廣東省梅州市松口中學2022年高三數學文上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知PC為球O的直徑，A，B是球面上兩點，且，，若球O的體積為，則棱錐的體積為A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.若，則(

)A. B. C. D.參考答案：A【分析】直接利用二倍角的余弦公式求解.【詳解】由題得.故選：A【點睛】本題主要考查二倍角的余弦公式求值，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知等差數列的前n項和為，滿足（

） A、 B、 C、 D、參考答案：D4.中國古代數學名著《九章算術》中記載了公元前344年商鞅造的一種標準量器﹣﹣商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若π取為3，其體積為12.6（立方升），則三視圖中x的為（）A．3.4 B．4.0 C．3.8 D．3.6【考點】L!：由三視圖求面積、體積．參考答案：C【分析】根據三視圖得到商鞅銅方升由一圓柱和一個長方體組合而成，結合體積公式進行計算即可．【解答】解：由三視圖知，該商鞅銅方升由一圓柱和一個長方體組合而成，由題意得3×x×1+π=12.6，得x=3.8，故選：C5.過點作直線與雙曲線交于A、B兩點，使點P為AB中點，則這樣的直線

（

）A．存在一條，且方程為

B．存在無數條

C．存在兩條，方程為

D．不存在參考答案：D略6.設定義在R上的函數f(x)是最小正周期為2π的偶函數，是f(x)的導函數，當時，0＜f(x)＜1；當x∈（0，π）且x≠時，，則函數y=f(x)-sinx在[-2π，2π]上的零點個數為(

)A.2

B.4

C.5

D.8參考答案：B7.已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n﹣5an+23，n∈N*，則數列{an}的通項公式an=（）A．3×n－1 B．3×n－1 C．3×n－1+1 D．3×n+1參考答案：C【考點】數列遞推式． 【分析】Sn=n﹣5an+23，n∈N*，當n=1時，a1=S1=1﹣5a1+23，解得a1．n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1，化為an﹣1=（an﹣1﹣1），再利用等比數列的通項公式即可得出． 【解答】解：∵Sn=n﹣5an+23，n∈N*， ∴當n=1時，a1=S1=1﹣5a1+23，解得a1=4． n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=n﹣5an+23﹣（n﹣1﹣5an﹣1+23），化為：an﹣1=（an﹣1﹣1），a1﹣1=3． ∴數列{an﹣1}是等比數列，首項為3，公比為． ∴an﹣1=，即an=+1， 故選：C． 【點評】本題考查了數列遞推關系、等比數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 8.設，點為所表示的平面區域內任意一點，，為坐標原點，為的最小值，則的最大值為（

）．A．

B．

C．

D．參考答案：A9.德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就顯著，以其名命名的函數f（x）=被稱為狄利克雷函數，則關于函數f（x）有以下四個命題：①f（f（x））=0；②函數f（x）是偶函數；③任意一個非零有理數T，f（x+T）=f（x）對任意x∈R恒成立；④存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．其中真命題的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：B【考點】分段函數的應用．【專題】空間位置關系與距離．【分析】①根據函數的對應法則，可得不管x是有理數還是無理數，均有f（f（x））=1；②根據函數奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數；③根據函數的表達式，結合有理數和無理數的性質；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三點恰好構成等邊三角形．【解答】解：①∵當x為有理數時，f（x）=1；當x為無理數時，f（x）=0，∴當x為有理數時，ff（（x））=f（1）=1；當x為無理數時，f（f（x））=f（0）=1，即不管x是有理數還是無理數，均有f（f（x））=1，故①不正確；接下來判斷三個命題的真假②∵有理數的相反數還是有理數，無理數的相反數還是無理數，∴對任意x∈R，都有f（﹣x）=﹣f（x），故②正確；③若x是有理數，則x+T也是有理數；若x是無理數，則x+T也是無理數，∴根據函數的表達式，任取一個不為零的有理數T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立，故③正確；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．即真命題的個數是3個，故選：B．【點評】本題給出特殊函數表達式，求函數的值并討論它的奇偶性，著重考查了有理數、無理數的性質和函數的奇偶性等知識，屬于中檔題．10.

函數（0<a<1）的圖像大致為下圖的

（

）A

B

C

D參考答案：答案：A

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則按照從大到小排列為______.參考答案：12.給定函數：①，②，③，④，其中在區間（0，1）上單調遞減的函數序號是

（把你認為正確的命題序號都填上）。參考答案：②③。函數，在區間（0，1）上單調遞增，而函數，在區間（0，1）上單調遞減，因此選②③。13.已知正項等比數列{an}中，a1=1，其前n項和為Sn（n∈N*），且，則S4=

．參考答案：15【考點】89：等比數列的前n項和．【分析】由題意先求出公比，再根據前n項和公式計算即可．【解答】解：正項等比數列{an}中，a1=1，且，∴1﹣=，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∴S4==15，故答案為：15．14.已知曲線在處的切線與曲線在處的切線互相平行，則的值為

．

參考答案：或略15.在平面直角坐標系xOy中，函數f(x)=asinax+cosax(a>0)在一個最小正周期長的區間上的圖像與函數g(x)=的圖像所圍成的封閉圖形的面積是

；參考答案：解：f(x)=sin(ax+j)，周期=，取長為，寬為2的矩形，由對稱性知，面積之半即為所求．故填．又解：∫[1－sin(ax+j)]dx=∫eq\f((,20(1－sint)dt=．16.若拋物線的焦點坐標為(0,1)，則=

__

；參考答案：17.設a，b∈R，c∈[0，2π），若對任意實數x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），定義在區間[0，3π]上的函數y=sin2x的圖象與y=cosx的圖象的交點橫坐標為d，則滿足條件的有序實數組（a，b，c，d）的組數為．參考答案：28【考點】排列、組合的實際應用．【分析】首先由已知等式求得a值，然后利用三角恒等變換sin2x=cosx求出所有根的個數，最后利用排列組合的思想求得滿足條件的有序實數組．【解答】解：∵對任意實數x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴|a|=2，若a=2，則方程等價于sin（3x﹣）=sin（bx+c），則函數的周期相同，若b=3，此時c=；若b=﹣3，此時c=；若a=﹣2，則方程等價于sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，此時c=；若b=3，此時c=．綜上，滿足條件的數組（a，b，c，）為（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，）共4組．而當sin2x=cosx時，2sinxcosx=cosx，得cosx=0或sinx=，∴x=+kπ或x=+2kπ，k∈Z又∵x∈[0，3π]，∴x=．∴滿足條件的有序數組（a，b，c，d）共有4×7=28．故答案為28．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.為及時了解男生和女生分別對高考數學試題接受程度，四川省招生考試辦公室隨機測試了90位成都七中高三學生，得到情況如下表：（1）判斷是否有99%以上的把握認為“分數與性別有關”，并說明理由；（2）現把以上頻率當作概率，若從成都七中全校學生中隨機獨立抽取三位男生測試，求這三人中至少有一人測評分數在120以上的概率.（3）已知15位測試分數在120以上得女生來自高三12班或14班，省招生考試辦公室打算從這15位試分數在120以上得女生隨機邀請兩位來參加座談，設邀請的2人中來自12班的人數為X，求X的分布列及數學期望.

男生女生總計測試分數在120以上301545測試分數不超過120202545總計504090附：參考答案：（1）沒有以上的把握認為“分數與性別有關”；（2）（提示：獨立重復事件的概率）；（3）分布列見解析，期望為.解：（1）由于，故沒有以上的把握認為“分數與性別有關”.（2）由題意可得，一名男生測試分數在以上的概率為，測試分數在分以下的概率為，記事件：這三人中至少有一人分數在以上的概率，且各人意愿相互獨立，則.答：這三人中至少有一人分數在以上的概率為.（3）可能的取值為，，，；；..19.某印刷廠為了研究單冊書籍的成本（單位：元）與印刷冊數（單位：千冊）之間的關系，在印制某種書籍時進行了統計，相關數據見下表：根據以上數據，技術人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個回歸方程，方程甲：，方程乙：.（1）為了評價兩種模型的擬合效果，完成以下任務.①完成下表（計算結果精確到0.1）；②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和及，并通過比較的大小，判斷哪個模型擬合效果更好.（2）該書上市之后，受到廣大讀者熱烈歡迎，不久便全部售罄，于是印刷廠決定進行二次印刷，根據市場調查，新需求量為10千冊，若印刷廠以每冊5元的價格將書籍出售給訂貨商，求印刷廠二次印刷10千冊獲得的利潤？（按（1）中擬合效果較好的模型計算印刷單冊書的成本）.參考答案：解：（1）經計算，可得下表：②，，，故模型乙的擬合效果更好；（2）二次印刷10千冊，由（1）可知，單冊書印刷成本為（元）故印刷總成本為16640（元），印刷利潤33360元20.選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系中，圓和的參數方程分別是（為參數）和（為參數），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．（Ⅰ）求圓和的極坐標方程；（Ⅱ）射線：與圓交于點、，與圓交于點、，求的最大值．參考答案：解：（Ⅰ）圓和的普通方程分別是和，∴圓和的極坐標方程為，．（Ⅱ）依題意得點、的極坐標分別為，，∴，，從而，當且僅當，即時，上式取“”，取最大值是4．21.如圖，AB為圓O的直徑，PB，PC分別與圓O相切于B，C兩點，延長BA，PC相交于點D．（Ⅰ）證明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．參考答案：（Ⅰ）證明：因PB，PC分別與圓O相切于B，C兩點，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．則由切割線定理得DC2=DA?DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）考點：與圓有關的比例線段；空間中直線與直線之間的位置關系．專題：選作題；立體幾何．分析：（Ⅰ）利用切割線定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割線定理得DC2=DA?DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）證明：因PB，PC分別與圓O相切于B，C兩點，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥B