廣東省廣州市第一〇九中學2023年高二數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，程序框圖所進行的求和運算是(

)A.

B.C.

D.參考答案：C略2.函數存在與直線平行的切線，則實數的取值范圍是（

）

A.

B．

C.

D．參考答案：B3.將函數的圖象向右平移個單位長度后,得到函數f(x)的圖象,則函數f(x)的單調增區間為（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】求出圖象變換的函數解析式，再結合正弦函數的單調性可得出結論．【詳解】由題意，，∴，故選D．【點睛】本題考查三角函數的平移變換，考查三角函數的單調性．解題時可結合正弦函數的單調性求單調區間．4.設f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，則a的值等于（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】63：導數的運算．【分析】先求出導函數，再代值算出a．【解答】解：f′（x）=3ax2+6x，∴f′（﹣1）=3a﹣6=4，∴a=故選D．5.若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】根據由已知底面是正三角形的三棱柱的正視圖，我們可得該三棱柱的底面棱長為2，高為1，進而求出底面外接圓半徑r，球心到底面的球心距d，球半徑R，代入球的表面積公式．即可求出球的表面積．【解答】解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正視圖我們可得該三棱柱的底面棱長為2，高為1則底面外接圓半徑r=，球心到底面的球心距d=則球半徑R2==則該球的表面積S=4πR2=故選B6.設等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，且=，則=（）A． B．6 C．5 D．參考答案：C【考點】等差數列的性質．【分析】根據等差數列的前n項和的性質，可得=，=，可得答案．【解答】解：根據等差數列的前n項和的性質，可得=，=，那么===5．故選C7.已知集合，，則（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】直接利用集合并集的定義求解即可.【詳解】因為集合，，所以，由集合并集的定義可得，故選B.【點睛】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性.研究兩集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系，本題實質求滿足屬于集合或屬于集合的元素的集合.8.設0<<b，且f(x)＝，則下列大小關系式成立的是…………（

）.A.f(b)<f()<f()

B.f()<f(b)<f()C.f()<f()<f()

D.f()<f()<f()參考答案：A略9.若定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當x∈[0，1]時，f（x）=x，則函數y=f（x）﹣log3|x|的零點個數是（）A．多于4個 B．4個 C．3個 D．2個參考答案：B【考點】對數函數的圖象與性質；函數的周期性．【分析】根據定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當x∈[0，1]時，f（x）=x，我們易畫出函數f（x）的圖象，然后根據函數y=f（x）﹣log3|x|的零點個數，即為對應方程的根的個數，即為函數y=f（x）與函數y=log3|x|的圖象交點的個數，利用圖象法得到答案．【解答】解：若函數f（x）滿足f（x+2）=f（x），則函數是以2為周期的周期函數，又由函數是定義在R上的偶函數，結合當x∈[0，1]時，f（x）=x，我們可以在同一坐標系中畫出函數y=f（x）與函數y=log3|x|的圖象如下圖所示：由圖可知函數y=f（x）與函數y=log3|x|的圖象共有4個交點，即函數y=f（x）﹣log3|x|的零點個數是4個，故選B10.如圖，半徑為R的圓形紙板上有一內接正六邊形圖案，將一顆豆子隨機地扔到平放的紙板上，假設豆子不落在線上，則豆子落在正六邊形區域的概率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】幾何概型．【專題】數形結合；數形結合法；概率與統計．【分析】求出半徑為R的圓形紙板的面積與圓內接正六邊形的面積，利用幾何概型求出對應的概率．【解答】解：半徑為R的圓形紙板的面積為πR2，其圓內接正六邊形的面積為：6××R2×sin60°=R2，故所求的概率為：P==．故選：B．【點評】本題考查了幾何概型的應用問題，也考查了圓內接正六邊形的面積的計算問題，是基礎題目．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.以直角坐標系的原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，有下列命題：①極坐標為的點所對應的復數是；②與曲線無公共點；③圓的圓心到直線的距離是；④與曲線（為參數）相交于點,則點的直角坐標是.其中真命題的序號是

．參考答案：①②12.直線的傾斜角為_______________。參考答案：13.直線與直線間的距離是__________．參考答案：解：兩直線可化為與，直線間距離．14.設平面的法向量＝（1，2，－2），平面的法向量＝（－2，－4，k），若∥，則k＝

.參考答案：【4】略15.設，若，則

參考答案：116.若橢圓的一條弦被點平分，則此弦所在直線的斜率是________。參考答案：17.已知，則的最小值為

．參考答案：9三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.一次考試中，5名學生的數學、物理成績如下：學生A1A2A3A4A5數學x（分）8991939597物理y（分）8789899293求y關于x的線性回歸方程．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為=，=﹣．參考答案：【考點】線性回歸方程．【分析】由題意，計算、，求出對應的回歸系數、，寫出回歸方程即可．【解答】解：由題意，計算=×（89+91+93+95+97）=93，=×（87+89+89+92+93）=90，∴==≈0.75，又線性回歸方程過樣本中心點，∴=﹣=90﹣0.75×93=20.25，∴y關于x的線性回歸方程為=0.75x+20.25．19.在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．（1）求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標方程；（2）設點，直線l與曲線C相交于兩點A，B，求的值．參考答案：（1），；（2）.【分析】（1）利用消參的方法消去參數得到普通方程，利用極坐標和直角坐標的轉化公式可得直角坐標方程；（2）結合參數的幾何意義，聯立方程結合韋達定理可求.【詳解】（1）因為直線的參數方程為，①+②得所以直線的普通方程為；因為，所以，將，代入上式，可得.（2）將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程，可得，設兩點所對應的參數分別為，則.于是.【點睛】本題主要考查參數方程和極坐標方程，參數方程轉化為普通方程主要是消去參數，常用代入消參法，加減消參法，平方消參等；極坐標與直角坐標之間的轉化主要是利用公式來實現.20.(本小題滿分10分)已知等比數列，，．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和．參考答案：（1）

……………2分

……………4分（2）

①（Ⅰ）當時，

……………5分（Ⅱ）當時，

②①-②得

……………7分整理得……………9分由（Ⅰ）（Ⅱ）得（）……………10分21.電視傳媒公司為了了解某地區電視觀眾對某類體育節目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查，其中女性有55名．右圖是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖．將日均收看該體育節目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性．（1）根據已知條件完成下面的2×2列聯表，并據此資料判斷你是否有95%以上的把握認為“體育迷”與性別有關？

非體育迷體育迷合計男

30

15

45女

45

10

55合計

75

25

100（2）將日均收看該體育項目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性，若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率．附：K2=，其中n=a+b+c+d為樣本容量P（K2≥k）0.050.01k3.8416.0635參考答案：【考點】獨立性檢驗；頻率分布直方圖．【分析】（1）利用頻率分布直方圖直接完成2×2列聯表，通過計算K2=，說明是否有95%以上的把握認為“體育迷”與性別有關．（2）寫出一切可能結果所組成的基本事件空間為Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，用A表示“任取2人中，至少有1人是女性”這一事件，則A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，事件A由7個基本事件組成，利用古典概型求解即可．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，…從而完成2×2列聯表如下：

非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100…將2×2列聯表中的數據代入公式計算，得…因為3.030＜3.841，所以我們沒有95%的把握認為“體育迷”與性別有關．…（2）由頻率分布直方圖知“超級體育迷”為5人，從而一切可能結果所組成的基本事件空間為Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}其中ai表示男性，i=1，2，3，bj表示女性j=1，2．Ω由這10個基本事件組成，而且這