2．3函數的應用(Ⅰ)1．了解函數模型(如一次函數、二次函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型)的廣泛應用．2．能夠利用給定的函數模型或建立確定的函數模型解決實際問題．(重點、難點)[基礎·初探]教材整理幾類函數模型閱讀教材P65～P68“探索與研究”以上部分，完成下列問題．常見的幾類函數模型函數模型函數解析式一次函數模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0)二次函數模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)分段函數模型f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，x∈D1,f2x，x∈D2,……,fnx，x∈Dn))1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)甲、乙兩人在一次賽跑中，路程s與時間t的函數關系如圖2-3-1所示，判斷下列說法的對錯．圖2-3-1(1)甲比乙先出發．()(2)乙比甲跑的路程多．()(3)甲、乙兩人的速度相同．()(4)甲先到達終點．()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√2．某生產廠家的生產總成本y(萬元)與產量x(件)之間的關系式為y＝x2－80x，若每件產品的售價為25萬元，則該廠獲得最大利潤時，生產的產品件數為()A．52 B．C．53 D．52或53【解析】因為利潤＝收入－成本，當產量為x件時(x∈N)，利潤f(x)＝25x－(x2－80x)，所以f(x)＝105x－x2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(105,2)))2＋eq\f(1052,4)，所以x＝52或x＝53時，f(x)有最大值．【答案】D[小組合作型]一次函數模型的應用(1)某廠日生產文具盒的總成本y(元)與日產量x(套)之間的關系為y＝6x＋30000.而出廠價格為每套12元，要使該廠不虧本，至少日生產文具盒()A．2000套 B．3000套C．4000套 D．5000套(2)如圖2-3-2所示，這是某電信局規定的打長途電話所需要付的電話費y(元)與通話時間t(分鐘)之間的函數關系圖象．根據圖象填空：圖2-3-2①通話2分鐘，需要付電話費________元；②通話5分鐘，需要付電話費________元；③如果t≥3，則電話費y(元)與通話時間t(分鐘)之間的函數關系式為________．【解析】(1)因利潤z＝12x－(6x＋30000)，所以z＝6x－30000，由z≥0，解得x≥5000，故至少日生產文具盒5000套．(2)①由圖象可知，當t≤3時，電話費都是元．②由圖象可知，當t＝5時，y＝6，需付電話費6元．③易知當t≥3時，圖象過點(3,，(5,6)，利用待定系數法求得y＝(t≥3)．【答案】(1)D(2)①②6③y＝(t≥3)1．一次函數模型的實際應用一次函數模型應用時，本著“問什么，設什么，列什么”這一原則．2．一次函數的最值求解一次函數求最值，常轉化為求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答時，注意系數a的正負，也可以結合函數圖象或其單調性來求最值．[再練一題]1．某家報刊銷售點從報社買進報紙的價格是每份元，賣出的價格是每份元，賣不掉的報紙還可以每份元的價格退回報社．在一個月(30天)里，有20天每天可以賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，設每天從報社買進的報紙數量相同，則應該每天從報社買進多少份，才能使每月所獲的利潤最大？該銷售點一個月最多可賺得多少元？【導學號：60210056】【解】設每天從報社買進x份報紙，易知250≤x≤400，設每月賺y元，則y＝×20＋×250×10＋(x－250)××10－×30＝＋1050，x∈[250,400]．因為y＝＋1050是定義域上的增函數，所以當x＝400時，ymax＝120＋1050＝1170(元)．故每天從報社買400份報紙時，所獲的利潤最大，每月可賺1170元.二次函數模型的應用商場銷售某一品牌的羊毛衫，購買人數是羊毛衫標價的一次函數，標價越高，購買人數越少．把購買人數為零時的最低標價稱為無效價格，已知無效價格為每件300元．現在這種羊毛衫的成本價是100元/件，商場以高于成本價的價格(標價)出售．問：(1)商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標價應定為每件多少元？(2)通常情況下，獲取最大利潤只是一種“理想結果”，如果商場要獲得最大利潤的75%，那么羊毛衫的標價為每件多少元？【精彩點撥】(1)先設購買人數為n人，羊毛衫的標價為每件x元，利潤為y元，列出函數y的解析式，最后利用二次函數的最值即可求得商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標價應定為每件多少元即可；(2)由題意得出關于x的方程式，解得x值，從而即可解決商場要獲取最大利潤的75%，每件標價為多少元．【自主解答】(1)設購買人數為n人，羊毛衫的標價為每件x元，利潤為y元，則x∈(100,300]，n＝kx＋b(k＜0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300)，y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10000k(x∈(100,300])，∵k＜0，∴x＝200時，ymax＝－10000k，即商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標價應定為每件200元．(2)由題意得，k(x－100)(x－300)＝－10000k·75%，即x2－400x＋37500＝0，解得x＝250或x＝150，所以，商場要獲取最大利潤的75%，每件標價為250元或150元．在函數模型中，二次函數模型占有重要的地位，根據實際問題建立二次函數解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數的單調性等方法來求函數的最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等問題.[再練一題]2．某水廠的蓄水池中有400噸水，每天零點開始由池中放水向居民供水，同時以每小時60噸的速度向池中注水，若t小時內向居民供水總量為100eq\r(6t)(0≤t≤24)，求供水開始幾小時后，水池中的存水量最少．【解】設t小時后，蓄水池中的存水量為y噸，則y＝400＋60t－100eq\r(6t)(0≤t≤24)，設u＝eq\r(t)，則u∈[0，2eq\r(6)]，y＝60u2－100eq\r(6)u＋400＝60eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u－\f(5\r(6),6)))2＋150，∴當u＝eq\f(5\r(6),6)即t＝eq\f(25,6)時，蓄水池中的存水量最少．[探究共研型]分段函數模型的應用探究1分段函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，x∈D1，,f2x，x∈D2，,……,fnx，x∈Dn))的定義域和值域分別是什么？如何求分段函數的最大值和最小值？【提示】分段函數f(x)是各段自變量取值范圍的并集，即D1∪D2∪…∪Dn，分段函數的值域是各段值域的并集．先求出各段在其自變量取值范圍內的最大值和最小值，然后分別比較各段最大值和最小值，各段最大值的最大者就是分段函數的最大值，各段最小值的最小者就是分段函數的最小值．探究2解實際應用問題時，如何確定所要應用的函數模型是否為分段函數？【提示】根據題意，判斷題設中的自變量變化是否遵循不同的規律，若是，則所要應用的函數模型為分段函數，反之則不是．經市場調查，某城市的一種小商品在過去的近20天內的銷售量(件)與價格(元)均為時間t(天)的函數，且銷售量近似滿足g(t)＝80－2t(件)，價格近似滿足于f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15＋\f(1,2)t，0≤t≤10，,25－\f(1,2)t，10<t≤20))(元)．(1)試寫出該種商品的日銷售額y與時間t(0≤t≤20)的函數表達式；(2)求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．【精彩點撥】(1)由已知，由價格乘以銷售量可得該種商品的日銷售額y與時間t(0≤t≤20)的函數表達式；(2)由(1)分段求出函數的最大值與最小值，從而可得該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．【自主解答】(1)由已知，由價格乘以銷售量可得：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15＋\f(1,2)t))80－2t，0≤t≤10,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(1,2)t))80－2t，10<t≤20))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋3040－t，0≤t≤10,50－t40－t，10<t≤20))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋10t＋1200，0≤t≤10,t2－90t＋2000，10<t≤20))(2)由(1)知①當0≤t≤10時，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函數圖象開口向下，對稱軸為t＝5，該函數在t∈[0,5)遞增，在t∈(5,10]遞減，∴ymax＝1225(當t＝5時取得)，ymin＝1200(當t＝0或10時取得)．②當10＜t≤20時，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，圖象開口向上，對稱軸為t＝45，該函數在t∈(10,20]遞減，ymax＝1200(t＝10時取得)，ymin＝600(當t＝20時取得)，由①②知ymax＝1225(當t＝5時取得)，ymin＝600(當t＝20時取得)．1．建立分段函數模型的關鍵是確定分段的各界點，即明確自變量的取值區間．2．分段函數主要是每一段自變量變化所遵循的規律不同，可以先將其當作幾個問題，將各段的變化規律分別求出來，再將其合到一起．[再練一題]3．國慶期間，某旅行社組團去風景區旅游，若旅行團人數在30人或30人以下，每人需交費用為900元；若旅行團人數多于30人，則給予優惠：每多1人，人均費用減少10元，直到達到規定人數75人為止．旅行社需支付各種費用共計15000元．(1)寫出每人需交費用y關于人數x的函數；(2)旅行團人數為多少時，旅行社可獲得最大利潤？【解】(1)當0＜x≤30時，y＝900；當30＜x≤75，y＝900－10(x－30)＝1200－10x；即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0<x≤30，,1200－10x，30<x≤75.))(2)設旅行社所獲利潤為S元，則當0＜x≤30時，S＝900x－15000；當30＜x≤75，S＝x(1200－10x)－15000＝－10x2＋1200x－15000；即S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0<x≤30，,－10x2＋1200x－15000，30<x≤75.))因為當0＜x≤30時，S＝900x－15000為增函數，所以x＝30時，Smax＝12000；當30＜x≤75時，S＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，即x＝60時，Smax＝21000＞12000.所以當旅行社人數為60時，旅行社可獲得最大利潤．1．一等腰三角形的周長為20，底邊y是關于腰長x的函數，則它的解析式為()A．y＝20－2x(x≤10)B．y＝20－2x(x<10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5<x<10)【解析】依題意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x.又y>0，∴20－2x>0，∴x<10.又2x>y，∴2x>20－2x，∴x>5，∴5<x<10.【答案】D2．某工廠生產某種產品固定成本為2000萬元，并且每生產一單位產品，成本增加10萬元．又知總收入K是單位產品數Q的函數，K(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，則總利潤L(Q)的最大值是________萬元．【解析】L(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2－10Q－2000＝－eq\f(1,20)Q2＋30Q－2000＝－eq\f(1,20)(Q－300)2＋2500，當Q＝300時，L(Q)的最大值為2500萬元．【答案】25003．某商人將彩電先按原價提高40%，然后在廣告上寫上“大酬賓，八折優惠”結果是每臺彩電比原價多賺了270元，則每臺彩電的原價為________元．【解析】設彩電的原價為a，∴a(1＋·80%－a＝270，∴＝270，解得a＝2250.∴每臺彩電的原價為2250元．【答案】22504．某商店進貨單價為45元，若按50元一個銷售，能賣出50個；若銷售單價每漲1元，其銷售量就減少2個，為了獲得最大利潤，此商品的最佳售價應為每個________元.【導學號：60210057】【解析】設漲價x元，銷售的利潤為y元，則y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250＝－2(x－10)2＋450，所以當x＝10，即銷售