高中數學一

題多解經典

題型匯編高中數學一題多解經典題型匯編【典例1】設A、B是全集U的兩個子集，且AuB,則下列式子成立的是()A.CAuCBu—UB?CUAUCUB=UC?ADCBUD.CuADB“解法一：運算法?:CA=(CA)UGB)nCBuCA,A錯誤UBUU—UCAUA=U或CBUB=U,B錯誤UUtAuBnAAB=A，又qBDBC?BDA“,C正確vAuBnADB=AnCvADB珅,D錯誤解法二：特殊值法由題意，不妨設U={1,2,3},B={1,2},A={1}，則CA=CA={2,3}Un⑶u{2,3}nCB={3}U(CUB)u?A)，A錯誤uA—{2,3}n(CB)U(CA)={2,3}豐{1,2,3}=U，B錯誤CB={3}UU1U1JC^B={3},A={1}nC^BDA“，C正確C^A={2,3},B={1,2}nC^ADB={2}，D錯誤解法三：韋恩圖法如右圖所示，通過韋恩圖直接判斷選項的正誤.□□方法解讀□口

解法一：應用這種解法一定要熟悉掌握和理解集合的基本運算法則，比較抽象也有難度。解法二：通過取特殊值后，使各式的運算結果一目了然，更便于判斷，因此該方法比較簡TOC\o"1-5"\h\z、單、干。\\\\解法三：韋恩圖更加地形象直觀，能夠快速、準確的作出判斷，此法它利用了數形結合的思想。【典例2】已知(1—i)Z=3+西(i是虛數單位)，則復數z在復平面內對于的點位于第象限.解法一：復數的四則運算法3+<2i(3+3)(1+i)(3-込)+(3+込)i3-、込3+込.(1-1)z=3+y2inz====+i-i(1-i)(1+i)222???z=匕2-出21n第四象限.2解法二：利用相等復數法(待定系數法)設復數z=a+bi，則z=a-bin<ln<—(a+b)=<21b=nz=a+bi=:.(1一i)z=3+'&2in(1一i)(a一bi)=3n<ln<—(a+b)=<21b=nz=a+bi=第四象限.3-「2第四象限.-in22□□方法解讀□口解法一：先通過解方程得出復數z的共軛復數，再根據復數與共軛復數的關系判斷出復數在z復平面內對應點所在的象限，該方法比較直接。解法二：復數有固定的表達形式，有時不妨假設出復數的表達式，然后再利用待定系數法解出a，b的值，這種方法在有些時候非要有用。

y＜2x【典例3】若變量x,y滿足約束條件＜2x+y＜1，則z=3x+y的最大值y＞-1解法一：解方程法TOC\o"1-5"\h\zy=2x①將原式的不等號看成等號，得+y=1②y=-1③1由①①，得由①①，得＜4-zy=2由①①，得＜y=2xn<y=-由①①，得＜y=2xn<y=-11x=—2n=3x+y=3-y=-i由①①，得＜2x+y=1y=-1n<x=1nzy=-13=3x+y=3-1+(-1)=2比較Z],z2,z3的大小，得z=3x+y的最大值是2.解法二：作圖法解法二：作圖法由圖可知，只有當待定直線y=-3x+z過點P(1,-1)時，直線的截距b=z才最大，即z=3x+y=3-1+(-1)=2.man

□□方法解讀□口解法一：解方程法雖然來得快，但是并不是所有線性規劃題型都適用，具有一定的局限性。解法二：作圖法比較直觀，但是很多同學作圖不規范、區域找不準也容易造成丟分。因此一定要掌握好作圖法的精髓，避免不必要的丟分。【典例4】當0<x<2時，函數y=x（6-3x）的最大值是解法一：二次函數圖像法x(6一3x)=—3x2+x(6一3x)=—3x2+6x2a2-(—3)???f(x)max=f(1)=3解法二：均值不等式法由不等式ab*〒），a,beR+知“c、1c〃c、1(3x+(6—3x))2y=x(6一3x)=—-3x(6一3x)<--=33\2丿當且僅當3x=6-3x，即x=1時，等號成立故f(x)=f(1)=3.max解法三：單調性法（求導法）

已知函數的定義域為(0,2)，則f(x)=—3x2+6xnf'(x)=-6x+6f(x)>0n-6x+6>0n0<x<1f(x)<0n1<x<2:,f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,2)單調遞減nf(nf(x)max=f(1)=3□□方法解讀□口解法一：二次函數圖像法在初中階段就已經深入學習，要用此法一定要充分掌握二次函數TOC\o"1-5"\h\z>>的圖像和性質，知道如何求二次函數的對稱軸，最值等方法。////<<解法二：觀察該函數的結構，可用均值不等式求其最值。但是用均值不等式求最值一定要注意三個前提條件“一正、二定、三相等”，如果無法取到等號那討論將失去意義，同學們應當特別注意。////:解法三：通過求導得到函數的單調性，再將函數的極值與端點值進行比較，從而得到最值。::【典例5】已知sin“cos?=-j，且于<山，則tan—予)=解法一：解方程組法?/sina+cosa=-①5又丁sin2a+cos2a=1①nsin2a+(-5一sina)2=1n25sin2a+5sina-12=0即(5sina一3)(5sina+4)=0解得sina=3或sina5575=-7575=-7.5<a<-nsina=3cosa=-1-sina=--tana=sinacosatan(a—巴)=4tana-tantana-11+tanatan1+tana=-7.解法二：整體代入法tan(a-中)tana-tansinatana-1cosasina-cosa1+tanatan1+tanasinasina+cosacosa?/sina+cosa=一(sina+cosa)2=1+2sinacosa=nsin2a+2sinacosa+cos2a=——nsinacosa=12252525(sina-cosa)2=sin2a-2sinacosa+cos2a=(sina+cosa)2一4sinacosa124925又???<a<-nsina一cosa>0sina-cosa=7原式=sina-cosasina+cosa解法三：萬能公式法?/sina+cosa=一nn(sina+cosa)2=nsinnsin2a=+tan2—a+2sinacosa+nsin2a=+tan2—25sin2a=2sinacosa=--25?/sinx?/sinx=1+tan2a2tana2.小2tanan12tan2a+25tana+12=025n(3tana+4)(4tana+3)=0冗tana-tan4tana-1解得tana=-4冗tana-tan4tana-1/冗、TOC\o"1-5"\h\ztan(a)=1,+z+冗1+tana.1+tanatan—1+4\o"CurrentDocument"1□□方法解讀□口1////解法一：解方程組法是非常常規的方法，是大多數同學普遍使用的方法。但是應用該方法''計算相當繁瑣，而且不易計算。\\\\解法二：觀察所求式子的結構，采用整體代入法是本題的技巧，但是該方法不是所有題目V都適用，同學們要靈活的運用，不能死記硬背，機械記憶。////解法三：此題也可以用萬能公式法，但是很多同學記不住萬能公式。因此有些必要的公式還需要同學們加強記憶和鞏固，只有基本功扎實了，才能應付靈活多變的數學難題。1Ili【典例6】已知向量OA=(k,2),OB=(-2,3),OC=(3k,-4),且A,B,C三點共線，則k=

解法一：距離公式法A,B,C三點共線n\aB+\BC\=|AC|取O點的坐標為(0,0)，則A(k,2),B(-2,3),C(3k4)n|AB=<(-2—k)2+(3—2)2n|BC|=，［(3k+2)2+(—4—3)2n|AC|=\；(3k—k)2+(—4—2)2由|ab|+|bc|=|ac|，解得k=—3.解法二：共線向量法A,B,C三點共線nA,B,C三點共線nAB//BC//ACAB=OB—OA=(—2,3)—(k,2)=(—2—k,1)①BC=OC—OB=(3k,—4)—(—2,3)=(3k+2,—7)①AB//BCnx1y2—x2y1=0(—2—k)-(—7)—(3k+2)-1=0nk=—3.解法三：斜率法A,B,C三點共線nk=k=kABBCAC又A(k,2)，B(—2,3)，C(3k,—4)——7—4—3—7k——kABBC3k—(-2)3k+kAB3k+2:□□方法解讀□口<<解法一：距離公式法屬于常規法，容易想到。但應用此法主要的困難是去掉根號這一步,■■■■.要等式兩邊同時平方兩次才能將根號去掉，計算量相當大，一般來說不建議應用此方法。解法二：將三點共線問題轉化為共線向量問題，是解決該題最好的方法和思路。因此在以</'后遇到的數學問題當中，轉化思想仍然值得每位同學理解和掌握。解法三：斜率法也是解決該題很好的方法，應用此法可以減少很多計算，過程簡單，邏輯鮮明。【典例7】已知函數滿足f(x—2)—x2+5x+7，則f(x)—.解法一：圖像平移法f(x—2)—x2+5x+7是將f(x)的圖像向右平移2個單位長度得到因此再將f(x—2)—x2+5x+7的圖像向左平移2個單位長度，得f(x+2—2)—(x+2)2+5(x+2)+7—x2+9x+21即f(x)—x2+9x+21.解法二：賦值法為了得到f(x)，不妨令x—x+2，則f(x+2—2)=(x+2)2+5(x+2)+7=x2+9x+21即f(x)=x2+9x+21.解法三：換元法令u=x—2，貝9x=u+2f(x—2)=x2+5x+7f(u+2—2)=(u+2)2+5(u+2)+7=u2+9u+21nf(u)=u2+9u+21即f(x)=x2+9x+21.解法四：構造法f(x—2)=x2+5x+7=(x2—4x+4)+4x—4+5x+7=(x—2)2+9x+3=(x—2)2+(9x—18)+18+3=(x—2)2+9(x—2)+21將x-2看成整體x，即f(x)=x2+9x+21.解法五：待定系數法(特殊值法)由題意知，f(x)為二次函數不妨設f(x)=ax2+bx+c(a工0)，貝V由f(x—2)=x2+5x+7，得當x=2時，有f(0)=22+5-2+7=a-02+b-0+c①當x=0時，有f(—2)=02+5-0+7=a-(—2)2+b-(—2)+c①當x=3時，有f(1)=32+5-3+7=a-12+b-1+c

聯立解得a=1,b=9,c=21即f(x)=x2+9x+21.□□方法解讀□口解法一：應用圖像平移法一定要清楚函數圖像平移的原則：左加右減，上加下減。左右平移變化的是雙橫坐標)，上下平移變化的是丁(縱坐標)。解法二：賦值法的本質是換元法，所以此方法與換元法相一致，值得一提的是x=x+2的意思是將x+2賦給x,這里的等號不是嚴格意義上的等號，否則出現0=2的邏輯錯誤。解法三：換元法是求函數解析式最重要的方法之一，同學們一定要熟悉掌握。但此方法也"有局限性，不是所有題目都適用，有些題目只能用其他方法如解方程組法、整體代入法等。////解法四：構造法也叫配湊法，也是求函數解析式常用的方法之一，配湊的原則是“形式一致z性”，只有配湊與函數自變量一致的形式，才能整體換元。解法五：待定系數法最重要的思想是已知函數的類型，從而假設出函數的解析式，進而轉變為求函數的系數或參數。【典例8】函數f(x)=ln(x2-9x+20)的單調遞增區間是解法一：利用復合函數的求導法則f(x)=ln(x2-9x+20)的定義域為x2-9x+20>0n(x-4)(x-5)>0令u(x)=令u(x)=x2一9x+20，2au(x)在(-也4)單調遞減，在(5,+8)單調遞增又丁f(u)=lnu在(0,+s)上單調遞增故f(x)在(-也4)單調遞減，在(5,+8)單調遞增解法二：利用導數與函數單調性的關系f(x)=ln(x2一9x+20)的定義域為(一也4)U(5,+?)1x2一1x2一9x+20-(x2一9x+20)'2x-9x2一9x+20f'(x)>0n2x—9>0nx>2nx>59f'(x)<0n2x一9<0nx<nx<4故f(x)在(-也4)單調遞減，在(5,+8)單調遞增.、TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument":;□□方法解讀□口]解法一：復合函數的單調性遵循“同增異減”的原則，即當內、外層函數的單調性相同時，復合函數單調遞增；當內、外層函數的單調性不同時，復合函數單調遞減。值得一提的是，所有函數都要在定義域的范圍之內進行討論和研究，超出定義域的范圍函數沒有意義。<<<<解法二：利用導數與函數單調性的關系來求函數的單調性，是中學階段最重要的思想方法之一。同學們一定要掌握：只要導函數大于零的區間，函數一定單調遞增；只要導函數小于零的區間，函數一定單調遞減；在導數為零處，函數的增減性無法判斷。【典例9】已知直線kx-y+2—3k=0過定點P，則P點的坐標是.解法一：點斜式法由kx一y+2一3k=0y一2=k(x一3)顯然，當x=3時，y=2

點(3,2)與直線斜率k無關故直線過定點P(3,2).解法二：解方程組法(特殊直線交點法)TOC\o"1-5"\h\z取k=0時，得y=2①取k=1時，得x-y-1=0①聯立□□式，解得x=3,y=2即直線過定點P(3,2).\o"CurrentDocument":□□方法解讀□口：XZ'解法一：點斜式法求直線過定點是最直接的方法，這也是最常規的方法。但在有些題型中很難將給定的待定直線寫成點斜式，這就要求同學們另尋他法，以求得解。解法二：解方程組法的基本思路是尋找特殊的兩條直線的交點，這個交點即為直線所經過的定點。這是目前解決此類問題最好的方法，同學們一定要掌握其精髓，已達到事半功倍?s'、的效果。【典例10】已知AABC為等邊三角形，。是BC上的點，AB=4,BD=1,貝^AB-AD=解法一：直接運算法(數量積公式、向量的加法)AB-AD=AB-(AC+CD)=AB-AC+AB-CDf]，2，]]2=AB-AC+AB--CB=1ABIIACIcos60。+TABIICBIcos60。44

解法二：三角函數法（余弦定理法）由余弦定理，得AD2=AC2+CD2—2ACAD2=AC2+CD2—2AC-CD-cos60。=42+32—2x4x3x1=132nAD=v13cosa=AB2+AD2—BD22AB-AD42+(￡13)2-1272x4x13213AB-AD=1ABIIADIcosa=4x、13x-^=14.2J13解法三：建立坐標系法取BC的中點為O,建立平面直角坐標系xOy如圖所示:A(0,2*3)，B(—2,0)，D(—1,0)460%CAB=(-2,-2備，AD=(-1,-2月)nAB-AD=X]x2+y1y2=—2x(—1)+(-2寸3)x(-213)=14.□□方法解讀□口解法一：直接運算法是解決此類題型最常規的方法之一，應用此方法要求熟悉向量的基本運算法則，掌握平行四邊形法則和三角形法則，只有基本功扎實了，才能如魚得水。TOC\o"1-5"\h\z////解法二：三角函數法是利用正弦定理、余弦定理、面積公式以及射影定理等公式結合向量運算規律求解，綜合性較強，要求熟悉掌握解三角形的有關知識。在一定程度上也是解題不錯的方法。////■<<解法三：建立坐標系法是解決此題的一大亮點，通過建立平面直角坐標系使問題轉化為向量的坐標運算，很大程度上減少了運算過程和難度，是同學們應當理解并掌握的解題方法。

【典例11】求過點P(2,l),且與圓(x-1)2+(y+2)2=4相切的直線l的方程是解法一：判別式法由題意知，設直線的方程為y-1=k(x-2)，則Ik(x-2)+3丄yIk(x-2)+3丄nx2一2x+1+(x一1)2+(y+2)2=4=>(1+k2)x2+(-4k2+6k一2)x+4k2一12k+6=0A=b2-4ac=(-4k2+6k-2)2-4(1+k2)(4k2-12k+6)=0n(2k2-3k+1)2-(1+k2)(4k2-12k+6)=0n4k4+2(2k2)(1-3k)+(1-3k)21(4k2-12k+6+4k4-12k3+6k2)=0n4k4+4k2-12k3+(1-6k+9k2)-4k2+12k-6-4k4+12k3-6k2=0n3k2-6k-5=0解得k=上空k=1323故所求直線方程為y-1=_(x-2)或y-1='+&(x-2).解法二：圓切線的性質法由題意知，設直線的方程為y-1=k(x-2)，貝9kx—y+1—2k=0又因為圓心為(1,-2)圓心到直線的距離等于半徑，即,IAx+By+ClIk+2+1-2kI宀d=00==r=2A2+B2k2+1=13-kI=2丫k2+1n9-6k+k2=4k2+4n3k2+6k-5=0解得k=上蘭6,k=沁61323故所求直線方程為y-1=3—字6(x-2)或y-1=弭；"6(x-2).□□方法解讀□口解法一：依據數形結合的思想，直線與圓相切，意味著將直線與圓聯立方程后消去y得到的關于x的一元二次方程有唯一的實數根，從而轉化為A=0的解方程問題。該方法的思路非常簡單，也屬于常規法之一。但是應用此方法解題有時候計算量太大，通常不建議應使用該方法。解法二：利用切線的性質是解決此類題型非常好的方法，而且計算量小，過程簡單，非常值得每位同學去學習和掌握。解法一：分段函數法□當0<x<1時，logx<0,x一丄<0，此時有f(x)=2-iog2x+x一—=1+x一—=x2xxxxx>0,x—->0，此時有f(x)=2噸2x—(1)x——=x—(1)x一―x(x丿(x丿1x□當x>1時，log2只有D符合題意解法二：特殊值法□取x=，貝9f()=21—\——11=，排除B、C2222□取x=2，則f(2)=21—\2—1\=1，排除A22只有D符合題意解法三：極限法(1)limf(x)=lim2\iog2x\—\x一一\=0xT+8x丿(1)limf(x)=lim2\噸2x\—\x—一\=0xt0xt0(x丿只有D符合題意:、□□方法解讀□口<<解法一：觀察題目中函數的表達式有絕對值，因此考慮去掉絕對值，方法是將函數區間討論。解法二：特殊值法是解決函數圖像題型最好的方法之一，通過取特殊的自變量值大致知道'函數值，然后將答案一一排除。應用此法應