廣東省廣州市同和中學2022年高一數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，那么a4的值為()．A.4 B.8 C.15 D.31參考答案：C試題分析：，，，故選C.考點：數列的遞推公式2.已知等差數列{an}的公差d≠0,若a5、a9、a15成等比數列,那么公比為

(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：C3.已知角的終邊經過點，則A. B. C.－3 D.參考答案：A【分析】根據三角函數的定義，求出，即可得到的值．【詳解】因為，，所以．故選：A．【點睛】本題主要考查已知角終邊上一點，利用三角函數定義求三角函數值，屬于基礎題．4.已知函數為奇函數,且當時,,則（

）(A)

(B)

0

(C)1

(D)2參考答案：A2.是（

）A.第一象限的角

B.第二象限的角

C.第三象限的角

D.第四象限的角參考答案：C略6.函數的值域是（

）A. B. C. D.參考答案：B略7.已知，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．參考答案：D8.已知△ABC和點M滿足．若存在實數m使得成立，則m=（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：B【考點】向量的加法及其幾何意義．【分析】解題時應注意到，則M為△ABC的重心．【解答】解：由知，點M為△ABC的重心，設點D為底邊BC的中點，則==，所以有，故m=3，故選：B．9.已知向量則的坐標是A．（7，1）

B．

C．

D．

參考答案：B10.求下列函數的零點，可以采用二分法的是（）A．f（x）=x4B．f（x）=tanx+2（﹣＜x＜）C．f（x）=cosx﹣1D．f（x）=｜2x﹣3｜參考答案：A【考點】二分法的定義．【專題】計算題；函數思想；定義法；函數的性質及應用．【分析】求出函數的值域，即可判斷選項的正誤；【解答】解：f（x）=x4不是單調函數，y≥0，不能用二分法求零點，f（x）=tanx+2是單調函數，y∈R，能用二分法求零點．f（x）=cosx﹣1不是單調函數，y≤0，不能用二分法求零點．f（x）=｜2x﹣3｜，不是單調函數y≥0，不能用二分法求零點．故選：A．【點評】本題考查函數零點判斷，二分法的應用，是基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若關于x的方程|3x﹣1|=k（k為常數且k∈R）有兩個不同的根，則實數k的取值范圍為

．參考答案：（0，1）【考點】函數的零點與方程根的關系．【專題】計算題；作圖題；數形結合；函數的性質及應用．【分析】作函數y=|3x﹣1|與y=k的圖象，從而由題意可得函數y=|3x﹣1|與y=k的圖象有兩個不同的交點，從而解得．【解答】解：作函數y=|3x﹣1|與y=k的圖象如下，，∵方程|3x﹣1|=k有兩個不同的根，∴函數y=|3x﹣1|與y=k的圖象有兩個不同的交點，∴0＜k＜1；故答案為：（0，1）．【點評】本題考查了數形結合的思想應用及方程的根與函數的零點的關系應用．12.用秦九韶算法求當時的值時，_____參考答案：28.分析：由題意，把函數化簡為，即可求解．詳解：由函數，所以當時，．點睛：本題主要考查了秦九韶算法計算與應用，著重考查了學生的推理與運算能力．13.＝___________________；參考答案：014.如圖：點在正方體的面對角線上運動，則下列四個命題：①三棱錐的體積不變；

②∥面；③；

④面⊥面.其中正確的命題的序號是________．參考答案：略15.若直線與圓沒有公共點，則實數的取值范圍是_____參考答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)略16.102，238的最大公約數是__________．參考答案：34考點：輾轉相除法．專題：計算題．分析：利用“輾轉相除法”即可得出．解答： 解：∵238=102×2+34，102=34×3．故答案為：34．點評：本題考查了“輾轉相除法”，屬于基礎題17.函數的最大值y=

，當取得這個最大值時自變量x的取值的集合是

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.分別求出適合下列條件的直線方程：（Ⅰ）經過點P（﹣3，2）且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍；（Ⅱ）經過直線2x+7y﹣4=0與7x﹣21y﹣1=0的交點，且和A（﹣3，1），B（5，7）等距離．參考答案：【考點】直線的一般式方程．【分析】（Ⅰ）分別討論直線過原點和不過原點兩種情況，設出直線方程，解出即可；（Ⅱ）先求出直線的交點坐標，設出直線方程，再根據點到直線的距離公式求出斜率k即可．【解答】解：（Ⅰ）當直線不過原點時，設所求直線方程為+=1，將（﹣3，2）代入所設方程，解得a=，此時，直線方程為x+2y﹣1=0．當直線過原點時，斜率k=﹣，直線方程為y=﹣x，即2x+3y=0，綜上可知，所求直線方程為x+2y﹣1=0或2x+3y=0．…（6分）（Ⅱ）有解得交點坐標為（1，），當直線l的斜率k存在時，設l的方程是y﹣=k（x﹣1），即7kx﹣7y+（2﹣7k）=0，由A、B兩點到直線l的距離相等得，解得k=，當斜率k不存在時，即直線平行于y軸，方程為x=1時也滿足條件．所以直線l的方程是21x﹣28y﹣13=0或x=1．…（12分）【點評】本題考察了求直線方程問題，考察點到直線的距離公式，是一道中檔題．19.建造一個容積為立方米，深為米的無蓋長方體蓄水池，池壁的造價為每平方米元，池底的造價為每平方米元，把總造價（元）表示為底面一邊長（米）的函數。參考答案：解析：

20.已知等比數列{an}為遞增數列，，，數列{bn}滿足．（1）求數列{bn}的通項公式；（2）求數列的前n項和Sn．參考答案：（1）（2）【分析】（1）利用等比數列的下標性質，可以由，得到，通過解方程組，結合已知可以求出的值，這樣可以求出公比，最后可以求出等比數列的通項公式，最后利用對數的運算性質可以求出數列的通項公式；（2）利用錯位相消法可以求出數列的前項和．【詳解】解（1）∵是等比數列∴又∵由是遞增數列解得，且公比∴（2），兩式相減得：∴【點睛】本題考查了等比數列下標的性質，考查了求等比數列通項公式，考查了對數運算的性質，考查了錯位相消法，考查了數學運算能力.21.（12分）已知角α的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經過點P（，3）．若函數f（x）=2sinα?cos2ωx+4cosα?sinωx?cosωx的圖象關于直線x=對稱，其中ω為常數，且ω∈（0，1）．（1）求f（x）的表達式及其最小正周期；（2）若將y=f（x）圖象上各點的橫坐標變為原來的，再將所得圖象向右平移個單位，縱坐標不變，得到y=h（x）的圖象，設函數g（x）對任意x∈R，有g（x+）=g（x），且當x∈時，g（x）=﹣h（x），求函數g（x）在上的解析式．（3）設（2）中所求得函數g（x），可使不等式g2（x）+4g（x）﹣a≥2x對任意x∈恒成立，求實數a的取值范圍．參考答案：考點： 三角函數的最值；三角函數中的恒等變換應用；函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題： 綜合題；函數的性質及應用．分析： （1）依題意，可求得f（x）=2sin（2ωx+），y=f（x）的圖象關于直線x=對稱?f（0）=f（π）?sin（2πω+）=，而ω∈（0，1），可求得ω=，從而可得f（x）的表達式及其最小正周期；（2）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求得h（x）=2sin（2x﹣），易知g（x）是以為周期的函數，從而由當x∈時，g（x）=﹣h（x），即可求得函數g（x）在上的解析式；（3）令h（x）=2x，不等式g2（x）+4g（x）﹣a≥2x對任意x∈恒成立?g2（x）+4g（x）﹣a≥h（x）max=h（0）=1恒成立，轉化為a≤g2（x）+4g（x）﹣1（g（x）∈）恒成立，從而可求得實數a的取值范圍．解答： （1）依題意知，sinα==，cosα=，∴f（x）=2sinα?cos2ωx+4cosα?sinωx?cosωx=cos2ωx+sin2ωx=2（cos2ωx+sin2ωx）=2sin（2ωx+），又y=f（x）的圖象關于直線x=對稱，∴f（0）=f（π），即2×=2sin（2πω+），∴sin（2πω+）=，∵ω∈（0，1），∴＜2πω+＜，∴2πω+=，解得：ω=，∴f（x）=2sin（x+），T=6π；（2）將f（x）=2sin（x+）圖象上各點的橫坐標變為原來的，得到y=2sin（2x+）的圖象，再將所得圖象向右平移個單位，縱坐標不變，得到y=h（x）=2sin=2sin（2x﹣），∵函數g（x）對任意x∈R，有g（x+）=g（x），∴g（x）是以為周期的函數，又當x∈時，g（x）=﹣h（x）=﹣2sin（2x﹣），∴當x∈時，x+∈，g（x）=g（x+）=﹣2sin=﹣2sin（2x+）；當x∈∈時，x+π∈，g（x）=g（x+π）=﹣2sin=﹣2sin（2x﹣），∴g（x）=；（3）令h（x）=2x，則h（x）=2x為增函數，∴當x∈時，h（x）max=h（0）=1，∴不等式g2（x）+4g（x）﹣a≥2x對任意x∈恒成立?g2（x）+4g（x）﹣a≥h（x）max=h（0）=1恒成立，∴a≤g2（x）+4g（x）﹣1．∵當x∈時，g（x）=﹣2sin（2x+），由2x+∈知，≤2sin（2x+）≤2，﹣≤﹣2sin（2x+）≤﹣，即x∈時，g（x）=﹣2sin（2x+）∈，令t=g（x）=﹣2sin（2x+），則t∈，∴a≤g2（x）+4g（x）﹣1轉化為：a≤t2+4t﹣1=（t+2）2﹣5（t∈）恒成立；令k（t）=（t+2）2﹣5（t∈），則k（t）=（t+2）2﹣5在區間上單調遞增，∴k（t）min=k（﹣）=﹣．∴實數a的取值范圍為（﹣∞，﹣]．點評： 本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查函數的周期性與單調性，考查函數解析式的確定與函數恒成立問題，考查抽象思維與綜合應用能力，屬于難題．22.(本小題滿分14分)（2015湖南卷）已知拋物線的焦點F也是橢圓的一個焦點，與的公共弦長為，過點F的直線與相交于兩點，與相交于兩點，且與同向.（I）求的方程；（II）若，求直線的斜率.參考答案：（I）；(II).（I）由知其焦點F的坐標為，因為F也是橢圓的一個焦點，所以

①；又與的公共弦長為，與都關于軸對稱，且的方程為，由此易知與的公共點的坐標為，

②，聯立①②得，故的方程為-------------