廣東省廣州市新港中學2022-2023學年高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，在復平面內，復數zl，z2對應的向量分別是，，則|zl+z2|=

(A)1

(B)

(C)2

(D)3

參考答案：B略2.為了得到函數的圖像，只要把上所有的點（）A.橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變B.橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變C.縱坐標伸長為原來的2倍，橫坐標不變D.縱坐標縮短為原來的，橫坐標不變參考答案：B3.復數（為虛數單位）在復平面上對應的點位于()A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：【知識點】復數的乘法運算；復數的幾何意義。L4

【答案解析】B

解析：∵∴復數z在復平面上對應的點的坐標為，位于第二象限．故選B.【思路點撥】先利用復數的乘法運算求出Z，再判斷即可。4.已知雙曲線的右焦點為F，若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線的斜率的取值范圍是A. B. C. D.

參考答案：A略5.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：C6.將參加夏令營的100名學生編號為001,002,......,100,采用系統抽樣的方法抽取一個容量為20的樣本,且在第一組隨機抽得的號碼為003.這100名學生分住在三個營區,001到047住在第I營區,048到081住在第II營區,082到100住在第III營區,則三個營區被抽中的人數依次為

A.10,6,4

B.9,7,4

C.10,7,3

D.9,6,5參考答案：B略7.已知直線與平面，滿足，，，，則必有（

）(A)且

（B）且

（C）且

（D）且參考答案：D8.中國古代數學著作《孫子算經》中有這樣一道算術題：“今有物不知其數，三三數之余二，五五數之余三，問物幾何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”，若正整數N除以正整數m后的余數為n，則記為N=n（modm），例如11=2（mod3）．現將該問題以程序框圖的算法給出，執行該程序框圖，則輸出的n等于（）A．21 B．22 C．23 D．24參考答案：C【考點】EF：程序框圖．【分析】該程序框圖的作用是求被3和5除后的余數為2的數，根據所給的選項，得出結論．【解答】解：該程序框圖的作用是求被3除后的余數為2，被5除后的余數為3的數，在所給的選項中，滿足被3除后的余數為2，被5除后的余數為3的數只有23，故選：C．9.歐拉公式eix=cosx+isinx（i為虛數單位）是由瑞士著名數學家歐拉發明的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里占用非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”，根據歐拉公式可知，表示的復數在復平面中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點】復數的代數表示法及其幾何意義．【分析】e=cos+isin，化簡即可得出．【解答】解：e=cos+isin=i，此復數在復平面中對應的點位于位于第二象限，故選：B．【點評】本題考查了復數的三角形式、三角函數求值、復數的幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．10.若與的虛部互為相反數，則實數a的值為（

）A.－2 B.2 C.－1 D.1參考答案：D【分析】分別對兩個復數進行四則運算化成復數的標準形式，分別得到得復數的虛部，再相加等于0，從而求得的值.【詳解】因為，所以虛部為，因為，所以虛部為，所以，即.故答案為：D.【點睛】本題考查復數的四則運算，考查對復數概念的理解，考查基本運算求解能力.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，，且滿足，則實數_______．參考答案：略12.由，，，四條曲線所圍成的封閉圖形的面積為__________．參考答案：13.古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數，如三角形數l，3，6，10，…，第n個三角形數為．記第n個邊形數為，（k≥3），以下列出了部分k邊形數中第n個數的表達式：三角形數

， 正方形數

五邊形數

六邊形數

……可以推測的表達式，由此計算

。參考答案：1000將已知的列表式做如下轉化，三角形數：；正方形數；五邊形數：；六邊形數：；可以推測：.所以14.已知函數在區間（）上存在零點，則n=

．參考答案：5函數是連續的單調增函數,

,

,

所以函數的零點在之間,所以n=5

15.設的內角的對邊長分別為，且

，則的值是___________．參考答案：4由得，即，所以，即。16.在平面直角坐標系xOy中，已知點A，F分別為橢圓C：的右頂點、右焦點，過坐標原點O的直線交橢圓C于P，Q兩點，線段AP的中點為M，若Q，F，M三點共線，則橢圓C的離心率為______.參考答案：【分析】根據，關于原點對稱假設，，利用中點坐標公式可求得，利用三點共線可得，利用向量共線可構造等式，從而求得離心率.【詳解】由題意知：，關于原點對稱，可設，又，，則，，，三點共線

，整理可得：即橢圓的離心率：本題正確結果：【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，關鍵是能夠構造出關于的齊次方程，本題構造方程的關鍵是能夠將三點共線轉化為向量共線的關系，從而利用向量共線定理可求得結果.17.如圖，已知點在以，為焦點的雙曲線（，）上，過作軸的垂線，垂足為，若四邊形為菱形，則該雙曲線的離心率為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示，AB為圓O的直徑，BC，CD為圓O的切線，B，D為切點．（Ⅰ）求證：AD∥OC；（Ⅱ）若圓O的半徑為2，求AD?OC的值．參考答案：【考點】與圓有關的比例線段；平行線分線段成比例定理．【分析】（Ⅰ）要證明AD∥OC，我們要根據直線平行的判定定理，觀察已知條件及圖形，我們可以連接OD，構造出內錯角，只要證明∠1=∠3即可得證．（Ⅱ）因為⊙O的半徑為1，而其它線段長均為給出，故要想求AD?OC的值，我們要將其轉化用半徑相等或相關的線段積的形式，結合（Ⅰ）的結論，我們易證明Rt△BAD∽Rt△ODC，根據相似三角形性質，不們不難得到轉化的思路．【解答】（Ⅰ）證明：如圖，連接BD、OD．∵CB、CD是⊙O的兩條切線，∴BD⊥OC，∴∠2+∠3=90°又AB為⊙O直徑，∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴AD∥OC；（Ⅱ）解：AO=OD，則∠1=∠A=∠3，∴Rt△BAD∽Rt△ODC，∵圓O的半徑為2，∴AD?OC=AB?OD=8．19.已知函數．（1）判斷并證明的奇偶性；（2）求證：；（3）已知，且，，求的值．

參考答案：（1）為奇函數．因為所以，定義域為，所以定義域關

于原點對稱，又，所以為奇函數．（2）因為，，所以．（3）因為，所以，又，所以，由此可得：．

20.已知函數f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在區間[﹣，]上的最大值和最小值．參考答案：【考點】二倍角的正弦；兩角和與差的正弦函數；二倍角的余弦；三角函數的周期性及其求法；正弦函數的單調性．【分析】（Ⅰ）利用兩角和與差的三角函數關系將f（x）=4cosxsin（x+）﹣1轉化為f（x）=2sin（2x+），即可求得f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由f（x）=2sin（2x+），x∈[﹣，]，利用正弦函數的單調性質即可求其的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+）﹣1=4cosx（sinx+cosx）﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，﹣1≤2sin（2x+）≤2．∴f（x）max=2，f（x）min=﹣1．21.已知橢圓方程為，長軸兩端點為，短軸上端點為．（1）若橢圓焦點坐標為，點在橢圓上運動，且的最大面積為3，求該橢圓方程；（2）對于（1）中的橢圓，作以為直角頂點的內接于橢圓的等腰直角三角形，設直線的斜率為，試求的值；（3）過任作垂直于，點在橢圓上，試問在軸上是否存在點，使得直線的斜率與的斜率之積為定值，如果存在，找出一個點的坐標，如果不存在，說明理由．參考答案：解：（1）由已知：，，聯立方程組求得：所求方程為：

……………

4分

（2）依題意設所在的直線方程為，代入橢圓方程并整理得：，則同理

由得，即

故

………

8分（3）由題意知設而(為定值).對比上式可知：選取，則得直線的斜率與的斜率之積為

……………

13分22.如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側面BB1C1C，已知，，，點E是棱C1C的中點.（1）求證：C1B⊥平面ABC；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱CA上是否存在一點M，使得EM與平面A1B1E所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.參考答案：（1）證明見解析（2）（3）存在,或.【分析】（1）根據線面垂直的判定定理，即可證得平面.（2）以為原點，分別以，和的方向為，和軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解；（3）假設存在點，設，根據，得到的坐標，結合平面的法向量為列出方程，即可求解.【詳解】（1）由題意，因為，，，∴，又∴，∴，∵側面，∴.又∵，，平面∴直線平面.（2）以為原點，分別以，和的方向為，和軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則有，，，，設平面的一個法向量為，∵，∴，令，則，∴設平面的一個