】由題意可得：，據此可得：只有中含有，結合二項式