南康中學2023～2023學年度第二學期高二第一次大考數學（文科）試卷一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1、“二孩政策”的出臺，給很多單位安排帶來新的挑戰，某單位為了更好安排下半年的工作，該單位領導想對本單位女職工做一個調研，已知該單位有女職工300人，其中年齡在40歲以上的有50人，年齡在[30，40]之間的有150人，30歲以下的有100人，現按照分層抽樣取30人，則各年齡段抽取的人數分別為（）.A．5，15，10 B．5，10，15 C．10，10，10 D．5，5，202、現有名女教師和名男教師參加說題比賽，共有道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機選出一道題進行說題，其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為（）A. B. C. D.3、“｜x－1｜＜2成立”是“x（x－3）＜0成立”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4、下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”．執行該程序框圖，若輸入的a,b分別為14,18，則輸出的a=（）A.0 B.2C.4 D.145、已知拋物線上一點到焦點的距離與其到對稱軸的距離之比為5:4，且，則點到原點的距離為（）A． B． C．4 D．86、通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110計算得到的觀測值約為.下列說法正確的是（）A．在犯錯誤的概率不超過%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”B．在犯錯誤的概率不超過%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”C．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”D．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”7、若點是曲線上任意一點，則點到直線的最小距離為（）A．B．1 C． D．28、設，函數的導函數是，且是奇函數.若曲線的一條切線的斜率是，則切點的橫坐標為（）A． B． C. D．9、雙曲線（，）的一個焦點，虛軸的一個端點為，如果直線與該雙曲線的漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10、函數的圖象大致是（）A． B． C． D．11、若函數在上是增函數，則實數的取值范圍是（）A．B． C． D．12、若函數（）的導函數在區間上有零點，則在下列區間上單調遞增的是（）A． B．C． D．二、填空題（每題5分，共20分）13、設有關的一元二次方程，若是從區間中任取的一個數，是從區間中任取的一個數，則上述方程有實根的概率為______．14、若雙曲線的離心率為3，其漸近線與圓相切，則＝____________．15、若函數有極大值又有極小值,則的取值范圍是______．16、下列四個命題：①方程若有一個正實根，一個負實根，則；②函數是偶函數，但不是奇函數；③函數的值域是，則函數的值域為；④一條曲線和直線的公共點個數是，則的值不可能是1.其中正確的有（寫出所有正確的命題的序號）．三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17、設命題：函數是上的減函數，命題：函數的定義域為，若“且”為假命題，“或”為真命題，求實數的取值范圍．18、某中學調查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況，數據如下表：（單位：人）參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230（I）從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個社團的概率；（II）在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中，有5名男同學，3名女同學，現從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求被選中且未被選中的概率。19、已知函數(1)當時,求函數的單調區間:(2)若函數的圖象過點(1,1)且極小值點在區間(1,2)內,求實數b的取值范圍.20、某市甲、乙兩校高二級學生分別有1100人和1000人，為了解兩校全體高二級學生期末統考的數學成績情況，采用分層抽樣方法從這兩所學校共抽取105名高二學生的數學成績，并得到成績頻數分布表如下，規定考試成績在[120，150]為優秀．甲校：分組[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150）頻數23101515x31乙校：分組[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150）頻數12981010y3（1）求表中x與y的值；（2）由以上統計數據完成下面2x2列聯表，問是否有99%的把握認為學生數學成績優秀與所在學校有關？甲校乙校總計優秀aba＋b非優秀cdc＋d總計a＋cb＋dn參考公式：P(K2≥k0)k021、已知雙曲線的中心在坐標原點,焦點在軸上,離心率,虛軸長為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）若直線與曲線相交于兩點（均異于左、右頂點），且以為直徑的圓過雙曲線的左頂點,求證：直線過定點,并求出定點的坐標.22、已知函數.（Ⅰ）若函數在處取得極值，求實數的值；（Ⅱ）在(Ⅰ)的條件下，函數(其中為函數的導數)的圖像關于直線對稱，求函數單調區間；（Ⅲ）在(Ⅱ)的條件下，若對任意的，都有恒成立，求實數的取值范圍.南康中學2023～2023學年度第二學期高二第一次大考數學（文科）參考答案一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.題號123456789101112答案ACBBBCCADADD二、填空題（每題5分，共20分）13、 14、 15、或 16、①④三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17、18、（I）（II）試題分析：（Ⅰ）先判斷出這是一個古典概型，所以求出基本事件總數，“至少參加一個社團”事件包含的基本事件個數，從而根據古典概型的概率計算公式計算即可；（Ⅱ）先求基本事件總數，即從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，有多少中選法，這個可利用分步計數原理求解，再求出“A1被選中，而B1未被選中”事件包含的基本事件個數，這個容易求解，然后根據古典概型的概率公式計算即可試題解析：(1)由調查數據可知，既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人，故至少參加上述一個社團的共有45－30＝15(人)，所以從該班隨機選1名同學，該同學至少參加上述一個社團的概率為P＝＝.(2)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，其一切可能的結果組成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15個．根據題意，這些基本事件的出現是等可能的，事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2個．因此，A1被選中且B1未被選中的概率為.19、20、【答案】（1）由分層抽樣可知，甲校抽取105×=55人乙校抽取105﹣55=50人所以x=55﹣（2+3+10+15+15+3+1）=6，y=50﹣（1+2+9+8+10+10+3）=7；（2）2x2列聯表如下甲校乙校總計優秀102030非優秀453075總計5550105所以所以沒有99%的把握認為學生數學成績優秀與所在學校有關．21、（1）（2）試題分析：（1）求雙曲線標準方程，一般方法為待定系數法，即根據題意列出兩個獨立條件：，解方程組得（2）以為直徑的圓過雙曲線的左頂點,等價于,根據向量數量積得，結合直線方程得，利用直線方程與雙曲線方程聯立方程組，消y得，再利用韋達定理代入等式整理得，因此或.逐一代入得當時,的方程為,直線過定點.試題解析：（1）設雙曲線的標準方程為,由已知得又,解得,所以雙曲線的標準方程為.（2）設,聯立,得,有,,以為直徑的圓過雙曲線的左頂點,,即,,解得或.當時,的方程為,直線過定點,與已知矛盾；當時,的方程為,直線過定點,經檢驗符合已知條件,所以直線過定點,定點坐標為.22、（Ⅰ）；（Ⅱ）函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減；(Ⅲ).試題分析：（Ⅰ）由，得；（Ⅱ）的圖象關于直線對稱，故函數為偶函數，解得，分別令，即可得到單調區間；