廣東省佛山市中學2023年高二數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知橢圓的離心率，則實數k的值為（）A．3 B．3或 C． D．或參考答案：B【考點】K4：橢圓的簡單性質．【分析】當K＞5時，由e===求得K值，當0＜K＜5時，由e===，求得K值．【解答】解：當K＞5時，e===，K=．當0＜K＜5時，e===，K=3．綜上，K=3，或．故選B．2.已知兩個正數a,b的等差中項為4,則a,b的等比中項的最大值為(

)A.2

B,.4

C.8

D.6參考答案：B3.與直線x+y+3=0平行，且它們之間的距離為的直線方程為（）A．x﹣y+8=0或x﹣y﹣1=0 B．x+y+8=0或x+y﹣1=0C．x+y﹣3=0或x+y+3=0 D．x+y﹣3=0或x+y+9=0參考答案：D【考點】兩條平行直線間的距離．【分析】設所求直線方程為x+y+m=0，運用兩平行直線的距離公式，解關于m的方程，即可得到所求方程．【解答】解：設所求直線方程為x+y+m=0，則由兩平行直線的距離公式可得d==3，解得m=9或﹣3．則所求直線方程為x+y﹣3=0或x+y+9=0，故選D．4.若存在x0＞1，使不等式（x0+1）ln

x0＜a（x0﹣1）成立，則實數a的取值范圍是（）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞）參考答案：B【考點】函數恒成立問題；對數函數的圖象與性質．【專題】轉化思想；轉化法；函數的性質及應用．【分析】若存在x0＞1，使不等式（x0+1）lnx0＜a（x0﹣1）成立，則存在x0＞1，使不等式a＞成立，令f（x）==（1+）lnx，x＞1，求出函數的極限，可得數a的取值范圍．【解答】解：若存在x0＞1，使不等式（x0+1）lnx0＜a（x0﹣1）成立，則存在x0＞1，使不等式a＞成立，令f（x）==（1+）lnx，x＞1，此時f（x）為增函數，由=+=→2故a＞2，即實數a的取值范圍是（2，+∞），【點評】本題考查的知識點是函數存在性問題，函數的單調性，極限運算，難度中檔．5.雙曲線的焦距為

（）A．

B．

C．

D．參考答案：D略6.斜邊為1的直角三角形的面積的最大值為（

）A.1

B.

C.

D.

參考答案：B略7.“”是“”的(

)條件

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要參考答案：B8.曲線在點處的切線方程為A.

B.

C.

D.參考答案：A

9.設是定義在上的奇函數，當時，，則

A.

B.

C.１D.3參考答案：A略10.①學校為了解高一學生的情況,從每班抽2人進行座談；②一次數學競賽中,某班有10人在110分以上,40人在90～100分,12人低于90分.現在從中抽取12人了解有關情況；③運動會服務人員為參加400m決賽的6名同學安排跑道.就這三件事,合適的抽樣方法為

()A.分層抽樣,分層抽樣,簡單隨機抽樣

B.系統抽樣,系統抽樣,簡單隨機抽樣C.分層抽樣,簡單隨機抽樣,簡單隨機抽樣

D.系統抽樣,分層抽樣,簡單隨機抽樣參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將三個分別標有A,B,C的球隨機放入編號為1,2,3,4的四個盒子中,則1號盒子中有球的不同放法種數為.

參考答案：3712.設F1，F2是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且，則的面積等于

▲

．參考答案：24【分析】先由雙曲線的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的面積．【詳解】雙曲線的兩個焦點F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，由3|PF1|=4|PF2|，設|PF2|=x，則|PF1|=x，由雙曲線的性質知x﹣x=2，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，∵|F1F2|=10，∴∠F1PF2=90°，∴△PF1F2的面積=×8×6=24．故答案為：24．【點睛】本題考查雙曲線的性質和應用，考查三角形面積的計算，屬于基礎題．

13.如果圓錐的側面展開圖是半圓，那么這個圓錐的頂角(經過圓錐旋轉軸的截面中兩條母線的夾角)是

參考答案：60°14.一條直線經過P（1，2），且與A（2，3）、B（4，﹣5）距離相等，則直線l為． 參考答案：3x+2y﹣7=0和4x+y﹣6=0【考點】點到直線的距離公式． 【專題】數形結合；轉化思想；直線與圓． 【分析】①當所求直線與AB平行時，求出kAB，利用點斜式即可得出． ②當所求直線經過線段AB的中點M（3，﹣1）時，求出斜率，利用點斜式即可得出． 【解答】解：①當所求直線與AB平行時，kAB==﹣4，可得y﹣2=﹣4（x﹣1），化為4x+y﹣6=0； ②當所求直線經過線段AB的中點M（3，﹣1）時，k==﹣，可得y﹣2=﹣（x﹣1），化為3x+2y﹣7=0． 綜上可得所求直線方程為：4x+y﹣6=0；或3x+2y﹣7=0． 故答案為：4x+y﹣6=0；或3x+2y﹣7=0． 【點評】本題考查了中點坐標公式、斜率計算公式、點斜式、平行線之間的斜率關系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題． 15.已知直線與拋物線，則“”是“直線與拋物線有兩個不同交點”的

條件.參考答案：直線與拋物線有兩個不同交點方程組有兩組不同的實數解方程有兩個不同的實根且，故填必要而不充分條件.16.已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線x2=4y的焦點，則橢圓C的標準方程為_．參考答案：【分析】設橢圓方程．由離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線x2＝4y的焦點，列方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．【詳解】∵橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線x2＝4y的焦點．由題意，設橢圓方程為（a＞b＞0），則有，解得a，b＝c＝1，∴橢圓C的方程：．故答案為：．點睛】本題考查橢圓方程的求法，橢圓與拋物線的簡單性質的應用，考查運算求解能力，函數與方程思想，是中檔題．17.某企業三月中旬生產A、B、C三種產品共3000件，根據分層抽樣的結果，企業統計員作了如下統計表格。產品類別ABC產品數量(件)

1300

樣本容量(件)

130

由于不小心，表格中A、C產品的有關數據已被污染看不清楚，統計員記得A產品的樣本容量比C產品的樣本容量多10，根據以上信息，可得C產品的數量是___________。參考答案：800三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=（x﹣k）ex（k∈R）．（1）求f（x）的單調區間和極值；（2）求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；（3）設g（x）=f（x）+f′（x），若對及?x∈[0，1]有g（x）≥λ恒成立，求實數λ的取值范圍．參考答案：【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用；利用導數研究函數的極值；利用導數求閉區間上函數的最值．【分析】（1）由f（x）=（x﹣k）ex，求導f′（x）=（x﹣k+1）ex，令f′（x）=0，求得x=k﹣1，令f′（x）＜0，解得函數的單調遞減區間，f′（x）＞0，解得函數的單調遞增區間，根據函數的單調性即可求得f（x）的極值；（2）當k﹣1≤1時，f（x）在[1，2]單調遞增，f（x）的最小值為f（1），當k﹣1≥2時，f（x）在[1，2]單調遞減，f（x）的最小值為f（2），當1＜k﹣1＜2時，則x=k﹣1時，f（x）取最小值，最小值為：﹣ek﹣1；（3）由g（x）=（2x﹣2k+1）ex，求導g′（x）=（2x﹣2k+3）ex，當g′（x）＜0，解得：x＜k﹣，求得函數的單調遞減區間，當g′（x）＞0，解得：x＞k﹣，求得函數的單調遞增區間，由題意可知g（x）≥λ，?x∈[0，1]恒成立，等價于g（k﹣）=﹣2e≥λ，由﹣2e≥λ，對?k∈[，]恒成立，根據函數的單調性，即可求得實數λ的取值范圍．【解答】解：（1）f（x）=（x﹣k）ex（k∈R），求導f′（x）=（x﹣k）ex+ex=（x﹣k+1）ex，令f′（x）=0，解得：x=k﹣1，當x＜k﹣1時，f′（x）＜0，當x＞k﹣1時，f′（x）＞0，x（﹣∞，k﹣1）k﹣1（k﹣1，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↓﹣e﹣k﹣1↑∴f（x）的單調遞增區間（k﹣1，+∞），單調遞減區間（﹣∞，k﹣1），極小值為﹣ek﹣1，無極大值；（2）當k﹣1≤1時，即k≤2時，f（x）在[1，2]單調遞增，f（x）的最小值為f（1）=（1﹣k）e；當k﹣1≥2時，即k≥3時，f（x）在[1，2]單調遞減，∴當x=2時，f（x）的最小值為f（2）=（2﹣k）e3；當1＜k﹣1＜2時，解得：2＜k＜3時，∴f（x）在[1，k﹣1]單調遞減，在[k﹣1，2]單調遞增，∴當x=k﹣1時，f（x）取最小值，最小值為：﹣ek﹣1；（3）g（x）=f（x）+f'（x）=（x﹣k）ex+（x﹣k+1）ex=（2x﹣2k+1）ex，求導g′（x）=（2x﹣2k+1）ex+2ex=（2x﹣2k+3）ex，令g′（0）=0，2x﹣2k+3=0，x=k﹣，當x＜k﹣時，g′（x）＜0，當x＞k﹣時，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，k﹣）單調遞減，在（k﹣，+∞）單調遞增，故當x=k﹣，g（x）取最小值，最小值為：g（k﹣）=﹣2e，∵k∈[，]，即k﹣∈[0，1]，∴?x∈[0，1]，g（x）的最小值，g（k﹣）=﹣2e，∴g（x）≥λ，?x∈[0，1]恒成立，等價于g（k﹣）=﹣2e≥λ，由﹣2e≥λ，對?k∈[，]恒成立，∴λ≤（﹣2e）最小值，令h（k）=﹣2e，k∈[，]，由指數函數的性質，函數h（k）在k∈[，]單調遞增，∴當k=時，h（k）取最小值，h（）=﹣2e，∴λ≤﹣2e．∴實數λ的取值范圍（﹣∞，﹣2e）．19.（本小題滿分12分）已知直線經過兩點，.（1）求直線的方程；（2）圓的圓心在直線上，并且與軸相切于點，求圓的方程.參考答案：（1）由已知，直線的斜率，所以，直線的方程為.（2）因為圓的圓心在直線上，可設圓心坐標為，因為圓與軸相切于點，所以圓心在直線上，所以，所以圓心坐標為，半徑為1，所以，圓的方程為.20.(本小題滿分12分)正三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線上，求這個正三角形的邊長.參考答案：解：設正三角形的另兩個頂點為A、B，由拋物線的對稱性知A、B關于軸對稱設，則解得∴即正三角形的邊長為

·····12分略21.已知過點P（2，2）的直線l和圓C：（x﹣1）2+y2=6交于A，B兩點．（Ⅰ）若點P恰好為線段AB的中點，求直線l的方程；（Ⅱ）若，求直線l的方程．參考答案：【考點】直線與圓的位置關系．【分析】（Ⅰ）若點P恰好為線段AB的中點，則l⊥CP，求出斜率，即可求直線l的方程；（Ⅱ）若，分類討論，即可求直線l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知l⊥CP，因為，所以，故直線l的方程為x+2y﹣6=0…（Ⅱ）設圓心C到直線l的距離為d，則d=1當直線l的斜率不存在時，符合題意，此時直線的方程為x=2；…當直線l的斜率存在時，設斜率為k，則直線l的方程為y﹣2=k（x﹣2），即kx﹣y+2﹣2k=0，所以，則，此時直線的方程為3x﹣4y+2=0綜上，直線l的方程為x=2或3x﹣4y+2=0…22.一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機取出兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機取一個球，設該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，設該球的編號為n，求n<m＋2的概率．

參考答案：(1)從袋中隨機取出兩個球，編號之和不大于4的事件有1和2,1和3兩個，·2分而隨機取兩球其一切可能的事件有6個．···················4分∴所求概率為P＝＝.··························6分(2)由題意其一切結果設為(m，n)有：