等比數列的性質一、教學目標：知識與技能1.了解等比數列更多的性質;2.能將學過的知識和思想方法運用于對等比數列性質的進一步思考和有關等比數列的實際問題的解決中;3.能在生活實際的問題情境中，抽象出等比數列關系，并能用有關的知識解決相應的實際問題.過程與方法1.繼續采用觀察、思考、類比、歸納、探究、得出結論的方法進行教學;2.對生活實際中的問題采用合作交流的方法，發揮學生的主體作用，引導學生探究問題的解決方法，經歷解決問題的全過程;3.當好學生學習的合作者的角色.情感態度與價值觀1.通過對等比數列更多性質的探究，培養學生的良好的思維品質和思維習慣，激發學生對知識的探究精神和嚴肅認真的科學態度，培養學生的類比、歸納的能力;2.通過生活實際中有關問題的分析和解決，培養學生認識社會、了解社會的意識，更多地知道數學的社會價值和應用價值.二、教學重點：1.探究等比數列更多的性質;2.解決生活實際中的等比數列的問題.教學難點；滲透重要的數學思想（類比思想、歸納思想、數形結合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等.）.三、學情及導入分析：這節課師生將進一步探究等比數列的知識，以教材練習中提供的問題作為基本材料，認識等比數列的一些基本性質及內在的聯系，理解并掌握一些常見結論，進一步能用來解決一些實際問題.通過一些問題的探究與解決，滲透重要的數學思想方法.教學中以師生合作探究為主要形式，充分調動學生的學習積極性.教具準備多媒體課件、投影膠片、投影儀等四、教學過程：教學環節教學內容師生活動設計意圖復習舊知識，引入新知歸納抽象形成概念比較分析，深化認識1.溫故知新師教材中第59頁練習第3題、第4題，請學生課外進行活動探究，現在請同學們把你們的探究結果展示一下.師對各組的匯報給予評價.師出示多媒體幻燈片一：第3題、第4題詳細解答：猜想：在數列{an}中每隔m(m是一個正整數)取出一項，組成一個新數列，這個數列是以a1為首項、qm為公比的等比數列.

本題可以讓學生認識到，等比數列中下標為等差數列的子數列也構成等比數列，可以讓學生再探究幾種由原等比數列構成的新等比數列的方法.第4題解答：設{an}的公比是q，則a52=(a1q4)2=a12q8而a3·a7=a1q2·a1q6=a12q8,所以a52=a3·a7.同理,a52=a1·a9.(2)用上面的方法不難證明an2=an-1·an+1(n＞1).由此得出，an是an-1和an+1的等比中項，同理可證an2=an-k·an+k(n＞k＞0).an是an-k和an+k的等比中項(n＞k＞0).師和等差數列一樣，等比數列中蘊涵著許多的性質，如果我們想知道的更多，就要對它作進一步的探究.學生回答；生由學習小組匯報探究結果.第3題解答：(1)將數列{an}的前k項去掉，剩余的數列為ak+1，ak+2,….令bi=ak+i,i=1,2,…,則數列ak+1,ak+2,…,可視為b1,b2，….因為(i≥1),所以，{bn}是等比數列，即ak+1，ak+2,…是等比數列.(2){an}中每隔10項取出一項組成的數列是a1,a11,a21，…,則(k≥1).所以數列a1,a11,a21,…是以a1為首項，q10為公比的等比數列.由復習引入，通過數學知識的內部提出問題。合作探究師出示投影膠片1例題1(教材P61B組第3題)就任一等差數列{an}，計算a7+a10，a8+a9和a10+a40，a20+a30，你發現了什么一般規律，能把你發現的規律用一般化的推廣嗎？從等差數列和函數之間的聯系的角度來分析這個問題.在等比數列中會有怎樣的類似結論？師注意題目中“就任一等差數列{an}”，你打算用一個什么樣的等差數列來計算？師很好，這個數列最便于計算，那么發現了什么樣的一般規律呢？師題目要我們“從等差數列與函數之間的聯系的角度來分析這個問題”，如何做？師出示多媒體課件一：等差數列與函數之間的聯系.師從等差數列與函數之間的聯系的角度來分析這個問題：由等差數列{an}的圖象，可以看出,根據等式的性質，有.所以ak+as=ap+aq.師在等比數列中會有怎樣的類似結論？師讓學生給出上述猜想的證明.證明：設等比數列{an}公比為q，則有ak·as=a1qk-1·a1qs-1=a12·qk+s-2,ap·at=a1qp-1·a1qt-1=a12·q因為k+s=p+t,所以有ak·as=ap·at.師指出：經過上述猜想和證明的過程，已經得到了等比數列的一個新的性質.即等比數列{an}中，若k+s=p+t(k,s,p,t∈N*)，則有ak·as=ap·at.師下面有兩個結論：(1)與首末兩項等距離的兩項之積等于首末兩項的積；(2)與某一項距離相等的兩項之積等于這一項的平方.你能將這兩個結論與上述性質聯系起來嗎？師引導學生思考，得出上述聯系，并給予肯定的評價.師上述性質有著廣泛的應用.師出示投影膠片2：例題2例題2（1）在等比數列{an}中，已知a1=5,a9a10=100,求a18（2）在等比數列{bn}中，b4=3,求該數列前七項之積；（3）在等比數列{an}中，a2=-2,a5=54,求a8.生用等差數列1，2，3，…生在等差數列{an}中，若k+s=p+q(k,s,p,q∈N*)，則ak+as=ap+aq.生思考、討論、交流.生猜想對于等比數列{an}，類似的性質為：k+s=p+t(k,s,p,t∈N*)，則ak·as=ap·at.生思考、列式、合作交流，得到：結論(1)就是上述性質中1+n=(1+t)+(n-t)時的情形；結論(2)就是上述性質中k+k=(k+t)+(k-t)時的情形.例題2三個小題由師生合作交流完成，充分讓學生思考，展示將問題與所學的性質聯系到一起的思維過程.解答：(1)在等比數列{an}中，已知a1=5，a9a10=100，求a18解：∵a1a18=a9a10，∴a18=(2)在等比數列{bn}中，b4=3，求該數列前七項之積.解：b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.∵b42=b1b7=b2b6=b3b5，∴前七項之積(32)3×3=37=2187.(3)在等比數列{an}中，a2=-2，a5=54，求a8.解：.∵a5是a2與a8的等比中項，∴542=a8×(-2).∴a8=-1458.另解：a8=a5q3=a5·=-1458.培養學生分析，抽象能力、感受數學概念形成過程及建模思想。培養學生善于聯想，體會知識間的內在聯系，從而加深對數學概念的理解。教師引導學生回答，作出評價例題解析師判斷一個數列是否成等比數列的方法：1、定義法；2、中項法；3、通項公式法.例題3：已知{an}{bn}是兩個項數相同的等比數列，仿照下表中的例子填寫表格.從中你能得出什么結論？證明你的結論.anbnan·bn判斷{an·bn}是否是等比數列例-5×2n-1是自選1自選2師請同學們自己完成上面的表.師根據這個表格，我們可以得到什么樣的結論？如何證明？［教師精講］除了上面的證法外，我們還可以考慮如下證明思路：證法二：設數列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么數列{an·bn}的第n項、第n-1項與第n＋1項(n＞1,n∈N*)分別為a1pn-1b1qn-1、a1pn-2b1qn-2與a1pnb1qn，因為(anbn)2=(a1pn-1b1qn-1)2=(a1b1)2(pq)2(n-1),(an-1·bn-1)(an+1·bn+1)=(a1pn-2b1qn-2)(a1pnb1qn)=(a1b1)2(pq)2(n-1),即有(anbn)2=(an-1·bn-1)(an+1·bn+1)(n＞1,n∈N*),所以{an·bn}是一個等比數列.師根據對等比數列的認識，我們還可以直接對數列的通項公式考察：證法三：設數列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么數列{an·bn}的通項公式為anbn=a1pn-1b1qn-1=(a1b1)(pq)n-1,設cn=anbn,則cn=(a1b1)(pq)n-1,所以{an·bn}是一個等比數列.學生分組討論自主探究，教師巡視指導。生得到：如果{an}、{bn}是兩個項數相同的等比數列，那么{an·bn}也是等比數列.證明如下：設數列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么數列{an·bn}的第n項與第n＋1項分別為a1pn-1b1qn-1與a1pnb1qn，因為,它是一個與n無關的常數，所以{an·bn}是一個以pq為公比的等比數列.引導學生通過自主分析思考、合作交流解決問題，培養良好的學習習慣和能力。課堂小結本節學習了如下內容：1.等比數列的性質的探究.2.證明等比數列的常用方法.引導學生學會自己總結，讓學生進一步體會知識的形成、發展、完善的過程.課后作業1.課本第60頁習題2.4A組第3題、B組第1題.2.配套練習學生課后完成.進一步對所學知識鞏固深化。五、板書設計板書設計等比數列的基本性質及其應用例1例2例3備課資料備用例題1.已知無窮數列,,,…,,….求證：(1)這個數列成等比數列；(2)這個數列中的任一項是它后面第五項的；(3)這個數列的任意兩項的積仍在這個數列中.證明：(1)(常數)，∴該數列成等比數列.(2),即：.(3)apaq=，∵p,q∈N，∴p+q≥2.∴p+q-1≥1且(p+q-1)∈N.∴∈(第p+q-1項).2.設a,b,c,d均為非零實數，(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0,求證：a,b,c成等比數列且公比為d.證法一：關于d的二次方程(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0有實根，∴Δ=4b2(a+c)2-4(a2+b2)(b2+c2)≥0.∴-4(b2-ac)2≥0.∴-(b2-ac)2≥0.則必有：b2-ac=0，即b2=ac，∴a,b,c成等比數