被控過程數學模型數學模型的概念被控過程的數學模型數學模型是描述系統動態特性及各變量之間關系的數學表達式。而被控過程的數學模型指過程的輸入變量與輸出變量之間定量關系的描述。1）過程的輸入變量至輸出變量的信號聯系稱為通道2）控制作用至輸出變量的信號聯系稱為控制通道3）干擾作用至輸出變量的信號聯系稱為干擾通道過程的輸出為控制通道與干擾通道的輸出之和

數學模型的類型被控過程的數學模型（1）：微分方程：時域、其它模型的基礎、直觀、求解繁瑣（2）：傳遞函數：復頻域、微分方程拉氏變換后的結果（3）：動態模型：變量各階導數之間關系的微分方程（1）：相似性：不同性質的系統，具有相同的數學模型。（2）：簡化性和準確性：忽略次要因素，簡化之；準確體現了系統性質。數學模型的特點（3）：靜態模型：靜態條件下，各變量之間的代數方程。（4）：動態模型：變量各階導數之間關系的微分方程。被控過程的數學模型（1）：全面、深入地掌握被控過程的數學模型是控制系統設計的基礎。（2）：良好數學模型的建立是控制器參數確定的重要依據。（3）：數學建模是仿真或研究、開發新型控制策略的必要條件。（4）：通過對生產工藝過程及相關設備數學模型的分析或仿真，可以為生產工藝及設備的設計與操作提供指導。（5）：利用數學模型可以及時發現工業過程中控制系統的故障及其原因，并提供正確的解決途徑。被控過程數學模型在過程控制中的重要性：被控過程的數學模型一般步驟

1)分析系統運動的因果關系，確定系統的輸入量、輸出量及內部中間變量，搞清各變量之間的關系。

2)忽略一些次要因素，合理簡化。

3)根據相關基本定律，列出各部分的原始方程式。

4)列寫中間變量的輔助方程。（方程數與變量數相等）

5)聯立上述方程，消去中間變量，得到只包含輸入輸出的方程式。系統微分方程的建立機械系統微分方程基本定理：1.牛頓第二定律：F=ma2.簡化模型為阻尼器f、彈簧k、質量塊m大小：—粘滯摩擦系數大小：—彈簧系數方向均為阻礙物體運動趨勢

例彈簧-質量-阻尼器串聯系統。試列出以外力F(t)為輸入量，以質量的位移y(t)為輸出量的運動方程式。

解：遵照列寫微分方程的一般步驟有：

（1）確定輸入量為F(t)，輸出量為y(t)，作用于質量m的力還有彈性阻力Fk(t)和粘滯阻力Ff(t)，均作為中間變量。（2）設系統按線性集中參數考慮，且無外力作用時，系統處于平衡狀態。

KmfF(t)y(t)機械平移系統（3）按牛頓第二定律列寫原始方程，即

（5）將以上輔助方程式代入原始方程,消去中間變量,得

（4）寫中間變量與輸出量的關系式機械平移系統KmfF(t)y(t)機械回轉系統f—轉動時粘滯摩擦系數k—彈性扭轉變形系數機械系統微分方程課堂習題

求圖所示機械系統的微分方程式，圖中F(t)為輸入量，位移x(t)為輸出量，m為質量，k為彈簧的彈性系數，f為粘滯阻尼系數電氣系統微分方程基本定理：1.環路電壓定律2.典型元件的電壓與電流的關系和節點電流定律

例

電阻－電感－電容串聯系統。R-L-C串聯電路，試列出以ur(t)為輸入量，uc(t)為輸出量的網絡微分方程式。電氣RLC系統RCur(t)

uc(t)L

解：（1）確定輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)，中間變量為i(t)。

（2）網絡按線性集中參數考慮且忽略輸出端負載效應。（4）列寫中間變量i與輸出變量uc的關系式:

（5）將上式代入原始方程，消去中間變量得RCur(t)uc(t)L（3）由KVL寫原始方程：i(t)電氣RLC系統

下圖是一個由理想運算放大器組成的電容負反饋電路。電壓ui(t)和uo(t)分別表示輸入量和輸出量，試確定這個電路的微分方程式。電氣有源系統電氣系統微分方程課堂習題

求圖所示電氣系統的微分方程式，圖中Ui(t)為輸