向量數乘運算及其幾何意義教學分析向量的數乘運算，其實是加法運算的推廣及簡化，與加法、減法統稱為向量的三大線性運算.教學時從加法入手，引入數乘運算，充分展現了數學知識之間的內在聯系 .實數與向量的乘積，仍然是一個向量，既有大小，也有方向.特別是方向與已知向量是共線向量 ，進而引出共線向量定理.共線向量定理是本章節中重要的內容 ，應用相當廣泛，且容易出錯.尤其是定理TOC\o"1-5"\h\z的前提條件：向量a是非零向量.共線向量定理的應用主要用于證明點共線或平行等幾何性質，且與后續的知識有著緊密的聯系 .三維目標.通過經歷探究數乘運算法則及幾何意義的過程 ，掌握實數與向量積的定義 ，理解實數與向量積的幾何意義，掌握實數與向量的積的運算律 ..理解兩個向量共線的等價條件 ，能夠運用兩向量共線條件判定兩向量是否平行 ^.通過探究，體會類比遷移的思想方法，滲透研究新問題的思想和方法 ，培養創新能力和積極進取精神.通過解決具體問題，體會數學在生活中的重要作用 .重點難點教學重點：1.實數與向量積的意義.2.實數與向量積的運算律.3.兩個向量共線的等價條件及其運用.教學又t點：對向量共線的等價條件的理解運用 .課時安排1課時教學過程導入新課思路1.前面兩節課，我們一起學習了向量加減法運算，這一節，我們將在加法運算基礎上研究相同向量和的簡便計算及推廣.在代數運算中，a+a+a=3a,故實數乘法可以看成是相同實數加法的簡便計算方法，那么相同向量的求和運算是否也有類似的簡便計算 ^思路2.一物體做勻速直線運動，一秒鐘的位移對應的向量為a,那么在同一方向上3秒鐘的位移對應的向量怎樣表示？是 3a嗎？怎樣用圖形表示？由此展開新課.推進新課新知探究提出問題①已知非零向量a,試一試作出a+a+a和（-a）+（-a）+（-a）.②你能對你的探究結果作出解釋 ，并說明它們的幾何意義嗎？③引入向量數乘運算后，你能發現數乘向量與原向量之間的位置關系嗎 ？怎樣理解兩向量平行？與兩直線平行有什么異同？活動：引導學生回顧相關知識并猜想結果 ，對于運算律的驗證，點撥學生通過作圖來進行通過學生的動手作圖，讓學生明確向量數乘運算的運算律及其幾何意義 .教師要引導學生特別注意0-a=0,而不是0-a=0.這個零向量是一個特殊的向量 ，它似乎很不起眼，但又處處存在，稍不注意就會出錯，所以要引導學生正確理解和處理零向量與非零向量之間的關系 .實數與向量可以求積，但是不能進行加、減運算，比如入+a,入-a都無法進行.向量數乘運算的運算律與實數乘法的運算律很相似，只是數乘運算的分配律有兩種不同的形式:（入+（1）a=入a+a和入（a+b）=入a+入b,數乘運算的關鍵是等式兩邊向量的模相等 ，方向相同.判斷兩個向量是否平行（共線）,實際上就是看能否找出一個實數 ，使得這個實數乘以其中一個向量等于另一個向量 .一定要切實理解兩向量共線的條件 ，它是證明幾何中的三點共線和兩直線平行等問題的有效手段對問題①,學生通過作圖 1可發現，OC=OA+AB+BC=a+a+a.類似數的乘法,可把a+a+a記作3a,即OC=3a.顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，即13a|=3|a|.同樣，由圖1可知,圖1PN=PQQMMN=(-a)+(-a)+(-a),即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).顯然3(-a)的方向與a的方向相反,3(-a)的長度是a的長度的3倍，這樣,3(-a)=-3a.對問題②，上述過程推廣后即為實數與向量的積 .我們規定實數 入與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作入a,它的長度與方向規定如下：(1)1入a|=|入||a|;(2)當入＞0時，入a的方向與a的方向相同；當入＜0時，入a的方向與a的方向相反.由(1)可知，入=0時，入a=0.根據實數與向量的積的定義，我們可以驗證下面的運算律.實數與向量的積的運算律設入、科為實數，那么⑴…a)=(入科)a;(2)(入+(1)a=入a+a;(3)入(a+b)=入a+入b.特別地，我們有(-入)a=-(入a)=入(-a),入(a-b)=入a-入b.對問題③，向量共線的等價條件是：如果a(aw。)與b共線，那么有且只有一個實數 入，使b=入a.推證過程教師可引導學生自己完成，推證過程如下：對于向量a(aw。)、b,如果有一個實數入，使b=Xa,那么由向量數乘的定義，知a與b共線.反過來，已知向量a與b共線，aw0,且向量b的長度是向量a的長度的W倍，即|b|=科|a|,那么當a與b同方向時，有b=a;當a與b反方向時,有b=-科a.關于向量共線的條件，教師要點撥學生做進一步深層探究 ，讓學生思考，若去掉aw0這一條件，上述條件成立嗎？其目的是通過 0與任意向量的平行來加深對向量共線的等價條件的認識.在判斷兩個非零向量是否共線時 ，只需看這兩個向量的方向是否相同或相反即可，與這兩個向量的長度無關.在沒有指明非零向量的情況下 ，共線向量可能有以下幾種情況 ：(1)有一個為零向量；(2)兩個都為零向量;(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等;(6)反向且模不等.討論結果：①數與向量的積仍是一個向量，向量的方向由實數的正負及原向量的方向確定，大小由|入|?Ia|確定.

②它的幾何意義是把向量 a沿a的方向或a的反方向放大或縮小,直線的平行是指兩條直線在同一平面內沒有公共點,又包含兩個向量在同一條直線上的情形 .,直線的平行是指兩條直線在同一平面內沒有公共點,又包含兩個向量在同一條直線上的情形 .思路1,可讓學生自己完成，要求學生熟練運用向量數乘運算例1計算：⑴(-3)X4a;(2)3(a+b)-2(a-b)-a;⑶(2a+3b-c)-(3a-2b+c).活動：本例是數乘運算的簡單應用的運算律.教學中，點撥學生不能將本題看作字母的代數運算 ，可以讓他們在代數運算的同時說出其幾何意義，使學生明確向量數乘運算的特點 .同時向學生點出，向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算.對于任意向量a、b,以及任意實數入、科1、科2,恒有入(ia±2b)=入ia土入112b.解：(1)原式=(-3X4)a=-12a;(2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b;(3)原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c.點評：運用向量運算的運算律，解決向量的數乘.其運算過程可以仿照多項式運算中的“合并同類項”.變式訓練若3m+2n=a,m>3n=b,其中a,b是已知向量，求mn.TOC\o"1-5"\h\z解：因3m+2n=a, ①m-3n=b. ②3X②得3m-9n=3b. ③①-③得11n=a-3b.11 11將④代入②，有m=b+3n=—a+—b.11 11點評：此題可把已知條件看作向量 mn的方程，通過方程組的求解獲得mn.在此題求解過程中，利用了實數與向量的積以及它所滿足的交換律、 結合律，從而解向量的二元一次方程組的方法與解實數的二元一次方程組的方法一致 ^百W圖2例2如圖2,已知任意兩個非零向量 a、b,試彳OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b.你能判斷A日C三點之間的位置關系嗎 ？為什么？活動：本例給出了利用向量共線判斷三點共線的方法 ，這是判斷三點共線常用的方法 .教學中可以先引導學生作圖，通過觀察圖形得到 A,B,C三點共線的猜想，再將平面幾何中判斷三點共線的方法轉化為用向量共線證明三點共線 .本題只要引導學生理清思路 ，具體過程可由學生自己完成.另外，本題是一個很好的與信息技術整合的題材 ，教學中可以通過計算機作圖，進行動態演示，揭示向量a、b變化過程中，A、日C三點始終在同一條直線上的規律 .圖3解：如圖3分別作向量OA、OBOC過點A、C作直線AC.觀察發現,不論向量a、b怎樣變化，點B始終在直線AC上，猜想AB、C三點共線.事實上，因為AB=OB-OA=a+2b-(a+b尸b,而AC=OC-OA=a+3b-(a+b)=2b,于是AC=2AB.所以A、RC三點共線.點評：關于三點共線問題，學生接觸較多，這里是用向量證明三點共線 ，方法是必須先證明兩個向量共線，并且有公共點.教師引導學生解完后進行反思 ，體會向量證法的新穎獨特.例3如圖4,|匚ABCD的兩條對角線相交于點 M,且AB=a,aD=b，你能用a、b表示MA、MRMC、和MD嗎？圖4活動：本例的解答要用到平行四邊形的性質 .另外，用向量表示幾何元素(點、線段等)是TOC\o"1-5"\h\z用向量方法證明幾何問題的重要步驟 ，教學中可以給學生明確指出這一點 .解：在.「ABCD^,AC=AB+AD=a+b,DB=AB-AD=a-b,又二.平行四邊形的兩條對角線互相平分 ，?MA=—AC=—(a+b)=—a-—b,2 2 2 2MB=—DB=—(a-b)=—a-1b,2 2 2 2MC=—AC=—a+—b,2 2 2MD=MB=-1DB=-1a+1b.2 2 2

,將兩個向量的和或差表示點評：結合向量加法和減法的平行四邊形法則和三角形法則出來，這是解決這類幾何題的關鍵 .,將兩個向量的和或差表示思路2例1凸四邊形ABC曲邊ARBC的中點分別為E、F,求證：EF=1(AB+DC).2活動：教師引導學生探究，能否構造三角形，使EF作為三角形中位線，借助于三角形中位線定理解決，或創造相同起點，以建立向量間關系.鼓勵學生多角度觀察思考問題.圖5圖5解：方法一：過點C在平面內作CG=AB,則四邊形ABG%平行四邊形,故F為AG中點.(如圖5)??.EF是4ADG的中位線.?.EfM1DG.2EF=1DG.2而DG=DC+CG=DC+AB,EF=1(AB+DC).2方法二：如圖6,連接erec,則有EB=EA+AB,EC=ED+DC,圖6圖6又7E是AD之中點，??.有EA+ED=0,即有EB+EC=AB+DC.以EB與EC為鄰邊作UEBGC則由F是BC之中點，可得F也是EG之中點.EF=1EG=1(EB+EC)=1(AB+DC).2 2 2點評：向量的運算主要從以下幾個方面加強練習 :(1)加強數形結合思想的訓練，畫出草圖幫助解決問題；(2)加強三角形法則和平行四邊形法則的運用練習 ，做到準確熟練運用例2已知OA和OB是不共線向量AP=tAB(t￡R),試用OA、OB表示OP.活動：教師引導學生思考，由AP=tAB(t￡R)知AB、P三點共線，而OP=OA+AP,然后以AB表示AP,進而建立OA,OB的聯系.本題可讓學生自己解決，教師適時點撥解：OP=OA+AP=OA+t?AB=OA+