應用題ABb2a1.如圖,為處理含有某種雜質的污水,要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱.污水從A孔流入,經沉淀后從B孔流出.設箱體的長度為a米,高度為b米.已知流出的水中該雜質的質量分數與a,ABb2a問當a,b各為多少米時,經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小(A,B孔的面積忽略不計).2.某公司一下屬企業從事某種高科技產品的生產.該企業第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產，到當年年底資金增長了50％.預計以后每年資金年增長率與第一年的相同.公司要求企業從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產.設第n年年底企業上繳資金后的剩余資金為an萬元.（Ⅰ）用d表示a1，a2，并寫出與an的關系式；（Ⅱ）若公司希望經過m（m≥3）年使企業的剩余資金為4000萬元，試確定企業每年上繳資金d的值（用m表示）.3.某種樹苗栽種時高度為A(A為常數)米，栽種n年后的高度記為f(n)．經研究發現f(n)近似地滿足f(n)＝eq\F(9A,a＋btn)，其中t＝2eq\o(,\d\fo()\s\up8(-eq\f(2,3)))，a，b為常數，n∈N，f(0)＝A．已知栽種3年后該樹木的高度為栽種時高度的3倍．（1）栽種多少年后，該樹木的高度是栽種時高度的8倍；（2）該樹木在栽種后哪一年的增長高度最大．答案1.解法一：設y為流出的水中雜質的質量分數，則y=eq\f(k,ab) ，其中k為比例系數，且k>0，依題意，即所求的a,b值使y最小。據題意有：4b＋2ab＋2a=60(a>0,b>0)∴b=eq\f(30-a,2+a)(0<a<30)∴ab=a×eq\f(30-a,2+a)=eq\f(30a-aeq\s\up3(2),2+a)=―a＋32―eq\f(64,2+a)=34―(a＋2＋eq\f(64,a+2))≤34―2eq\r(,(a+2)·eq\f(64,a+2))=18當a＋2=eq\f(64,a+2)時取等號，y達到最小值。…8分此時解得a=6,b=3答：當a為6米,b為3米時,經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小。………16分解法二：設y為流出的水中雜質的質量分數，則y=eq\f(k,ab) ，其中k為比例系數，且k>0，依題意，即所求的a,b值使y最小。據題意有：4b＋2ab＋2a=60(a>0,b>0)即2b＋ab＋a=30∵a＋2b≥2eq\r(,2ab)∴30―ab=a＋2b≥2eq\r(,2ab)∴ab＋eq\r(,2ab)―30≤0…7分∵(a>0,b>0)∴0<ab≤18當a=2b時取等號，ab達到最大值18。…10分此時解得a=6,b=3答：當a為6米,b為3米時,經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小。………16分2.答案（Ⅰ）由題意得，，.（Ⅱ）由（Ⅰ）得.整理得.由題意，解得.故該企業每年上繳資金的值為繳時，經過年企業的剩余資金為４０００元.3.解：（1）由題意知f(0)＝A，f(3)＝3A．所以eq\b\lc\{(\a\al(eq\F(9A,a＋b)＝A，,eq\F(9A,a＋eq\F(1,4)b)＝3A，))解得a＝1，b＝8．……4分所以f(n)＝eq\F(9A,1＋8×tn)，其中t＝2eq\o(,\d\fo()\s\up8(-eq\f(2,3)))．令f(n)＝8A，得eq\F(9A,1＋8×tn)＝8A，解得tn＝eq\F(1,64)，即2eq\o(,\d\fo()\s\up8(-eq\f(2n,3)))＝eq\F(1,64)，所以n＝9．所以栽種９年后，該樹木的高度是栽種時高度的8倍．……6分（2）由（1）知f(n)＝eq\F(9A,1＋8×tn)．第n年的增長高度為△＝f(n)－f(n－1)＝eq\F(9A,1＋8×tn)－eq\F(9A,1＋8×tn－1)．…………9分所以△＝eq\F(72Atn－1(1－t),(1＋8tn)(1＋8tn－1))＝eq\F(72Atn－1(1－t),1＋8tn－1(t＋1)＋64t2n－1)＝eq\F(72A(1－t),eq\F(1,tn－1)＋64tn＋8(t＋1))………………12分≤eq\F(72A(1－t),2eq\R(,64tn×eq\F(1,tn－1))＋8(t＋1))＝eq\F(72A(1－t),8(1＋eq\R(,t))2)＝eq\F(9A(1－eq\R(,t)),1＋eq\R(,t))．當且僅當64tn＝eq\F(1,tn－1)，即2eq