現代電路理論與設計第２章

無源網絡的分析與設計2.1用直接法綜合無源網絡電路理論與設計2.1用直接法綜合無源網絡2.1.1LC網絡的輸入阻抗1LC網絡的輸入阻抗及其零極點分布常用的六種LC網絡的輸入阻抗及其零極點分布如圖所示。電路理論與設計2.1用直接法綜合無源網絡LC網絡LCCLLCC2L2L1C1C2L2輸入阻抗零、極點的位置(a)(b)(c)(d)(e)(f)LC網絡輸入阻抗Z(s)零點和極點的特點：LC網絡輸入阻抗的零點和極點都在虛軸上、是簡單的;零點和極點是交替出現的,不會有兩個零點或兩個極點在虛軸上相鄰的情況；原點處既可能出現零點，也可能出現極點；LC網絡輸入阻抗的區別在于零點和極點的數目以及在虛軸上的位置；一對共軛復頻率±jωo共同形成(s2+ωo2)項。因此，如果Z(s)有一個極點在原點處，則Z(s)的表達式的形式為：極零極零極電路理論與設計2.1用直接法綜合無源網絡如果Z(s)有一個零點在原點處，則Z(s)的表達式的形式為：

也就是說，如果最高的截止頻率是一對極點，則分母多項式的次數比分子多項式的次數高。如果最高的截止頻率是一對零點，則分母多項式的次數比分子多項式的次數低。當s很大或很小時，Z(s)是如下兩種情況中的一個：也就是說，在頻率接近零或無窮大時，輸入阻抗相當于一個電感或電容。

零極零極零電路理論與設計2.1用直接法綜合無源網絡1-123Z(ω)ω例2.2已知一個網絡的輸入電抗變化曲線如圖2-1-2所示。求其阻抗表達式Z(s).解：(1)從電抗曲線可知，Z(s)的極點為s=0和s=±j3(

ω=3,則ｓ＝ｊω＝±j3)

，零點為s=±j2和s=∞。由此可寫出Z(s)的表達式：電路理論與設計2.1用直接法綜合無源網絡(2)求H:令s=jω,沿虛軸計算Z(s):從電抗曲線可知,當ω=1時，Z(ω)=-1.于是可求得：H=8/3(3)所求的阻抗函數為：電路理論與設計2.1用直接法綜合無源網絡C1C2比較和可得如下關系：求得各元件值為：可用如下電路實現：電路理論與設計2.1用直接法綜合無源網絡1RC網絡的輸入阻抗及其零極點位置八種常用的RC網絡的輸入阻抗及其零極點位置如圖所示.電路理論與設計2.1用直接法綜合無源網絡2.1.2RC網絡的輸入阻抗RC網絡CC2R2R1C1C2R2輸入阻抗零、極點的位置(a)(b)(c)(d)(e)(f)R無零點、無極點CRCRC2R2R1(g)(h)C1C2R2C1R1電路理論與設計2.1用直接法綜合無源網絡RC網絡輸入阻抗Z(s)的特點：零點一定在負實軸軸上，是簡單的。極點在負實軸軸上或原點處，是簡單的。零點和極點是交替出現的；靠近原點處的第一個臨界頻率是極點。電路理論與設計2.1用直接法綜合無源網絡2.2用部分分式法綜合無源網絡電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡利用部分分式法綜合實現的網絡稱為福斯特網絡。其中，只包含電感和電容元件的福斯特網絡稱為LC福斯特網絡。只包含電阻和電容元件的福斯特網絡稱為RC福斯特網絡。這些網絡都是通過網絡的端口特性進行設計的。網絡的端口特性可以用阻抗表示，也可以用導納表示。根據阻抗表示式實現的福斯特網絡稱為福斯特1型網絡，根據導納表示式實現的福斯特網絡稱為福斯特2型網絡。H1/k01/k11/k21/knK1ω2p1K2ω2p2K3ω2p3ZＬC福斯特1型網絡H1/k01/k11/k21/knK1/ω2p1K2/ω2p2Kn/ω2pnYＬC福斯特2型網絡電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡2.2.1ＬC福斯特1型網絡

(1)ＬC福斯特1型網絡的結構為了實現福斯特1型網絡，考慮LC網絡阻抗最常用的表達式：電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡

將Z(s)的表達式展開為部分分式，并將復共軛項組合，得：K的求法如下：電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡

由上式可知：第一項:Z1=Hs,可以用一個電感量為H亨的電感實現：第二項:Z2=k0/s,可以用一個電容量為1/k0法拉的電容實現：第三項：

H1/k0電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡其中，

導納Y3由兩個導納組成，第一個是導納為1/k1法拉的電容，第二個是導納為k1/ω2p1亨利的電感。電容和電感并聯構成阻抗Z3。式（2-2-2）的其它各項也可以由電容和電感并聯構成。式（2-2-2）的完全實現電路如圖2-2-1所示。1/k1K1/ω2p1Y3電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡H1/k01/k11/k21/knK1/ω2p1K2/ω2p2K3/ω2p3Z圖2-2-1福斯特1型網絡的實現電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡（2）福斯特1型網絡的特點凡是歸一化系數為正、在虛軸上具有相互交替的簡單零點和極點的有理函數所表示的輸入阻抗都可以用圖2-2-1所示的福斯特1型網絡實現；第一個電感使Z(∞)=∞,即Z(s)在s=∞時為無窮大。如果沒有它，Z(∞)=0。這是因為在這種情況下，兩個輸入端之間由多個電容連通；

c.第一個電容使Z(0)=∞,即Z(s)在s=0時為無窮大。如果沒有它，Z(0)=0。這是因為在這種情況下，兩個輸入端之間有多個電感連通；電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡d.Z(s)的每一個極點對應一個元件；e.電容和電感的數目要么相等，要么差值為1；f.該網絡實現了Z(s)的全部各種極點：第一個串聯電感實現了無窮大處的極點；第一個串聯電容實現了原點處的極點；第一個并聯LC電路實現了±jωp1處的極點；第n個并聯LC電路實現了±jωpn處的極點；g.從福斯特1型網絡不能看出零點的分布情況。電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡H1/k01/k11/k21/knK1/ω2p1K2/ω2p2K3/ω2p3Z實現無窮大處的極點z(∞)=∞實現原點處的極點z(∞)=∞實現±jωpi處的共軛復數點極點z(∞)=∞LC福斯特1型網絡及其各元件的功能電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡(3)LC福斯特1型網絡元件數目的確定a.福斯特1型網絡元件數目由網絡阻抗函數Z(s)的極點總數目(包括無窮大處極點的數目)確定。

b.串聯電感和串聯電容的確定（a）如果元件的數目(極點的數目)為奇數，就需要一個串聯電感或串聯電容。具體可以根據Z(0)的值是零還是無窮大來確定網絡的第一個串聯元件是電感還是電容。如果Z(0)=0,則網絡的第一個串聯元件是電感。如果Z(0)=∞,則網絡第一個串聯元件是電容。電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡也可以根據Z(∞)值確定網絡的第一個串聯元件是電感還是電容。如果Z(∞)=0,則網絡的第一個串聯元件是電容。如果Z(∞)=∞,則網絡的第一個串聯元件是電感。(b)如果元件的數目為偶數，則網絡的串聯電感和串聯電容要么都需要，要么都不需要。如果Z(0)=∞或Z(∞)=∞,則網絡的串聯電感和串聯電容都需要。如果Z(0)=0或Z(∞)=0,則網絡的串聯電感和串聯電容都不需要。電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡c.確定LC并聯網絡的個數

LC并聯網絡的個數根據阻抗函數共軛極點的對數來確定。電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡（4）福斯特1型網絡元件數值的確定網絡元件的數值由Z(s)的表達式確定。下面舉例說明。電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡例2.5(a)已知網絡的阻抗函數

假設H=1,求對應的LC福斯特1型網絡；

(b)假設H=10,求對應的LC福斯特1型網絡；

(c)如果Z(s)的表達式中的s用10s代替，求對應的LC福斯特1型網絡。電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡

解：(a)(1)求電路結構

Z(s)的極點為±j1,±j3,零點為0，±j2，∞。極點和零點都為簡單極點且在虛軸上交替出現，歸一化因子為正，因此Z(s)為可實現的LC網絡的輸入阻抗。

Z(s)有4個極點，因此網絡可以用4個元件實現；因為Z(0)=0,因此沒有串聯電容；因為網絡元件數目為偶數,因此沒有串聯電感；因此網絡由2個LC并聯電路實現，如圖2-2-2。電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡C1C2L1L2Z圖2-2-2電路實現電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡

為了求網絡中的元件值，將Z(s)展開為部分分式，并合并為復共軛的形式：電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡

CL由此可得：電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡C1C2L1L2Z電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡LC網絡LCCLLCC2L2L1C1C2L2輸入阻抗零、極點的位置(a)(b)(c)(d)(e)(f)元件值的求法:

方法:根據圖2-2-2給出的各元件的值求.

電容的值為

電感的值為CL電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡(b)如果阻抗的歸一化因子H乘以10，即H由1變為10，就說明網絡的阻抗擴大為原來的10倍。則每個元件的阻抗應擴大10倍。于是，L1和L2變為10L1和10L2;C1和C2變為C1/10和C2/10。C1C2L1L2Z電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡(c)如果Z(s)的表達式中的s用10s代替，就說明電路的工作頻率增加為原來的10倍。則每個電感的感抗和每個電容的導納增大為原來的10倍。于是,L1和L2變為10L1和10L2;C1和C2變為10C1和10C2。C1C2L1L2Z電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡2.2.2福斯特2型網絡的實現(1)福斯特2型網絡的結構為了實現福斯特2型網絡，考慮LC網絡導納的最常用表達式：

將Y(s)的表達式展開為部分分式，并將復共軛項組合，得(注意:與Z(S)的形式相同,但性質是導納.)電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡式（2-2-5)中，系數K的求法如下（注意:與Z(S)的形式相同,但運算對象是導納）：電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡

從式（2-2-5）可知，Y(s)為導納之和，所以該網絡可以由并聯元件實現：第一項Hs,可以用一個電容量為H法拉的電容實現；第二項k0/s,可以用一個電感量為1/k0亨的電感實現；第三項是：電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡其中，

阻抗Z3由兩部分組成，第一個是1/k1亨利的電感，第二個是k1/ω2p1法拉的電容。電容和電感串聯構成阻抗Z3。式（2-2-5）的其它各項也可以由電容和電感串聯構成。式（2-2-5）的完全實現電路如圖2-2-3所示。電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡H1/k01/k11/k21/knK1/ω2p1K2/ω2p2Kn/ω2pnY圖2-2-3福斯特2型網絡的結構電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡（2）福斯特2型網絡的特點由以上推導和圖2-2-3可以看出，福斯特2型網絡具有以下特點.(為了統一,還是討論Z(S))a.凡是歸一化系數為正、在虛軸上具有相互交替的簡單零點和極點的有理函數所表示的輸入阻抗都可用圖2-2-3所示的福斯特2型LC網絡實現；b.第一個電容實現Z(∞)=0。如果沒有它，其它的電感在s=∞時會使網絡開路，從而使Z(∞)=∞；c.第一個電感實現Z(0)=0。如果沒有它，其它的電容在s=0時會使網絡開路，從而使Z(0)=∞；電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡d.該網絡實現了Z(s)的全部各種零點：第一個并聯電容實現了無窮大處的零點；第一個并聯電感實現了原點處的零點；第一個串聯LC電路實現了±jωp1處的零點；第n個串聯LC電路實現了±jωpn處的零點；e.從福斯特2型網絡不能看出Z(s)的極點的分布情況。電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡圖2-2-3福斯特2型網絡的結構H1/k01/k11/k21/knK1/ω2p1K2/ω2p2Kn/ω2pnY實現無窮大處的零點Z(∞)=0實現原點處的零點Z(0)=0實現±jωpn處的共軛零點Z(ωpn)=0電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡H1/k01/k11/k21/knK1/ω2p1K2/ω2p2K3/ω2p3Z實現無窮大處的極點z(∞)=∞實現原點處的極點z(∞)=∞實現±jωpi處的共軛復數點極點z(∞)=∞H1/k01/k11/k21/knK1/ω2p1K2/ω2p2Kn/ω2pnY實現無窮大處的零點Z(∞)=0實現原點處的零點Z(0)=0實現±jωpn處的共軛零點Z(ωpn)=0（3）福斯特2型網絡元件數目的確定Z(s)的每一個極點對應一個元件。因此，由網絡阻抗函數Z(s)的極點總數目(包括無窮大處極點的數目)確定。

(這是根據福斯特2型網絡元件數目的確定方法推得的)電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡b.并聯電感和并聯電容的確定電容和電感的數目要么相等，要么差值為1；如果元件的數目為奇數，就需要一個并聯電感或并聯電容。具體可以根據Z(∞)和Z(0)的值來確定。如果Z(∞)=0,則網絡的第一個元件是并聯電容；如果Z(0)=0,則網絡的第一個元件是并聯電感。電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡

如果元件的數目為偶數，則網絡的并聯電感和并聯電容要么都需要，要么都不需要。如果Z(∞)=0則網絡的并聯電感和并聯電容都需要。如果Z(0)=∞,則網絡的并聯電感和并聯電容都不需要。電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡

c.LC串聯網絡的個數的確定

LC串聯網絡的個數=總的元件數目-并聯電容和并聯電感的數目3）福斯特2型網絡元件數值的確定網絡元件的數值由Z(s)的表達式確定電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡例2-2-2用福斯特2型網絡實現如下輸入阻抗函數解:a）阻抗函數Z(s)有4個極點±j1,±j3

，三個有限零點0,±j2,一個無限遠處的零點.零點和極點互相交替.所以,可以用LC福斯特網絡實現該阻抗函數。電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡解：b）.確定網絡元件的數目及電路由于Z(s)有4個極點±j1,±j3

，所以網絡總共有4個元件。由于Z(0)=0，所以需要一個并聯電感。由于元件數目為偶數，所以需要一個并聯電容。由此可以確定電路的結構如圖2-2-4所示：L1C1L2C21/k0H1/k1K1/ω2p1電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡用1型網絡實現用2型網絡實現C1C2L1C1L2C21/k0H1/k1L1L2Z1/k1K1/ω2p1K2/ω2p21/k2用不同網絡實現相同的轉移函數電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡b.確定元件值由Y(s)的部分分式可知：其中，H=1電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡其中電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡根據Y(s)的表達式和圖2-2-3中的元件的關系可以求得各元件的值為：電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡也可以根據Y(s)的展開式求元件值：與原電路比較可知有如下關系：電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡2.2.3RC福斯特1型網絡的實現(1)RC福斯特1型網絡的結構RC福斯特1型網絡的結構C3C2C1R1R2R電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡K4/α4H1/k01/k21/k41/knK2/α2Y福斯特2型RC網絡的結構C3C2C1R1R2R福斯特1型RC網絡的結構

設α1

=0，即分子多項式和分母多項式的次數相等，則上式可表示為：

為了實現福斯特1型RC網絡，考慮RC網絡阻抗最常用的表達式：電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡LC網絡電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡K的求法如下

實現電路如圖所示：1/k31/k51/knZH1/k1K3/α3K5/α5Kn/αnCCRR1/k31/k51/knZH1/k1K3/α3K5/α5Kn/αn圖2-2-5福斯特1型RC網絡的實現實現原點處的極點Z(0)=∞防止s=∞時網絡被電容短路負實軸上位于(-1/RiCi)處的極點z(α)=∞電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡（2）福斯特1型RC網絡的特點

由以上推導和圖2-2-1看出，福斯特1型網絡具有以下特點a.如果一個阻抗函數的歸一化系數為正、零點和極點是簡單的、相互交替的、并且位于非正實軸上的，而且在原點處或最靠近原點處是一個極點的話，都可以用圖2-2-1所示的福斯特1型網絡實現；b.Z(s)的低頻特性Z(0)決定第一個電容是否出現:

如果Z(0)=∞,則圖2-2-5中的第一個串聯電容必須出現，以使s=0時網絡開路。如果Z(0)≠∞，則圖2-2-5中的第一個電容不能出現,以使網絡在s=0時有一個電阻通路。c.Z(s)的高頻特性Z(∞)決定第一個電阻是否出現:

如果Z(∞)≠0,則圖2-2-5中的第一個串聯電阻必須出現，以防止s=∞時網絡被電容短路。如果Z(∞)=0,則圖2-2-5中的第一個電阻必須不出現，以使網絡的輸入端有一個電容通路使網絡在s=∞時短路。

低頻特性，Z(0)，Z(s)|s=0

這三種表述等效高頻特性，Z(∞)，Z(s)|s=∞

這三種表述等效電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡d.電阻與電容數目的決定:

由s很大和很小的時候,Z(s)的特性決定：當s很大和很小的時候,如果Z(s)的特性都是一個電阻，則在實現電路中的電阻元件的數目比電容的數目大1。當s很大和很小的時候,如果Z(s)的特性都是一個電容，則在實現電路中的電容元件的數目比電阻的數目大1。電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡

當s很大和很小的時候,如果Z(s)的特性不一樣,則電阻的數目與電容的數目相等.即:

當s很大的時候，如果Z(s)的特性是一個電阻，而當s很小的時候，Z(s)的特性是一個電容，或者相反，則在實現電路中的電阻元件的數目與電容的數目相等。電容的數目等于阻抗函數極點的數目.在任何情況下,有一個極點，就有一個電容。電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡e.該網絡實現了Z(s)的各種極點：第一個電容實現了原點處的極點；每一個RC并聯網絡實現了負實軸上位于(-1/RiCi)處的極點；電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡例2.7

用福斯特1型RC網絡實現下列阻抗函數：解：(1)求電路結構因為Z(s)的零點和極點是交替出現在非正實軸上，所以該函數是可以用RC網絡實現的。-1-2-3-4零極點分布電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡因為Z(s)有3個極點，因此電路必須包括3個電容。包含3個電容的電路可能有：1/k31/k5ZH1/k1K3/α3K5/α51/k31/k51/knZK3/α3K5/α5Kn/αn電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡

當s很大和很小的時候，Z(s)的特性都是電容性的，即所以，所實現的電路電容元件的數目比電阻的數目大1。故電路必須包含2個電阻3個電容。用福斯特1型RC網絡實現Z(s)的電路如圖2-2-6。C2C1R1C3R2電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡（2）求元件值為求元件值，將Z(s)的表達式展開為：

求系數：電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡于是有：

將上式與圖2-2-5相比可以得到：1/k31/k5Z1/k1K3/α3K5/α5電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡(1)ＲC福斯特2型網絡可實現的條件：

如果一個阻抗函數的零點和極點是簡單的、位于非正實軸上的，并且它在原點處或最靠近原點處是一個極點的話，可以用RC福斯特網絡（1型或2型）實現。也就是說,具有下列形式的阻抗函數可以用RC福斯特網絡實現:2.2.4福斯特2型RC網絡的實現電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡(2)ＲC福斯特2型網絡的結構

a.為了方便，先求Y(s)/s。

b.由Y(s)/s求得Y(s)。

c.將Y(s)進行因式分解。求出各因式的系數K。

d.根據Y(s)的表達式求出相應的電路結構。(因為通常給出的是阻抗函數Z(s),而Z(s)的表達式的分母的階次一般都大于分子的階次。直接展開Y(s)會得到負的K值，因而為了方便，先求Y(s)/s，而不是直接對Y(s)進行因式分解。)電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡K值按下式求得：

求得ki值以后，將式（2-2-8）乘以s，得Y（s）的展開式電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡Kn/αnK4/α4H1/k01/k21/k41/knK2/α2Y圖2-2-7福斯特2型RC網絡的實現電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡例2.8用福斯特2型RC網絡實現下列阻抗函數（與例2-2-3的相同）：

解：因為Z(s)的零點和極點是交替出現在非正實軸上，所以該函數是可以用RC網絡實現的。-1-2-3-4零極點分布電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡

因為Z(s)有3個極點，因此所實現的電路必須包括3個電容。

當s很大和很小的時候，Z(s)的特性都是一個電容，即

所以，所實現的電路必須包括2個電阻(電容的數目比電阻多1)。電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡用福斯特2型RC網絡實現Z(s)的電路如圖2-2-8所示。C6圖2-2-8福斯特2型RC網絡的實現C4R2R4C5H1/k2K2/a2K4/a41/k4電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡（2）求元件值為了求元件值，將Y(s)/s的表達式展開：電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡求得Y(s)的表達式為各系數的求法如下:電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡將上式與圖2-2-8相比可以得到：

C1R2R4C2H1/k2K2/a2K4/a41/k4C4電路理論與設計2.2用部分分式法綜合無源網絡例2.9

某一振蕩器含有3次諧波失真.設計一個濾波器,要求：能抑制3次諧波失真而不衰減基波分量.VOZRVi振蕩器電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計解:該濾波器可以用一個阻抗Z來實現.

設基波頻率為ω.

為了能抑制3次諧波信號,阻抗Z必須在處具有零點.

為了不衰減基波分量,阻抗Z必須在處具有極點。因此,阻抗函數應為：

××-jω-j3ω+j3ω+jω電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計原點處附加的零點不影響對3次諧波信號的抑制,也不影響基波信號的通過（如果輸入中含有直流分量，則不能附加該零點）。該函數可以用福斯特1型電路實現，也可以用福斯特2型電路實現。××

上述阻抗函數不能用無源元件來實現。因為它的零點和極點不是交替的。為了能用無源元件來實現，修改使原函數在原點處具有零點：××-jω-j3ω+j3ω+jω電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計福斯特1型實現電路：將原函數Z(s)分解為部分分式RVi電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計福斯特2型實現電路：將導納函數Y(s)分解為部分分式RVi電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計1.WhyareweinterestedinLCladdernetworks?(1)Imaginary-axistransfer-functionzerosmaybeimplementedbytheproperchoiceofLCimpedancesintheseriesandshuntarmsoftheladder.(2)WithRCladdernetworks,negativereal-axispolesandzeroscanbeimplemented.(3)ResistivelyterminatedLCladdernetworksmaybeusedtorealizetransferfunctionswithlefthalf-planepoles.Low-pass,high-pass,band-pass,andband-stopfiltersareexamplesofsuchrealizations.電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計2.4.1梯形網絡及其主要性質2.Themainfeatureofladdernetworks(1)Aladdernetworkiscomposedofelementsconnectedalternatelyinseriesandinparallel.(2)Iftheinputisavoltagesource,thefirstelementisalmostalwaysaserieselement(inthiscase,anyshuntelementwouldaffectonlytheinputimpedancebutnotthetransferfunction).Iftheinputisacurrentsource,thefirstelementisalmostalwaysashuntelement.

電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計

(3)Mostladdernetworksaredesignedwithacommoninputandoutputterminal.(4)Anotherimportantfeatureofladdernetworksistheeasewiththezerosofthetransferfunctionarerecognizedorimplemented.Azerooftransferfunctionoccursforthosevaluesofsthatmakeaseriesimpedanceinfiniteorashuntimpedancezero.（前面學過的阻抗和現在的轉移函數的關系）電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計１.Transfer-functionzero-producingsectionsFig.2-4-1Serieselementsanditstransferfunctionzero(s)atinfinityS=∞atoriginS=0電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計2.4.2梯形網絡傳輸零點的實現2.Transfer-functionzero-producingsectionsFig.2-4-2

Shuntelementsanditstransferfunctionzero(s)atinfinityS=∞atoriginS=0電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計Theinput-impedancefunctionofLCnetworkhaspolesandzerosthatarepurelyimaginary.IftheLCnetworksareusedintheseriesorintheshuntarmsofaladder,causetransfer-functionzerosthatareontheimaginaryaxisonly.LC網絡的零極點都是虛的,因此將LC串聯網絡用在梯形網絡的并臂上或將LC并聯網絡用在梯形網絡的串臂上，就可以實現梯形網絡轉移函數在虛軸上的零點.電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計(1)虛軸上零點的實現：(2)無窮遠處零點的實現將電感L用在梯形網絡的串臂上或將電容C用在梯形網絡的并臂上可以實現梯形網絡轉移函數在無窮遠處的零點.ViVo實現s=∞處的零點實現s=0處的零點實現處的零點實現處的零點實現s=0處的零點實現s=∞處的零點L1L2C1L3L4C2C3C4R電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計(3)原點處零點的實現將電感L用在梯形網絡的并臂上或將電容C用在梯形網絡的串臂可以實現梯形網絡轉移函數在原點處的零點.ViVo實現s=∞處的零點實現s=0處的零點實現處的零點實現處的零點實現s=0處的零點實現s=∞處的零點L1L2C1L3L4C2C3C4R電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計

圖2-4-8雙端接電阻的LC梯形網絡LC網絡ViVoRLRs+-2.4.3端接電阻的LC梯形網絡１.端接電阻的LC梯形網絡的性質在網絡的源端和負載端都有端接電阻的網絡稱為雙端接載的LC梯形網絡。如圖所示。電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計

如果LC網絡連接成梯形網絡，則電壓轉移函數的形式為：

其中Ｋ為零或正整數。轉移函數的零點:位于虛軸上、原點處或無窮遠處。原點處可能有多重零點,它們是由串聯電容或并聯電感實現的;

當時,虛軸上也可能有多重零點.

轉移函數的極點:所有極點都有負實部,因此,在原點處或無窮原處沒有極點.

電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計

式(2-4-5)可實現的條件:

（1）零點：位于原點、虛軸上或無窮大處。（2）極點:位于s平面的左半平面,即原點或無窮大處不會有極點。即：如果一個轉移函數沒有原點或無窮大處的極點，那么，它就可以用一個端接電阻的LC網絡實現。

與ＬＣ網絡不同，端接電阻的LC梯形網絡零點極點無須交替。電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計２.梯形網絡轉移函數分母多項式的分解設梯形網絡轉移函數分母多項式為P(s),如果它的零點位于S左半平面（RLC網絡的分母就具有這種形式），根據P(s)中S的冪次的奇偶,可將P(s)分解為偶部Ev(s)和奇部Od(s),即分解以后的偶部和奇部具有以下性質:偶部和奇部的零點是簡單的、位于虛軸上。且偶部和奇部的零點(如果P是一個轉移函數的分母,則這些零點就是轉移函數的極點)是相互交替的;電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計(2)偶部和奇部的比或與LC網絡輸入阻抗函數的性質完全相同。所以,由具有左半平面零點的多項式的偶部和奇部組成的或可以用LC網絡輸入阻抗實現.

由一個LC網絡輸入阻抗函數的分子和分母多項式相加形成的多項式是一個具有左半平面零點的多項式.電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計Example2-4-3GiventhepolynomialShowthattheratiofromtheevenandoddpartsofthispolynomialisrealizableastheinputimpedanceofanLCnetwork.SolutionThepolynomial,infactoredform,isNotethatallthezerosofP(s)inthelefthalf-plane.Therefore,theratioformedfromitsevenandoddpartsisLC-realizable.Toshowthis,poseP(s)intoitsevenandoddpartsandfactortheresultingpolynomials:電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計ThezerosofEv(s)areat:ThezerosofOd(s)areat:電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計Thezerosofbothpartsaresimpleandpurelyimaginary.Furthermore,theycanbearrangedinalternatingorder.Therefore,therationalfunctionformedbytheratiooftheeven-tooddpartoritsinverseisrealizableastheinputimpedanceofaLCnetwork;forexample,電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計2.4.4源邊端接電阻的LC梯形網絡

因為一個電阻可以將一個LC網絡的極點移動到左半平面，該電阻可以放在網絡中比較方便的位置。一種可能就是置于輸入端，該電阻可以包含電源的內阻。為了不失一般性，令該源電阻為１Ω（以后我們可以將網絡中每個元件的阻抗乘以源電阻ＲＳ的實際值。這種歸一化方式并不影響電壓比）。

電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計圖2-4-9源邊端接電阻的網絡

2LC+ViVo1+-12Z1LC1RS實現圖2-4-9所示網絡的源邊端接電阻的網絡的設計步驟。電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計(1).將V0/Vi的分母多項式分解為偶部和奇部：(2).根據轉移函數分子Ｎ中s最高次冪的奇、偶，分別利用下面的公式設計LC網絡:電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計(3).將前面所設計的LC網絡接成如圖2-4-9所示的形式,就是所要設計的源邊端接電阻的LC網絡.LC+ViVo1+-12Z1LC1RS電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計如果源電阻是50,求H的值.例2.13

設計一個網絡,以實現下列傳遞函數:電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計解:（1）網絡的可實現性討論極點:網絡的極點為-1,,均位于s左半平面。零點:原點處有一個零點，無窮大處有2個零點。

(因為分母比分子高2次,所以有2個零點位于無窮大處).

該函數沒有原點或無窮大處的極點，滿足式（2-4-5）的可實現條件。可以用一個端接電阻的LC梯形網絡實現。電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計(2)網絡函數的分解為了得到這樣的網絡，首先確定給定函數的N、Ev和Od=故得：N=HS，Ev=2S2+1，Od=S3+2S電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計（3）構建LC網絡因為N為奇，和用式（2-4-11a）構建LC網絡的輸入阻抗：將Z1LC展開為分式，得到福斯特Ⅰ型網絡

其中L1=1/2，C1=4/3，L2=3/2電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計Vo1-L1=1/2C1=4/3Vs++L2=3/2

（4）構建端接載的LC網絡畫出Z的網絡并安排輸出端以使兩個零點位于無窮大處，一個零點位于原點處。實現電路如圖2-4-10a。其中無窮大處的二階零點由L1和C1實現，原點處的零點由L2實現。圖2-4-10a電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計L1=1/2Vo1-C1=4/3Vi++L2=3/2下圖所示電路也符合Z1LC表達式的關系,但輸出端的安排不能實現兩個位于無窮大處的零點．電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計為了求H,可求出S很大時圖2-4-10所示電路的傳遞函數,并將它和題目給出的傳遞函數進行比較得到。當S很大時圖2-4-10所示電路的傳遞函數為:(S很大時:

與L1相比,RS可以忽略;

與C1相比,L2可以忽略.所以變成L1和C1的分壓).Vo1-L1=1/2C1=4/3Vs++L2=3/2電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計比較兩個轉移函數,

當S很大時題目給出的傳遞函數為:從而求得H=3/2。電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計

如果源電阻不是1Ω而是50Ω，則需要將圖2-4-10a中各阻抗乘以50，就可以得到所需的電路.也就是將各電阻和電感值乘以50而將各電容值除以50而得到。其實現電路如圖2-4-10b所示。圖2-4-10a、b可以實現相同的傳遞函數。Vo50-L1=25C1=2/75Vi++L2=75圖2-4-10(b)Vo1-L1=1/2C1=4/3Vs++L2=3/2圖2-4-10(a)電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計

下面用福斯特Ⅱ型電路實現上述傳遞函數將Y1LC展開為部分分式：

其中：La=2，Lb=2/3，Ca=3/4

畫出當原電阻R為1Ω和50Ω時的福斯特Ⅱ型實現電路如圖2-4-11a、b所示。電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計Vo1-La=2Ca=3/4Vi++Lb=2/3Vo50-La=100Ca=3/200Vi++Lb=100/3電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計無限遠處的零點由Lb，C2實現。原點處的零點由La實現當S很大時可求出H值：

所以，H=2電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計Z2LCViTLCVoRL1+-22負載端端接電阻

將網絡極點移動到左半平面的另一種辦法是在LC網絡的輸出端接入一個電阻，該電阻可能就是網絡的負載。設該電阻為1Ω。實現電路的形式為圖5—12a所示。

（a）（b）圖2-4-12負載端端接電阻LCViVoRL1+-Z2LC1122電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計

令TLC(s)代表端口2開路時從端口1到端口2的電壓傳輸函數，則Vi傳到端口2的實際電壓為ViTLC。

ZLC為LC網絡的輸出阻抗。則從端口2看進去的戴維南等效電路為圖2-4-12b所示。則

（2-4-14）傳遞函數為電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計

（2-4-15），

（N為偶數）（2-4-16a），

（N為奇數）（2-4-16b）。

因為TLC代表一個LC梯形網絡的電壓比，由式（2-4-6）可知它是S的偶次函數。為了獲得TLC和Z2LC，將式（2-4-14）分解為電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計比較方程（2-4-14）和（2-4-16）得

（2-4-17a）

（2-4-17b）于是，根據所給定的電壓傳遞函數中的N、奇部Od、偶部Ev，就可以利用式(2-4-17a、b)構造出TLC和Z2LC。Z2LC是一個梯形網絡，其中的各支路可以實現Vo/Vi的所有零點。

電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計小結：負載端接電阻的LC網絡的設計公式：電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計例2.14設源阻抗為0Ω，負載為50Ω，設計一個網絡以實現下列傳遞函數并求H的值.：電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計解：所給的傳遞函數與例2-4-3中的相同。與例2-4-3一樣，我們首先將Vo/Vi分解，可獲得N、Ev和Od。

于是得：N=HS，Ev=2S2+1，Od=S3+2S電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計

因為N為奇數，利用式（2-4-17a）構建LC網絡的輸出阻抗Z2LC

將Z2LC展開為部分分式，以實現福斯特Ⅰ型電路：于是得：C1=2，C2=2/3，L1=3/4。電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計

畫出Z2LC網絡并安排輸入端口以使無窮大處具有2個零點，原點處有1個零點。端接負載電阻為1Ω時的實現電路為圖2-4-13a所示。無窮大處的零點由L1和C2實現，原點處的零點由C1實現。RL1L1=3/4C2=2/3+ViC1=2Z2LC電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計當S很大時得：

求得H=2。為了得到端接50負載時的實現電路。可將圖2-4-13a中各阻抗值乘以50，得到圖2-4-13b所示電路。電路理論與設計2.4端接電阻的LC梯形網絡的設計Vo-+Vi+RL50L1=75/2C