廣東省惠州市第四中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)的圖象大致是（

）參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖象.【答案解析】A解析：解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以==，故函數(shù)為偶函數(shù)，可排除B、C.又當(dāng)時(shí)，，排除D.故選：A．【思路點(diǎn)撥】通過函數(shù)的奇偶性，排除部分選項(xiàng)，然后利用時(shí)的函數(shù)值，判斷即可．2.如圖描述的程序是用來(

)A.計(jì)算2×10的值

B.計(jì)算29的值C.計(jì)算210的值

D.計(jì)算1×2×3×…×10的值參考答案：C3.準(zhǔn)線為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C略4.

參考答案：D略5.已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為()A.

B．1C．2D．4參考答案：C6.正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，，則＝（

）A.－1 B.1 C.2 D.0參考答案：Blga3＋lga4＝lg(a3a4)＝lg(a2a5)＝lg10＝1.選B.7.參考答案：B8.如果直線（，）和函數(shù)（，）的圖象恒過同一個(gè)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)始終落在圓的內(nèi)部或圓上，那么的取值范圍是（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)恒過定點(diǎn)，求得，又由始終落在所給圓的內(nèi)部或圓上，得，聯(lián)立方程組，得到點(diǎn)在以和為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動(dòng)，利用斜率公式，即可求解．【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)，恒過定點(diǎn).將點(diǎn)代入，可得.由于始終落在所給圓的內(nèi)部或圓上，所以.又由解得或，所以點(diǎn)在以和為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取點(diǎn)時(shí)，，取點(diǎn)時(shí)，，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的方程的應(yīng)用，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和直線的斜率公式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意，得到點(diǎn)在以和為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動(dòng)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．9.若則“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A若，則，，所以方程表示雙曲線，若方程表示雙曲線，則，所以或，綜上可知，“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，所以選A．10.觀察等式：，……，由此得出以下推廣命題不正確的是（

）A．

B．C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)變換矩陣為，則其旋轉(zhuǎn)角θ（θ∈上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線y=kx與圓（x﹣5）2+y2=9相交”發(fā)生的概率為

．參考答案：【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】利用圓心到直線的距離小于半徑可得到直線與圓相交，可求出滿足條件的k，最后根據(jù)幾何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圓（x﹣5）2+y2=9的圓心為（5，0），半徑為3．圓心到直線y=kx的距離為，要使直線y=kx與圓（x﹣5）2+y2=9相交，則＜3，解得﹣＜k＜．∴在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k，使直線y=kx與圓（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率為=．故答案為：．12.如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，A，B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”，類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于

.參考答案：根據(jù)“黃金橢圓”的性質(zhì)是，可得“黃金雙曲線”也滿足這個(gè)性質(zhì)．如圖，設(shè)“黃金雙曲線”的方程為，則，，∵，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴黃金雙曲線”的離心率e等于．

13.過拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸左側(cè))，則＝

參考答案：略14.已知的取值如下表所示：x0134y6.7從散點(diǎn)圖分析，與線性相關(guān)，且，則

．參考答案：2.6略15.雙曲線的一條漸近線與直線x+2y+1=0垂直，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的焦點(diǎn)，A為雙曲線上一點(diǎn)，若|F1A|=2|F2A|，則cos∠AF2F1=．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由兩直線垂直的條件可得漸近線的斜率為2，即有b=2a，再求c=a，運(yùn)用雙曲線的定義和條件，解得三角形AF2F1的三邊，再由余弦定理，即可得到所求值．【解答】解：由于雙曲線的一條漸近線y=x與直線x+2y+1=0垂直，則一條漸近線的斜率為2，即有b=2a，c=a，|F1A|=2|F2A|，且由雙曲線的定義，可得|F1A|﹣|F2A|=2a，解得，|F1A|=4a，|F2A|=2a，又|F1F2|=2c，由余弦定理，可得cos∠AF2F1==，故答案為．16.已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為__________。參考答案：略17.已知函數(shù)，，若與的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：的長軸長為4，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S是橢圓C上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS，BS與直線：分別交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN的長度的最小值.參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由橢圓長軸長、離心率和可構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而可得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為：，得；代入橢圓方程可求得，從而得到直線的方程，代入橢圓方程可求得；從而可得，利用基本不等式求得最小值.【詳解】（1）由題意得：，故

，所求的橢圓方程為：（2）依題意，直線的斜率存在，且故可設(shè)直線的方程為：，可得：由得：設(shè)，則，得：，從而即又由可得直線的方程為：化簡得：由得：

故又

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立時(shí)，線段的長度取最小值【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解、直線與橢圓綜合應(yīng)用中的最值類問題的求解.解決最值類問題的關(guān)鍵是能夠?qū)⑺箝L度轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于某一變量的函數(shù)關(guān)系式，采用基本不等式或者函數(shù)求值域的方法來求解最值.19.（本小題滿分14分）已知函數(shù)(a為常數(shù))

（1）當(dāng)時(shí)，分析函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)a>0時(shí)，試討論曲線與軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)參考答案：解：（1）若，則,∴在上單調(diào)遞增……4分

（2）

………6分①若，則；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在，（，內(nèi)單調(diào)遞增，

在內(nèi)單調(diào)遞減的極大值為,的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)

……………9分

②若，則,∴在上單調(diào)遞增,又的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)

……10分③若，

當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

在，（1，內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減的極大值為,

的圖象與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)

………13分綜上所述，當(dāng)時(shí)，的圖象與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

………14略20.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)(直線l與坐標(biāo)軸不垂直)，若PQ的中點(diǎn)為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線ON交直線于M.

(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求的最大值.參考答案：(1)聯(lián)立可得.設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，.于是有.因?yàn)镻Q的中點(diǎn)為N，所以.因此ON的斜率為.因?yàn)橹本€ON交直線于M，所以.故MF的斜率為，

即得.因此MF與PQ垂直，.

………………6分(2)設(shè).令，則.由于，故.因此(當(dāng)時(shí)取到最大值，也即).綜上所述，的最大值為.

………………12分21.一段長為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,問這個(gè)矩形的長,寬各為多少時(shí),菜園的面積最大.最大面積是多少?參考答案：解:設(shè)矩形的長寬分別為,則有,,

面積,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”,故當(dāng)長寬都為9m時(shí),面積最大為81.略22.已知函數(shù)，其中（1）判斷并證明在上的單調(diào)性；（2）若存在，使，則稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)已知該函數(shù)有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值，并求出不動(dòng)點(diǎn)；（3）若存在使成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：解：（1）在上增函數(shù)

…………