3．共面向量定理[學習目標]1.了解共面向量等概念.2.理解空間向量共面的充要條件．[知識鏈接]1．空間兩向量共線，一定共面嗎？反之還成立嗎？答：一定共面，反之不成立．2．空間共面向量定理與平面向量基本定理有何關系？答：空間共面向量定理中，當向量a，b是平面向量時，即為平面向量基本定理．[預習導引]1．共面向量能平移到同一平面內的向量叫做共面向量．2．共面向量定理如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序實數組(x，y)，使得p＝xa＋yb，即向量p可以由兩個不共線的向量a，b線性表示．3．空間四點共面的條件若空間任意無三點共線的四點，對于空間任一點O，存在實數x、y、z使得eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))＋zeq\o(OD,\s\up6(→))，且x、y、z滿足x＋y＋z＝1，則A、B、C、D共面．要點一應用共面向量定理證明點共面例1已知A、B、C三點不共線，平面ABC外的一點M滿足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).(1)判斷eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))三個向量是否共面；(2)判斷點M是否在平面ABC內．解(1)∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))．∴eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)).又eq\o(MB,\s\up6(→))與eq\o(MC,\s\up6(→))不共線．∴向量eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)∵向量eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))共面且具有公共起點M，∴M、A、B、C共面．即點M在平面ABC內．規律方法利用共面向量定理證明四點共面時，通常構造有公共起點的三個向量，用其中的兩個向量線性表示另一個向量，得到向量共面，即四點共面．跟蹤演練1已知兩個非零向量e1、e2不共線，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，求證：A、B、C、D共面．證明∵eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝5e1＋5e2＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))不共線．∴eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))共面，又它們有一個公共起點A.∴A、B、C、D四點共面．要點二應用共面向量定理證明線面平行例2如圖，在底面為正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中，D為AC的中點，求證：AB1∥平面C1BD.證明記eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則eq\o(AB1,\s\up6(→))＝a＋c，eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)b，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋c，所以eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC1,\s\up6(→))＝a＋c＝eq\o(AB1,\s\up6(→))，又eq\o(DB,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))1不共線，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC1,\s\up6(→))共面．又由于AB1不在平面C1BD內，所以AB1∥平面C1BD.規律方法在空間證明線面平行的又一方法是應用共面向量定理進行轉化．要熟悉其證明過程和證明步驟．跟蹤演練2如圖所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，在面對角線AC1上和棱BC上分別取點M、N，使eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．求證：MN∥平面ABB1A1.證明eq\o(AM,\s\up6(→))＝k·eq\o(AC1,\s\up6(→))＝k(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝kb＋kc，又∵eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝a＋keq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc.又a與c不共線．∴eq\o(MN,\s\up6(→))與向量a，c是共面向量．又MN不在平面ABB1A1內，∴MN∥平面ABB1A1.要點三向量共線、共面的綜合應用例3如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點P是ABCD所在平面外的一點，連結PA，PB，PC，PD.設點E，F，G，H分別為△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．試用向量方法證明E，F，G，H四點共面．解分別連結PE，PF，PG，PH并延長，交對邊于點M，N，Q，R，連結MN，NQ，QR，RM.∵E，F，G，H分別是所在三角形的重心，∴M，N，Q，R是所在邊的中點，且eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up6(→))，eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PN,\s\up6(→))，eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up6(→))，eq\o(PH,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PR,\s\up6(→)).由題意知四邊形MNQR是平面四邊形，∴eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(MR,\s\up6(→))＝(eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→)))－(eq\o(PR,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→)))＝eq\f(3,2)(eq\o(PF,\s\up6(→))－eq\o(PE,\s\up6(→)))＋eq\f(3,2)(eq\o(PH,\s\up6(→))－eq\o(PE,\s\up6(→)))＝eq\f(3,2)(eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→)))．又eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PG,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(EG,\s\up6(→)).∴eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))，由共面向量定理知，E，F，G，H四點共面．規律方法選擇恰當的向量表示問題中的幾何元素，通過向量運算得出幾何元素之間的關系，這是解決立體幾何常用的方法．

跟蹤演練3已知O、A、B、C、D、E、F、G、H為空間的9個點(如圖所示)，并且eq\o(OE,\s\up6(→))＝keq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝keq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OH,\s\up6(→))＝keq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→)).求證：(1)A、B、C、D四點共面，E、F、G、H四點共面；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(EG,\s\up6(→))；(3)eq\o(OG,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→)).證明(1)由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→))知A、B、C、D四點共面，E、F、G、H四點共面．(2)∵eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OH,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＋m(eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→)))＝k(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋km(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝keq\o(AD,\s\up6(→))＋kmeq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→)))＝keq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(EG,\s\up6(→)).(3)由(2)知eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(EG,\s\up6(→))－eq\o(EO,\s\up6(→))＝keq\o(AC,\s\up6(→))－keq\o(AO,\s\up6(→))＝k(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→)))＝keq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→)).1．給出下列幾個命題：①向量a，b，c共面，則它們所在的直線共面；②零向量的方向是任意的；③若a∥b，則存在惟一的實數λ，使a＝λb.其中真命題的個數為________．答案1解析①假命題．三個向量共面時，它們所在的直線或者在平面內或者與平面平行；②真命題．這是關于零向量的方向的規定；③假命題．當b＝0，則有無數多個λ使之成立．2．已知兩非零向量e1，e2不共線，設a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，則a與e1，e2的關系為________．答案a與e1，e2共面解析若a∥e1，則存在實數t使得a＝te1，∴te1＝λe1＋μe2，∴(t－λ)e1＝μe2，則e1與e2共線，不符合題意．同理，a與e2也不平行．由向量共面的充要條件知a與e1，e2共面．3．已知點M在平面ABC內，并且對空間任意一點O，有eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，則x的值為________．答案eq\f(1,3)解析∵eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，且M，A，B，C四點共面，∴x＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝1，x＝eq\f(1,3).4．空間的任意三個向量a，b,3a－2b，它們一定是________．答案共面向量解析如果a，b是不共線的兩個向量，由共面向量定理知，a，b,3a－2b共面；若a，b共線，則a，b,3a－2b共線，當然也共面．共面向量定理的應用：(1)空間中任意兩個向量a，b總是共面向量，空間中三個向量a，b，c則不一定共面．(2)空間中四點共面的條件空間點P位于平面MAB內，則存在有序實數對x、y使得eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，①此為空間共面向量定理，其實質就是平面向量基本定理，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))實質就是面MAB內平面向量的一組基底．另外有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，②或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)③①、②、③均可作為證明四點共面的條件，但是①更為常用．一、基礎達標1．已知ABCD為矩形，P點為平面ABCD外一點，且PA⊥面ABCD，G為△PCD的重心，若eq\o(AG,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))，則x＝________，y＝________，z＝________.答案eq\f(1,3)eq\f(2,3)eq\f(1,3)解析∵eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)[eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))]＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).∴x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)，z＝eq\f(1,3).2．在下列等式中，使點M與點A，B，C一定共面的是________．①eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))；②eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))；③eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0；④eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.答案③解析若有eq\o(MA,\s\up6(→))＝xeq\o(MB,\s\up6(→))＋yeq\o(MC,\s\up6(→))，則M與點A、B、C共面，或者eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))且x＋y＋z＝1，則M與點A、B、C共面，①、②、④不滿足x＋y＋z＝1，③滿足eq\o(MA,\s\up6(→))＝xeq\o(MB,\s\up6(→))＋yeq\o(MC,\s\up6(→))，故③正確．3．已知P和不共線三點A，B，C四點共面且對于空間任一點O，都有eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))，則λ＝________.答案－2解析P與不共線三點A，B，C共面，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，則有x＋y＋z＝1.從而λ＝－2.4．設a，b，c是不共面向量，m＝2a－b，n＝b＋c，p＝4a－5b－3c，則向量m，n，p的關系是________(填“共面”或“不共面”)．答案共面解析因為p＝2(2a－b)－3(b＋c)＝2m－3n，所以m，n，p必共面．5．下列命題：①若p＝xa＋yb，則p與a，b共面；②若p與a，b共面，則p＝xa＋yb；③若eq\o(MP,\s\up6(→))＝x·eq\o(MA,\s\up6(→))＋y·eq\o(MB,\s\up6(→))，則P、M、A、B四點共面；④若P、M、A、B四點共面，則eq\o(MP,\s\up6(→))＝x·eq\o(MA,\s\up6(→))＋y·eq\o(MB,\s\up6(→))，其中正確的是________．答案②④解析①與③中取x＝0或y＝0，則結論不一定成立．反之，②④正確．6．已知A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC上一點，若AB1∥平面DBC1，則D在AC上的位置是________．答案D是AC的中點

解析取BC1的中點為O，由AB1∥平面DBC1知，存在實數x，y滿足eq\o(AB1,\s\up6(→))＝xeq\o(DB,\s\up6(→))＋yeq\o(DC1,\s\up6(→))，又eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OB1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC1,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，即D是AC的中點．7．設A、B、C及A1、B1、C1分別是異面直線l1、l2上的三點，而M、N、P、Q分別是線段AA1、BA1、BB1、CC1的中點．求證：M、N、P、Q四點共面．證明因為eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1B1,\s\up6(→))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝2eq\o(NP,\s\up6(→))，又因為eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))，(*)A、B、C及A1、B1、C1分別共線，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＝2λeq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝ωeq\o(A1B1,\s\up6(→))＝2ωeq\o(NP,\s\up6(→)).代入(*)式得eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(2λeq\o(NM,\s\up6(→))＋2ωeq\o(NP,\s\up6(→)))，又eq\o(NM,\s\up6(→))與eq\o(NP,\s\up6(→))不共線．所以eq\o(PQ,\s\up6(→))、eq\o(NM,\s\up6(→))、eq\o(NP,\s\up6(→))共面，所以M、N、P、Q四點共面．二、能力提升8．平面α內有點A，B，C，D，E，其中無三點共線，O為空間一點，滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋xeq\o(OC,\s\up6(→))＋yeq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝2xeq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＋yeq\o(OE,\s\up6(→))，則x＋3y＝________.答案eq\f(7,6)解析由點A，B，C，D共面得x＋y＝eq\f(1,2)，又由點B，C，D，E共面得2x＋y＝eq\f(2,3)，聯立方程組解得x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)，所以x＋3y＝eq\f(7,6).9.如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AE＝3EA1，AF＝FD，AG＝eq\f(1,2)GB，過E、F、G三點的平面與對角線AC1交于點P，則AP∶PC1的值為________．答案eq\f(3,16)解析設eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AC1,\s\up6(→))，因為eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝3meq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)meq\o(AE,\s\up6(→))＋2meq\o(AF,\s\up6(→))，又因為E、F、G、P四點共面，所以3m＋eq\f(4,3)m＋2m＝1，所以m＝eq\f(3,19)，所以AP∶PC1＝3∶16.10．已知非零向量e1，e2不共線，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2.則A、B、C、D四點的位置關系為________．答案共面解析令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0.則(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0.∵e1、e2不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＋3v＝0，,λ＋8μ－3v＝0，))易知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－5,μ＝1,v＝1))是其中一組解，則－5eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，∴A、B、C、D共面．11．已知四邊形ABCD為正方形，P是四邊形ABCD所在平面外一點，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中點O，Q是CD的中點，求下列各題中x，y的值．(1)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋xeq\o(PC,\s\up6(→))＋yeq\o(PA,\s\up6(→))；(2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PO,\s\up6(→))＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).解(1)如圖所示∵eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，∴x＝y＝－eq\f(1,2).(2)∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)).又eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)).∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－(2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－2eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).∴x＝2，y＝－2.12．對于任意空間四邊形ABCD，E、F分別是AB、CD的中點．試判斷：eq\o(EF,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))的關系．解如圖所示．空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，利用多邊形加法法則可得：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))，①eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))，②又E、F分別是AB、CD的中點．故有eq\o(EA,\s\up6(→))＝－eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝－eq\o(CF,\s\up6(→))，③將③代入①得eq\o(EF