廣東省梅州市河東中學2023年高二數學文下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某科研小組共有5個成員，其中男研究人員3人，女研究人員2名，現選舉2名代表，至少有1名女研究人員當選的概率為（）A． B． C． D．以上都不對參考答案：C【考點】等可能事件的概率．【分析】先確定科研小組共有5個成員，選舉2名代表的方法數，再求出至少有1名女研究人員當選的方法數，由此可求概率．【解答】解：科研小組共有5個成員，選舉2名代表，共有=10種方法，其中至少有1名女研究人員當選，共有=7種方法，∴選舉2名代表，至少有1名女研究人員當選的概率為故選C．2.設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，則當Sn取最小值時，n等于(

)A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：A考點：等差數列的前n項和．專題：等差數列與等比數列．分析：條件已提供了首項，故用“a1，d”法，再轉化為關于n的二次函數解得．解答：解：設該數列的公差為d，則a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以當n=6時，Sn取最小值．故選A．點評：本題考查等差數列的通項公式以及前n項和公式的應用，考查二次函數最值的求法及計算能力3.已知全集，則正確表示集合和關系的圖是參考答案：B略4.對具有線性相關的變量x，y有一組觀測數據（xi，yi）（i=1，2，…6），其回歸直線方程是，且x1+x2+…+x6=10，y1+y2+…+y6=4，則實數a的值是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】線性回歸方程．【專題】對應思想；待定系數法；概率與統計．【分析】根據回歸直線方程過樣本中心點（，），代入方程計算即可．【解答】解：因為=×（x1+x2+…+x6）==，=×（y1+y2+…+y6）==，代入回歸直線方程中，即，解得．故選：A．【點評】本題考查了回歸直線方程過樣本中心點的應用問題，是基礎題目．5.命題P：2016≤2017，則下列關于命題P說法正確的是．（）A．命題P使用了邏輯聯結詞“或”，是假命題B．命題P使用了邏輯聯結詞“且”，是假命題C．命題P使用了邏輯聯結詞“非”，是假命題D．命題P使用了邏輯聯結詞“或”，是真命題參考答案：D【考點】邏輯聯結詞“或”．【分析】根據p或q的定義進行判斷即可．【解答】解：2016≤2017等價為2016=2017或2016＜2017，中間使用了邏輯連接詞或，為真命題，故選：D【點評】本題主要考查復合命題以及邏輯連接詞的判斷，比較基礎．6.若f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有極大值和極小值，則a的取值范圍是

（）A．﹣1＜a＜2 B．a＞2或a＜﹣1 C．a≥2或a≤﹣1 D．a＞1或a＜﹣2參考答案：B【考點】6D：利用導數研究函數的極值．【分析】先求出函數的導數，根據函數有極大值和極小值，可知導數為0的方程有兩個不相等的實數根，通過△＞0，即可求出a的范圍．【解答】解：函數f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1所以函數f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），因為函數有極大值和極小值，所以方程f′（x）=0有兩個不相等的實數根，即x2+2ax+a+2=0有兩個不相等的實數根，∴△＞0，∴（2a）2﹣4×1×（a+2）＞0，解得：a＜﹣1或a＞2故選：B．7.已知圓O：和點,過點M的圓的兩條弦AC,BD互相垂直，則四邊形ABCD面積的最大值（

）

A.

B.

C.23

D.25參考答案：C8.若橢圓的短軸為,它的一個焦點為,則滿足為等邊三角形的橢圓的離心率是()A. B. C. D.參考答案：B略9.在極坐標系中，已知A（1，），B（2，）兩點，則|AB|＝（）A. B. C.1 D.參考答案：B【分析】根據題意，由AB的坐標分析可得|OA|＝1，|OB|＝2，且∠AOB，由余弦定理計算可得答案【詳解】在極坐標系中，已知A（1，），B（2，），則|OA|＝1，|OB|＝2，且∠AOB，則|AB|2＝+﹣2|OA||OB|cos∠AOB＝1+4﹣2×1×2×cos3，則|AB|，故選：B．【點睛】本題考查極坐標的應用，涉及余弦定理的應用，屬于基礎題．10.頻率分布直方圖中每個矩形的面積所對應的數字特征是(

)A.頻數 B.眾數 C.平均數 D.頻率參考答案：D【分析】根據頻率分布直方圖的概念進行判斷。【詳解】頻率分布直方圖中每個矩形的面積故所對應的數字特征是為這一組所對應的頻率.故選：D【點睛】本題考查頻率分布直方圖的概念，屬于基礎題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，且是第二象限角，則____________參考答案：12.若方程x2＋y2－2mx＋(2m－2)y＋2m2＝0表示一個圓，且該圓的圓心位于第一象限，則實數m的取值范圍為________．參考答案：0<m<13.已知雙曲線的右焦點為(3,0)，則該雙曲線的漸近線方程為________.參考答案：

14.已知雙曲線﹣=1與﹣=1有相同的離心率，則m=．參考答案：6【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】根據題意，由雙曲線離心率公式變形可得e2=1+，對于題目所給的兩個雙曲線可得：e12=1+=3和e22=1+，兩者離心率相等，可得1+=3，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根據題意，對于雙曲線﹣=1，其離心率e=，則e2===1+，對于雙曲線﹣=1，其離心率為e1，則e12=1+=3，對于雙曲線﹣=1，其離心率為e2，則e22=1+，而兩個雙曲線有相同的離心率，則有1+=3，解可得m=6；故答案為：6．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質，要掌握并靈活運用雙曲線離心率的計算公式．15.我們知道，在邊長為a的正三角形內任一點到三邊的距離之和為定值，類比上述結論，在棱長為a的正四面體內任一點到其四個面的距離之和為定值

．參考答案：類比在邊長為a的正三角形內任一點到三邊的距離之和為定值，得棱長為a的正四面體內任一點到其四個面的距離之和為定值，如圖，不妨設O為正四面體ABCD外接球球心，F為CD中點，E為A在平面BCD上的射影，由棱長為a可以得到BF＝a，BO＝AO＝a－OE，在直角三角形中，根據勾股定理可以得到BO2＝BE2＋OE2，把數據代入得到OE＝a，所以棱長為a的正四面體內任一點到各個面的距離之和為4×a＝a

16.命題的否定為參考答案：17.已知函數＝若＝，則實數______參考答案：2

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點．（1）證明：MN∥平面PAB；（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值．參考答案：【考點】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定．【分析】（1）法一、取PB中點G，連接AG，NG，由三角形的中位線定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，說明四邊形AMNG為平行四邊形，可得NM∥AG，由線面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、證明MN∥平面PAB，轉化為證明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，過N作NE⊥AC，垂足為E，連接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通過求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，則結論得證；（2）連接CM，證得CM⊥AD，進一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD內，過A作AF⊥PM，交PM于F，連接NF，則∠ANF為直線AN與平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直線AN與平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）證明：法一、如圖，取PB中點G，連接AG，NG，∵N為PC的中點，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，則NG∥AM，且NG=AM，∴四邊形AMNG為平行四邊形，則NM∥AG，∵AG?平面PAB，NM?平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，過N作NE⊥AC，垂足為E，連接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，則sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，則EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，則NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，則MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC?AM?cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，則AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA?平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，則平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD內，過A作AF⊥PM，交PM于F，連接NF，則∠ANF為直線AN與平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中點，得AN==，在Rt△PAM中，由PA?AM=PM?AF，得AF=，∴sin．∴直線AN與平面PMN所成角的正弦值為．【點評】本題考查直線與平面平行的判定，考查直線與平面所成角的求法，考查數學轉化思想方法，考查了空間想象能力和計算能力，是中檔題．19.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4，E為PA的中點．（1）證明：DE∥平面PBC；（2）證明：DE⊥平面PAB．參考答案：

略20.為了解A，B兩種輪胎的性能，某汽車制造廠分別從這兩種輪胎中隨機抽取了8個進行測試，下面列出了每一個輪胎行駛的最遠里程數（單位：1000km）輪胎A

96,112,97,108,

100,103,

86,

98輪胎B

108,101,94，105，96，93，97，106（1）分別計算A，B兩種輪胎行駛的最遠里程的平均數、中位數；（2）分別計算A，B兩種輪胎行駛的最遠里程的極差、標準差；（3）根據以上數據你認為哪種型號的輪胎性能更加穩定？

參考答案：解：（1）100，100

（2）99，99

（3）26，15

略21.(本小題滿分12分)設函數⑴求的最小值.⑵若對恒成立，求實數的取值范圍；參考答案：解：⑴，令即，得當時，，原函數單調遞減；當時，，原函數單調遞增；所以函數在處取到最小值，最小值。⑵由得。令，令。在處取到最大值為1，所以。略22.已知函數