學業分層測評(十六)(建議用時：45分鐘)[學業達標]一、填空題1．以下關于線性回歸的判斷，正確的為________．(填序號)①若散點圖中所有點都在一條直線附近，則這條直線為回歸直線；②已知線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－，則x＝25時，y的估計值為；③線性回歸方程的意義是它反映了樣本整體的變化趨勢．【解析】能使所有數據點都在它附近的直線不止一條，而據回歸直線的定義知，只有按最小平方法求得直線eq\o(y,\s\up6(^))＝a＋bx才是線性回歸方程，①不對，③正確．將x＝25代入eq\o(y,\s\up6(^))＝－，解得eq\o(y,\s\up6(^))＝，②正確．【答案】②③2．甲、乙兩同學各自獨立地考察兩個變量X、Y的線性相關關系時，發現兩人對X的觀察數據的平均值相等，都是s，對Y的觀察數據的平均值也相等，都是t，各自求出的回歸直線分別是l1，l2，則直線l1與l2必經過同一點________．【解析】由回歸方程必過樣本中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))知，直線l1，l2經過的同一點為(s，t)．【答案】(s，t)3．已知某工廠在2023年每月產品的總成本y(萬元)與月產量x(萬件)之間有線性相關關系，回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，若月產量增加4萬件時，則估計成本增加________萬元．【解析】由eq\o(y,\s\up6(^))1＝＋，eq\o(y,\s\up6(^))2＝(x1＋4)＋，得eq\o(y,\s\up6(^))2－eq\o(y,\s\up6(^))1＝×4＝(萬元)．【答案】4．對某臺機器購置后的運營年限x(x＝1,2,3，…)與當年利潤y的統計分析知具備線性相關關系，回歸方程為y＝－，估計該臺機器使用________年最合算．【解析】只要預計利潤不為負數，使用該機器就算合算，即y≥0，所以－≥0，解得x≤，所以該臺機器使用8年最合算．【答案】85．已知x，y的取值如下表所示：x0134y從散點圖分析，y與x線性相關，且eq\o(y,\s\up6(^))＝＋a，則a＝________.【解析】由條件知eq\o(x,\s\up6(－))＝2，eq\o(y,\s\up6(－))＝，所以＝×2＋a，解得a＝.【答案】6．下表提供了某廠節能降耗技術改造后，在生產A產品過程中記錄的產量x(單位：噸)與相應的生產能耗y(單位：103kJ)幾組對應的數據：x3456yt4根據上表提供的數據，求出y關于x的線性回歸方程y＝＋，那么表中t的值為________．【解析】由eq\o(y,\s\up6(－))＝\o(x,\s\up6(－))＋，得eq\f＋t＋4＋,4)＝×eq\f(3＋4＋5＋6,4)＋，故eq\f(11＋t,4)＝，即t＝3.【答案】37．根據如下樣本數據x345678y－－－得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，則下列判斷正確的是________．①a>0，b>0；②a>0，b<0；③a<0，b>0；④a<0，b<0.【解析】作出散點圖如下：觀察圖象可知，回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的斜率b<0，當x＝0時，eq\o(y,\s\up6(^))＝a>0.故a>0，b<0.【答案】②8．某數學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為________cm.【導學號：11032054】【解析】設父親身高為xcm，兒子身高為ycm，則x173170176y170176182eq\x\to(x)＝173，eq\x\to(y)＝176，b＝eq\f(\i\su(i＝1,3,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,3,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(0×－6＋－3×0＋3×6,02＋－32＋32)＝1，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝176－1×173＝3，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋3，當x＝182時，eq\o(y,\s\up6(^))＝185.【答案】185二、解答題9．從某居民區隨機抽取10個家庭，經統計第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數據資料，得到eq\i\su(i＝1,10,x)i＝80，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝20，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝184，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝720.(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a；(2)判斷變量x與y之間是正相關還是負相關；(3)若該居民區某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄．【解】(1)由題意知n＝10，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＝eq\f(80,10)＝8，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(20,10)＝2，又eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－neq\o(x,\s\up6(－))2＝720－10×82＝80，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi－neq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝184－10×8×2＝24，由此得b＝eq\f(24,80)＝，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝2－×8＝－，故所求線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－.(2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(b＝>0)，故x與y之間是正相關．(3)將x＝7代入線性回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄約為y＝×7－＝(千元)．10．某種產品的廣告支出x與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下的對應關系：x24568y3040605070(1)假定y與x之間具有線性相關關系，求線性回歸方程；(2)若實際銷售額不少于60百萬元，則廣告支出應該不少于多少？【解】(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(2＋4＋5＋6＋8)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(30＋40＋60＋50＋70)＝50，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝22＋42＋52＋62＋82＝145.eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝2×30＋4×40＋5×60＋6×50＋8×70＝1380.∴b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1380－5×5×50,145－5×52)＝，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝50－×5＝，∴線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(2)由線性回歸方程得eq\o(y,\s\up6(^))≥60，即＋≥60，∴x≥eq\f(85,13)≈，∴廣告費用支出應不少于百萬元．[能力提升]1．某產品的廣告費用x與銷售額y的統計數據如下表：廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據上表可得回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a中的b為，據此模型預測廣告費用為6萬元時銷售額為________萬元．【解析】由題意可知eq\o(x,\s\up6(－))＝，eq\o(y,\s\up6(－))＝42，則42＝×＋a，a＝，eq\o(y,\s\up6(^))＝×6＋＝.【答案】2．期中考試后，某校高一(9)班對全班65名學生的成績進行分析，得到數學成績y對總成績x的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6＋.由此可以估計：若兩個同學的總成績相差50分，則他們的數學成績大約相差________分.【導學號：11032055】【解析】令兩人的總成績分別為x1，x2.則對應的數學成績估計為eq\o(y,\s\up6(^))1＝6＋，eq\o(y,\s\up6(^))2＝6＋，所以|eq\o(y,\s\up6(^))1－eq\o(y,\s\up6(^))2|＝|(x1－x2)|＝×50＝20.【答案】203．已知x與y之間的幾組數據如下表：x123456y021334假設根據上表數據所得線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，若某同學根據上表中的前兩組數據(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則eq\o(b,\s\up6(^))________b′，eq\o(a,\s\up6(^))________a′(填“>”“<”或“＝”)．【解析】由兩組數據(1,0)和(2,2)可求得直線方程為y＝2x－2，b′＝2，a′＝－2.而利用線性回歸方程的公式與已知表格中的數據，可求得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,6,x)iyi－6\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,6,x)\o\al(2,i)－6\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(58－6×\f(7,2)×\f(13,6),91－6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))2)＝eq\f(5,7)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(13,6)－eq\f(5,7)×eq\f(7,2)＝－eq\f(1,3)，所以eq\o(b,\s\up6(^))<b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′.【答案】<>4．某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節大豆新品種發芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100棵種子中的發芽數，得到如下資料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日溫差x(℃)101113128發芽數y(顆)2325302616該農科所確定的研究方案是：先從這5組數據中選取2組，用剩下的3組數據求回歸直線方程，再對被選取的2組數據進行檢驗．(1)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數據，請根據12月2日至12月4日的數據，求出y關于x的回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a；(2)若由回歸直線方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆，則認為得到的回歸直線方程是可靠的，試問(1)中所得的回歸直線方程是否可靠？【解】(1)由數據求得，eq\o(x,\s\up6(－))＝12，eq\o(y,\s\up