選修2-2第三章3.1.1一、選擇題1．若sin2θ－1＋i(eq\r(2)cosθ＋1)是純虛數，則θ的值為eq\x(導學號10510708)()A．2kπ－eq\f(π,4) B．2kπ＋eq\f(π,4)C．2kπ±eq\f(π,4) D．eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)(以上k∈Z)[答案]B[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2θ－1＝0,\r(2)cosθ＋1≠0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2θ＝2kπ＋\f(π,2)，,θ≠2kπ＋π±\f(π,4)，))(k∈Z)．∴θ＝2kπ＋eq\f(π,4).選B.2．復數4－3a－a2i與復數a2＋4ai相等，則實數a的值為eq\x(導學號10510709)()A．1 B．1或－4C．－4 D．0或－4[答案]C[解析]由復數相等的充要條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－3a＝a2，,－a2＝4a.))解得：a＝－4.故應選C.3．已知復數z＝cosα＋icos2α(0<α<2π)的實部與虛部互為相反數，則α的取值集合為eq\x(導學號10510710)()A．{π，eq\f(2π,3)，eq\f(4π,3)} B．{eq\f(π,3)，eq\f(5π,3)}C．{π，eq\f(π,6)，eq\f(11π,6)} D．{eq\f(π,3)，π，eq\f(5π,3)}[答案]D[解析]由條件知，cosα＋cos2α＝0，∴2cos2α＋cosα－1＝0，∴cosα＝－1或eq\f(1,2)，∵0<α<2π，∴α＝π，eq\f(π,3)或eq\f(5π,3)，故選D.4．若復數z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋ieq\r(3)sinθ(θ∈R)，z1＝z2，則θ等于eq\x(導學號10510711)()A．kπ(k∈Z) B．2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)C．2kπ±eq\f(π,6)(k∈Z) D．2kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)[答案]D[解析]由復數相等的定義可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2θ＝cosθ，,cosθ＝\r(3)sinθ.))∴cosθ＝eq\f(\r(3),2)，sinθ＝eq\f(1,2).∴θ＝eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，故選D.5．若復數(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是純虛數，則eq\x(導學號10510712)()A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2C．a≠－1 D．a≠2[答案]C[解析]若復數(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是純虛數，則有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故應選C.6．復數z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a、b∈R)為實數的充要條件是eq\x(導學號10510713)()A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－bC．a>0且a≠b D．a≤0[答案]D[解析]復數z為實數的充要條件是a＋|a|＝0，故a≤0.二、填空題7．如果x－1＋yi與i－3x為相等復數，x，y為實數，則x＝______，y＝______eq\x(導學號10510714)[答案]eq\f(1,4)1[解析]由復數相等可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝－3x，,y＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4)，,y＝1.))8．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的實數解x＝\x(導學號10510715)[答案]2[解析]方程可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－3x－2＝0，,x2－5x＋6＝0.))解得x＝2.9．如果z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i為純虛數，那么實數a的值為\x(導學號10510716)[答案]－2[解析]如果z為純虛數，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a－2＝0，,a2－3a＋2≠0.))，解之得a＝－2.三、解答題10．已知z1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα－\f(4,5)))＋ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα－\f(3,5)))，z2＝cosβ＋isinβ，且z1＝z2，求cos(α－β)的值.eq\x(導學號10510717)[解析]由復數相等的充要條件，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα－\f(4,5)＝cosβ，,sinα－\f(3,5)＝sinβ.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα－cosβ＝\f(4,5)，①,sinα－sinβ＝\f(3,5).②))①2＋②2得2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝1，即2－2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝eq\f(1,2).一、選擇題1．已知關于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有實數根n，且z＝m＋ni，則復數z等于eq\x(導學號10510718)()A．3＋i B．3－iC．－3－i D．－3＋i[答案]B[解析]由題意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2＋mn＋2＝0，,2n＋2＝0.))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝－1.))∴z＝3－i，故應選B.2．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈Z}，在集合A中任取一個元素a，則復數z＝(a2－1)＋(a2－a－2)i為實數的概率為p1，z為虛數的概率為p2，z＝0的概率為p3，z為純虛數的概率為p4，則eq\x(導學號10510719)()A．p3<p1<p4<p2 B．p4<p2<p3<p1C．p3<p4<p1<p2 D．p3＝p4<p1<p2[答案]D[解析]由條件知A＝{－2，－1,0,1,2}，若z∈R，則a2－a－2＝0，∴a＝－1或2，∴p1＝eq\f(2,5)；若z＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a2－a－2＝0，))∴a＝－1，∴p3＝eq\f(1,5)；若z為虛數，則a2－a－2≠0，∴a≠－1且a≠2，∴p2＝eq\f(3,5)；若z為純虛數，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a2－a－2≠0，))∴a＝1，∴p4＝eq\f(1,5).∴p3＝p4<p1<p2.二、填空題3．若cosθ＋(1＋sinθ)i是純虛數，則θ＝\x(導學號10510720)[答案]2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)[解析]由cosθ＋(1＋sinθ)i是純虛數知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ＝0，,1＋sinθ≠0.))所以θ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．4．若x是實數，y是純虛數，且滿足2x－1＋2i＝y，則x＝________，y＝\x(導學號10510721)[答案]eq\f(1,2)2i[解析]設y＝bi(b∈R,且b≠0)，則2x－1＋2i＝bi，再利用復數相等的充要條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＝0，,2＝b.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,b＝2.))∴x＝eq\f(1,2)，y＝2i.三、解答題5．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求實數m的值.eq\x(導學號10510722)[解析]由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m＝0，,m2－4m＋3＝0，,m2<10，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0或m＝3，,m＝3或m＝1，,|m|<\r(10).))∴當m＝3時，原不等式成立．6．當實數m為何值時，復數z＝eq\f(m2＋m－6,m)＋(m2－2m)i為eq\x(導學號10510723)(1)實數