廣東省梅州市梅北中學高三數學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知正項等比數列滿足，若存在兩項使得，則的最小值為

A

B

C

D

25參考答案：A2.下列符合三段論推理形式的為()A．如果pq，p真，則q真B．如果bc，ab，則acC．如果a∥b，b∥c，則a∥cD．如果a＞b，c＞0，則ac＞bc參考答案：B略3.一只螞蟻在邊長為4的正三角形內爬行，某時刻此螞蟻距三角形三個頂點的距離均超過1的概率為A、

B、

C、

D、參考答案：答案：B4.函數的導數為

（）A.

B.

C.

D.

參考答案：A5.已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其導函數f′（x）的部分圖象如圖所示，則函數f（x）的解析式為（） A．f（x）=2sin（x+） B． f（x）=4sin（x+） C．f（x）=2sin（x+） D．f（x）=4sin（x+）參考答案：B略6.已知某函數圖象如圖所示，則圖象所對應的函數可能是（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】對給出的四個選項分別進行分析、討論后可得結果．【詳解】對于A，函數，當時，；當時，，所以不滿足題意．對于B，當時，單調遞增，不滿足題意．對于C，當時，，不滿足題意．對于D，函數為偶函數，且當時，函數有兩個零點，滿足題意．故選D．【點睛】函數圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數的周期性，判斷圖象的循環往復；(5)從函數的特征點，排除不合要求的圖象．7.直線與軸的交點為，點把圓的直徑分為兩段，則其長度之比為

（

）

A．或

B．或

C．或

D．或參考答案：B略8.“”是“”成立的A．充分不必要條件.

B．必要不充分條件.C．充要條件.

D．既不充分也不必要條件.

參考答案：A略9.如圖，長方形ABCD的長，寬，線段MN的長度為1，端點M、N在長方形ABCD的四邊上滑動，當M、N沿長方形的四邊滑動一周時，線段MN的中點P所形成的軌跡為G，記G的周長與G圍成的面積數值的差為，則函數的圖象大致為（

）參考答案：C10.函數y=loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上（其中m，n＞0），則4m+2n的值等于(

)A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：C【考點】直線的一般式方程；對數函數圖象與性質的綜合應用．【專題】計算題．【分析】由對數函數的特點可得點A的坐標，代入直線方程可得2m+n=1，進而可得4m+2n的值．【解答】解：由題意當x=﹣2時，無論a為何值，總有y=﹣1即點A的坐標為（﹣2，﹣1），又點A在直線mx+ny+1=0上，所以﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，故4m+2n=2（2m+n）=2故選C【點評】本題為對數函數過定點的問題，準確找到定點是解決問題的關鍵，屬基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數列{an}的通項公式an=11﹣2n，設Tn=|a1|+|a2|+…+|an|，則T10的值為．參考答案：50【考點】數列的求和．【分析】設數列{an}的前n項和為Sn，則Sn=10n﹣n2．令an=11﹣2n≥0，解得n≤=5+．則T10=|a1|+|a2|+…+|a10|=a1+…+a5﹣a6﹣…﹣a10=2S5﹣S10．【解答】解：設數列{an}的前n項和為Sn，則Sn==10n﹣n2．令an=11﹣2n≥0，解得n≤=5+．設T10=|a1|+|a2|+…+|a10|=a1+…+a5﹣a6﹣…﹣a10=2S5﹣S10=2×（10×5﹣52）﹣（10×10﹣102）=50，故答案為：50．【點評】本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．12.關于x的方程g（x）=t（t∈R）的實根個數記為f（t）．若g（x）=lnx，則f（t）=；若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，則a的取值范圍是

．參考答案：1，a＞1【考點】分段函數的應用．【分析】若g（x）=lnx，則函數的值域為R，且函數為單調函數，故方程g（x）=t有且只有一個根，故f（t）=1，若g（x）=（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，則x＞0時，函數的最大值大于2，且對稱軸位于y軸右側，解得答案．【解答】解：若g（x）=lnx，則函數的值域為R，且函數為單調函數，故方程g（x）=t有且只有一個根，故f（t）=1，g（x）=，當t≤0時，f（t）=1恒成立，若存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，則x＞0時，函數的最大值大于2，且對稱軸位于y軸右側，即，解得：a＞1，故答案為：1，a＞113.設點滿足且，則的最大值為

.參考答案：514.半圓的直徑，為圓心，是半圓上不同于的任意一點，若為半徑上的動點，則的最小值是___________.參考答案：略15.在“家電下鄉”活動中，某廠要將100臺洗衣機運往臨近的鄉鎮，現有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用，每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機10臺，若每輛至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為

元.參考答案：2200略16.函數的圖象與x軸所圍成的封閉圖形面積為．參考答案：【考點】定積分在求面積中的應用．【分析】利用定積分表示封閉圖形的面積，然后計算即可．【解答】解：∵，∴函數的圖象與x軸所圍成的封閉圖形面積為+=+=．故答案為：．【點評】本題考查了利用定積分求曲邊梯形的面積；關鍵是利用定積分表示出封閉圖形的面積，然后計算．17.設全集U=R，集合A={x|x＞2}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，則A∩B=

，A∪B=

，?UB=

．參考答案：（2，3）;（1，+∞）;（﹣∞，1]∪[3，+∞）.【考點】交集及其運算．【專題】集合．【分析】求出B中不等式的解集確定出B，找出A與B的交集，并集，求出B的補集即可．【解答】解：由B中不等式變形得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即B=（1，3），∵A=（2，+∞），∴A∩B=（2，3），A∪B=（1，+∞），?UB=（﹣∞，1]∪[3，+∞）．故答案為：（2，3）；（1，+∞）；（﹣∞，1]∪[3，+∞）【點評】此題考查了交集及其運算，并集及其運算，以及補集的運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數f（x）=x2+aln（x+1）（a為常數）（Ⅰ）若函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是單凋遞增函數，求實數a的取值范圍；（Ⅱ）若函數y=f（x）有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，求證：．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區間上函數的最值．【專題】轉化思想．【分析】（Ⅰ）已知原函數的值為正，得到導函數的值非負，從而求出參量的范圍；（Ⅱ）利用韋達定理，對所求對象進行消元，得到一個新的函數，對該函數求導后，再對導函數求導，通過對導函數的導導函數的研究，得到導函數的最值，從而得到原函數的最值，即得到本題結論．【解答】解：（Ⅰ）根據題意知：f′（x）=在[1，+∞）上恒成立．即a≥﹣2x2﹣2x在區間[1，+∞）上恒成立．∵﹣2x2﹣2x在區間[1，+∞）上的最大值為﹣4，∴a≥﹣4；經檢驗：當a=﹣4時，，x∈[1，+∞）．∴a的取值范圍是[﹣4，+∞）．（Ⅱ）在區間（﹣1，+∞）上有兩個不相等的實數根，即方程2x2+2x+a=0在區間（﹣1，+∞）上有兩個不相等的實數根．記g（x）=2x2+2x+a，則有，解得．∴，．∴令．，記．∴，．在使得p′（x0）=0．當，p′（x）＜0；當x∈（x0，0）時，p′（x）＞0．而k′（x）在單調遞減，在（x0，0）單調遞增，∵，∴當，∴k（x）在單調遞減，即．【點評】本題考查的是導數知識，重點是利用導數法研究函數的單調性、究極值和最值，難點是多次連續求導，即二次求導，本題還用到消元的方法，難度較大．19.（12分）（2015?青島一模）如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AB=，AD=AA1=3，E1為A1B1中點．（Ⅰ）證明：B1D∥平面AD1E1；（Ⅱ）證明：平面ACD1⊥平面BDD1B1．參考答案：【考點】：直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【專題】：空間位置關系與距離．【分析】：（Ⅰ）連結A1D交AD1于G，證明B1D∥E1G，利用直線與平面平行的判定定理證明B1D∥平面AD1E1．（Ⅱ）設AC∩BD=H，通過△BHC～△DHA，結合BC=1，AD=3，求出，，證明AC⊥BD，然后證明BB1⊥AC，得到AC⊥平面BDD1B1，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ACD1⊥平面BDD1B1．（本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）連結A1D交AD1于G，因為ABCD﹣A1B1C1D1為四棱柱，所以四邊形ADD1A1為平行四邊形，所以G為A1D的中點，又E1為A1B1中點，所以E1G為△A1B1D的中位線，所以B1D∥E1G…（4分）又因為B1D平面AD1E1，E1G平面AD1E1，所以B1D∥平面AD1E1．

…（6分）（Ⅱ）設AC∩BD=H，因為AD∥BC，所以△BHC～△DHA又BC=1，AD=3，所以，∵AD∥BC，∠BAD=90°，所以∠ABC=90°∴，從而，，所以CH2+BH2=BC2，CH⊥BH，即AC⊥BD…（9分）因為ABCD﹣A1B1C1D1為四棱柱，AA1⊥底面ABCD所以側棱BB1⊥底面ABCD，又AC底面ABCD，所以BB1⊥AC…（10分）因為BB1∩BD=B，所以AC⊥平面BDD1B1…（11分）因為AC平面ACD1，所以平面ACD1⊥平面BDD1B1．…（12分）【點評】：本題考查直線與平面平行，平面與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．20.（本小題滿分15分）已知橢圓的短軸長為，離心率為，其一個焦點在拋物線的準線上,過的焦點的直線交于兩點，分別過作的切線，兩切線交于點.（Ⅰ）求、的方程；（Ⅱ）當點在內部運動時，求面積的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）由橢圓條件得∴，解得，∴：.∵拋物線的焦點與的一個焦點重合,∴，解得，∴：.（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在且過點，設其方程為，由消去得，令，則，，由得，，，，聯立的方程解得，，，∴，∴點恒在直線上，此直線與交于兩點，∵點在內部，∴，∴，∴，（也可由求得）由消去得，，令，則，，，點到直線的距離，∴的面積令，考察函數，，，∴在上單調遞增，∴，∴，即.21.（13分）某班植樹小組栽培甲、乙兩種松樹，已知小組中每位成員甲、乙兩種至少要栽培一種，已知栽培甲品種的有2人，栽培乙品種的有6人，現從中選2人，設選出的人中既栽培甲品種又栽培乙品種的人數為ξ，且P（ξ=0）=，求：（1）植樹小組的人數；（2）隨機變量ξ的數學期望．參考答案：【考點】概率的應用；離散型隨機變量的期望與方差．【專題】綜合題．【分析】（1）設植樹小組共有x人，兩品種均栽培的有（8﹣x）人，則恰栽一品種的人數為（2x﹣8）人，利用P（ξ=0）=，建立方程，即可求得植樹小組的人數；（2）先確定恰栽一品種的有4人，兩品種均栽培的有2人，計算ξ=1，2時的概率，即可求得數學期望．【解答】解：（1）設植樹小組共有x人，兩品種均栽培的有（8﹣x）人，則恰栽一品種的人數為（2x﹣8）人…∵P（ξ=0）=，∴…整理為：3x2﹣28x+60=0，∴x=6，即植樹小組有6人…[來源:學_科_網]（2）依（1）有：恰栽一品種的有4人，兩品種均栽培的有2人P（ξ=1）==…；P（ξ=2）==…∴Eξ=+2×=…【點評】本題考查離散型隨機變量的概率與期望，解題的關鍵是正確求出概率，利用期望公式求解．22.（本小題滿分12分）如圖，為圓的直徑，點、在圓上，，矩形所在的平面和圓所在的平面互相